Iterated Laurent series over rings and the Contou-Carrère symbol

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This article contains a survey of a new algebro-geometric approach for working with iterated algebraic loop groups associated with iterated Laurent series over arbitrary commutative rings and its applications to the study of the higher-dimensional Contou-Carrère symbol. In addition to the survey, the article also contains new results related to this symbol.The higher-dimensional Contou-Carrère symbol arises naturally when one considers deformation of a flag of algebraic subvarieties of an algebraic variety. The non-triviality of the problem is due to the fact that, in the case $n>1$, for the group of invertible elements of the algebra of $n$-iterated Laurent series over a ring, no representation is known in the form of an ind-flat scheme over this ring. Therefore, essentially new algebro-geometric constructions, notions, and methods are required. As an application of the new methods used, a description of continuous homomorphisms between algebras of iterated Laurent series over a ring is given, and an invertibility criterion for such endomorphisms is found. It is shown that the higher-dimensional Contou-Carrère symbol, restricted to algebras over the field of rational numbers, is given by a natural explicit formula, and this symbol extends uniquely to all rings. An explicit formula is also given for the higher-dimensional Contou-Carrère symbol in the case of all rings. The connection with higher-dimensional class field theory is described.As a new result, it is shown that the higher-dimensional Contou-Carrère symbol has a universal property. Namely, if one fixes a torsion-free ring and considers a flat group scheme over this ring such that any two points of the scheme are contained in an affine open subset, then after restricting to algebras over the fixed ring, all morphisms from the $n$-iterated algebraic loop group of the Milnor $K$-group of degree $n+1$ to the above group scheme factor through the higher-dimensional Contou-Carrère symbol.Bibliography: 67 titles.

About the authors

Sergey Olegovich Gorchinskiy

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: gorchins@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

