Спектральные треугольники несамосопряженных операторов Хилла и Дирака

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Дан обзор результатов последних 10–12 лет о структуре спектров операторов Хилла–Шрёдингера и Дирака. Пусть $L$ – оператор Хилла или одномерный оператор Дирака на отрезке $[0,\pi]$. Если мы рассматриваем $L$ с граничными условиями Дирихле или с периодическими и антипериодическими граничными условиями, то соответствующие спектры дискретны и для достаточно больших $|n|$ ($n\in \mathbb{Z}$) близки к $n^2$ в случае Хилла и к $n$ в случае Дирака; при этом мы имеем одно собственное значение Дирихле $\mu_n$ и два периодических (если $n$ четно) или антипериодических (если $n$ нечетно) собственных значения $\lambda_n^-$, $\lambda_n^+$ (с учетом их кратности). Мы даем асимптотические оценки спектральных зазоров $\gamma_n=\lambda_n^+-\lambda_n^-$ и уклонений $\delta_n=\mu_n-\lambda_n^+$ в терминах коэффициентов Фурье потенциала. Более того, для специальных потенциалов – тригонометрических многочленов – найденные асимптотики $\gamma_n$ и $\delta_n$ точны. Библиография: 45 названий.

Об авторах

Пламен Борисов Джаков

Sabanci University

Email: djakov@fmi.uni-sofia.bg
кандидат физико-математических наук

Борис Самуилович Митягин

The Ohio State University

Email: mityagin.1@osu.edu
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. M. S. P. Eastham, The spectral theory of periodic differential equations, Texts Math. (Edinburgh), Scottish Acad. Press; Hafner Press, Edinburgh, 1973, viii+130 pp.
  2. W. Magnus, S. Winkler, Hill's equation, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 20, Interscience Publishers John Wiley & Sons, New York–London–Sydney, 1966, viii+127 pp.
  3. В. А. Марченко, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения, Наукова думка, Киев, 1977, 331 с.
  4. B. M. Brown, M. S. P. Eastham, K. M. Schmidt, Periodic differential operators, Oper. Theory Adv. Appl., 230, Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2013, viii+216 pp.
  5. П. Джаков, Б. С. Митягин, “Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрeдингера и Дирака”, УМН, 61:4(370) (2006), 77–182
  6. P. Djakov, B. Mityagin, “Spectral gaps of Schrödinger operators with periodic singular potentials”, Dyn. Partial Differ. Equ., 6:2 (2009), 95–165
  7. P. Djakov, B. Mityagin, “Criteria for existence of Riesz bases consisting of root functions of Hill and 1D Dirac operators”, J. Funct. Anal., 263:8 (2012), 2300–2332
  8. F. Gesztesy, V. Tkachenko, “A Schauder and Riesz basis criterion for non-self-adjoint Schrödinger operators with periodic and antiperiodic boundary conditions”, J. Differential Equations, 253:2 (2012), 400–437
  9. H. Hochstadt, “Estimates on the stability intervals for Hill's equation”, Proc. Amer. Math. Soc., 14:6 (1963), 930–932
  10. H. Hochstadt, “On the determination of a Hill's equation from its spectrum”, Arch. Ration. Mech. Anal., 19 (1965), 353–362
  11. В. А. Марченко, И. В. Островский, “Характеристика спектра оператора Хилла”, Матем. сб., 97(139):4(8) (1975), 540–606
  12. H. P. McKean, E. Trubowitz, “Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points”, Comm. Pure Appl. Math., 29:2 (1976), 143–226
  13. E. Trubowitz, “The inverse problem for periodic potentials”, Comm. Pure Appl. Math., 30:3 (1977), 321–337
  14. М. Г. Гасымов, “Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов второго порядка”, Функц. анализ и его прил., 14:1 (1980), 14–19
  15. В. А. Ткаченко, “Спектральный анализ несамосопряженного оператора Хилла”, Докл. РАН, 322:2 (1992), 248–252
  16. V. A. Tkachenko, “Discriminants and generic spectra of nonselfadjoint Hill's operators”, Spectral operator theory and related topics, Adv. Soviet Math., 19, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 41–71
  17. J.-J. Sansuc, V. Tkachenko, “Spectral properties of non-selfadjoint Hill's operators with smooth potentials”, Algebraic and geometric methods in mathematical physics (Kaciveli, 1993), Math. Phys. Stud., 19, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1996, 371–385
  18. T. Kappeler, B. Mityagin, “Estimates for periodic and Dirichlet eigenvalues of the Schrödinger operator”, SIAM J. Math. Anal., 33:1 (2001), 113–152
  19. P. Djakov, B. Mityagin, “Smoothness of Schrödinger operator potential in the case of Gevrey type asymptotics of the gaps”, J. Funct. Anal., 195:1 (2002), 89–128
  20. P. Djakov, B. Mityagin, “Spectral triangles of {S}chrödinger operators with complex potentials”, Selecta Math. (N. S.), 9:4 (2003), 495–528
  21. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, “Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями”, Тр. ММО, 64, УРСС, М., 2003, 159–212
  22. R. O. Hryniv, Ya. V. Mykytyuk, “1-D Schrödinger operators with periodic singular potentials”, Methods Funct. Anal. Topology, 7:4 (2001), 31–42
  23. P. Djakov, B. Mityagin, “Fourier method for one-dimensional Schrödinger operators with singular periodic potentials”, Topics in operator theory, v. 2, Oper. Theory