Denis Vasilievich Osipov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: d_osipov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. G. W. Anderson, F. Pablos Romo, “Simple proofs of classical explicit reciprocity laws on curves using determinant groupoids over an artinian local ring”, Comm. Algebra, 32:1 (2004), 79–102
  2. M. Artin, B. Mazur, Etale homotopy, Lecture Notes in Math., 100, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1969, iii+169 pp.
  3. А. А. Бейлинсон, “Высшие регуляторы и значения $L$-функций кривых”, Функц. анализ и его прил., 14:2 (1980), 46–47
  4. A. A. Beilinson, S. J. Bloch, H. Esnault, “$varepsilon$-factors for Gauss–Manin determinants”, Mosc. Math. J., 2:3 (2002), 477–532
  5. S. Bloch, “On the tangent space to Quillen K-theory”, Algebraic K-theory (Battelle Memorial Inst., Seattle, WA, 1972), v. I, Lecture Notes in Math., 341, Higher K-theories, Springer, Berlin, 1973, 205–210
  6. З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, М., 1964, 566 с.
  7. O. Braunling, M. Groechenig, J. Wolfson, A generalized Contou-Carrère symbol and its reciprocity laws in higher dimensions, 2015 (v1 – 2014), 55 pp.
  8. O. Braunling, M. Groechenig, J. Wolfson, “The index map in algebraic $K$-theory”, Selecta Math. (N. S.), 24:2 (2018), 1039–1091
  9. J.-L. Brylinski, D. A. McLaughlin, “Multidimensional reciprocity laws”, J. Reine Angew. Math., 1996:481 (1996), 125–147
  10. B. Conrad, “A modern proof of Chevalley's theorem on algebraic groups”, J. Ramanujan Math. Soc., 17:1 (2002), 1–18
  11. C. Contou-Carrère, “Jacobienne locale, groupe de bivecteurs de Witt universel, et symbole modere”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 318:8 (1994), 743–746
  12. C. Contou-Carrère, “Jacobienne locale d'une courbe formelle relative”, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 130 (2013), 1–106
  13. P. Deligne, “Le symbole modere”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 73 (1991), 147–181
  14. M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algebriques, v. I, Geometrie algebrique, generalites, groupes commutatifs, Masson & Cie, Editeur, Paris; North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1970, xxvi+700 pp.
  15. M. Demazure, A. Grothendieck (eds.), Schemas en groupes, Seminaire de geometrie algebrique du Bois Marie 1962/64 (SGA 3), v. I, Lecture Notes in Math., 151, Prorpietes generales des schemas en groupes, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, xv+564 pp.
  16. M. Demazure, A. Grothendieck (eds.), Schemas en groupes, Seminaire de geometrie algebrique du Bois Marie 1962/64 (SGA 3), v. II, Lecture Notes in Math., 152, Groupes de type multiplicatif, et structure des schemas en groupes generaux, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, ix+654 pp.
  17. J. J. Duistermaat, W. van der Kallen, “Constant terms in powers of a Laurent polynomial”, Indag. Math. (N. S.), 9:2 (1998), 221–231
  18. H. Esnault, E. Viehweg, “Deligne–Beilinson cohomology”, Beilinson's conjectures on special values of $L$-functions, Perspect. Math., 4, Academic Press, Boston, MA, 1988, 43–91
  19. I. B. Fesenko, S. V. Vostokov, Local fields and their extensions, with a foreword by I. R. Shafarevich, Transl. Math. Monogr., 121, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xii+345 pp.
  20. O. Gabber, Qing Liu, D. Lorenzini, “The index of an algebraic variety”, Invent. Math., 192:3 (2013), 567–626
  21. С. О. Горчинский, Д. М. Креков, “Явная формула для нормы в теории полей норм”, УМН, 73:2(440) (2018), 187–188
  22. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Явная формула для многомерного символа Конту-Каррера”, УМН, 70:1(421) (2015), 183–184
  23. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Касательное пространство к $K$-группам Милнора колец”, Современные проблемы математики, механики и математической физики, Сборник статей, Тр. МИАН, 290, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2015, 34–42
  24. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Многомерный символ Конту-Каррера: локальная теория”, Матем. сб., 206:9 (2015), 21–98
  25. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Непрерывные гомоморфизмы между алгебрами итерированных рядов Лорана над кольцом”, Современные проблемы математики, механики и математической физики. II, Сборник статей, Тр. МИАН, 294, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2016, 54–75
  26. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Многомерный символ Конту-Каррера и непрерывные автоморфизмы”, Функц. анализ и его прил., 50:4 (2016), 26–42
  27. С. О. Горчинский, Д. В. Осипов, “Многомерный символ Конту-Каррера и коммутативные групповые схемы”, УМН, 75:3(453) (2020), 185–186
  28. С. О. Горчинский, Д. Н. Тюрин, “Относительные $K$-группы Милнора и дифференциальные формы расщепимых нильпотентных расширений”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:5 (2018), 23–60
  29. D. Grayson, “Higher algebraic K-theory. II (after Daniel Quillen)”, Algebraic K-theory (Northwestern Univ., Evanston, IL, 1976), Lecture Notes in Math., 551, Springer, Berlin, 1976, 217–240
  30. A. Grothendieck, “Elements de geometrie algebrique. IV. Etude locale des schemas et des morphismes de schemas IV”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 32 (1967), 1–361
  31. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, Мир, М., 1981, 600 с.
  32. M. Hazewinkel, Formal groups and applications, Pure Appl. Math., 78, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York–London, 1978, xxii+573 pp.
  33. R. Huber, “Continuous valuations”, Math. Z., 212:3 (1993), 455–477
  34. Д. Каледин, “Вектора Витта, коммутативные и некоммутативные”, УМН, 73:1(439) (2018), 3–34
  35. M. Kapranov, E. Vasserot, “Formal loops. II. A local Riemann–Roch theorem for determinantal gerbes”, Ann. Sci. Еcole Norm. Sup. (4), 40:1 (2007), 113–133
  36. K. Kato, “A generalization of local class field theory by using $K$-groups. I”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 26:2 (1979), 303–376
  37. K. Kato, “A generalization of local class field theory by using $K$-groups. II”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 27:3 (1980), 603–683
  38. K. Kato, “Milnor $K$-theory and the Chow group of zero cycles”, Applications of algebraic K-theory to algebraic geometry and number theory, Part I (Boulder, CO, 1983), Contemp. Math., 55, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986, 241–253
  39. M. Kerz, “The Gersten conjecture for Milnor $K$-theory”, Invent. Math., 175:1 (2009), 1–33
  40. А. Г. Хованский, “Аналог определителя, связанный с теорией Паршина–Като, и целочисленные многогранники”, Функц. анализ и его прил., 40:2 (2006), 55–64
  41. M. Kontsevich, Noncommutative identities, 2011, 10 pp.
  42. Qing Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves, Transl. from the French, Oxf. Grad. Texts Math., 6, Oxford Univ. Press, Oxford, 2002, xvi+576 pp.
  43. В. Г. Ломадзе, “О вычетах в алгебраической геометрии”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:6 (1981), 1258–1287
  44. J. Morava, “An algebraic analog of the Virasoro group”, Czechoslovak J. Phys., 51:12 (2001), 1395–1400
  45. M. Morrow, “$K_2$ of localisations of local rings”, J. Algebra, 399 (2014), 190–204
  46. Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, М., 1968, 236 с.
  47. J. M. Muñoz Porras, F. J. Plaza Martin, “Automorphism group of $k((t))$: applications to the bosonic string”, Comm. Math. Phys., 216:3 (2001), 609–634
  48. E. Musicantov, A. Yom Din, “Reciprocity laws and $K$-theory”, Ann. $K$-theory, 2:1 (2017), 27–46
  49. Ю. П. Нестеренко, А. А. Суслин, “Гомологии полной линейной группы над локальным кольцом и $K$-теория Милнора”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:1 (1989), 121–146
  50. D. Osipov, To the multidimensional tame symbol, preprint 03-13, Humboldt Univ., Berlin, 2003, 27 pp.
  51. Д. В. Осипов, “Арифметические поверхности и адельные факторгруппы”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:4 (2018), 178–198
  52. D. Osipov, Xinwen Zhu, “A categorical proof of the Parshin reciprocity laws on algebraic surfaces”, Algebra Number Theory, 5:3 (2011), 289–337
  53. D. Osipov, Xinwen Zhu, “The two-dimensional Contou-Carrère symbol and reciprocity laws”, J. Algebraic Geom., 25:4 (2016), 703–774
  54. A. Pal, “On the kernel and the image of the rigid analytic regulator in positive characteristic”, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 46:2 (2010), 255–288
  55. G. Pappas, M. Rapoport, “Twisted loop groups and their affine flag varieties”, Adv. Math., 219:1 (2008), 118–198
  56. А. Н. Паршин, “Поля классов и алгебраическая $K$-теория”, УМН, 30:1(181) (1975), 253–254
  57. А. Н. Паршин, “К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:4 (1976), 736–773
  58. А. Н. Паршин, “Локальная теория полей классов”, Алгебраическая геометрия и ее приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 165, Наука, М., 1984, 143–170
  59. А. Н. Паршин, “Когомологии Галуа и группа Брауэра локальных полей”, Теория Галуа, кольца, алгебраические группы и их приложения, Сборник статей, Тр. МИАН СССР, 183, Наука. Ленинградское отд., Л., 1990, 159–169
  60. В. В. Пржиялковский, “Торические модели Ландау–Гинзбурга”, УМН, 73:6(444) (2018), 95–190
  61. P. Scholze, “Perfectoid spaces”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 116 (2012), 245–313
  62. Ж. Серр, Алгебраические группы и поля классов, Мир, М., 1968, 285 с.
  63. Theorie des topos et cohomologie etale des schemas, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1963–1964 (SGA 4). Dirige par M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier. Avec la collaboration de N. Bourbaki, P. Deligne, B. Saint-Donat, v. 1, Lecture Notes in Math., 269, Theorie des topos, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, xix+525 pp.
  64. R. W. Thomason, T. Trobaugh, “Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories”, The Grothendieck Festschrift, v. III, Progr. Math., 88, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, 247–435
  65. С. В. Востоков, И. Б. Жуков, И. Б. Фесенко, “К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции”, Алгебра и анализ, 2:4 (1990), 91–118
  66. E. Witt, “Zyklische Körper und Algebren der Characteristik $p$ vom Grad $p^n$. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik $p^n$”, J. Reine Angew. Math., 1937:176 (1937), 126–140
  67. A. Yekutieli, An explicit construction of the Grothendieck residue complex, With an appendix by P. Sastry, Asterisque, 208, Soc. Math. France, Paris, 1992, 127 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Gorchinskiy S.O., Osipov D.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».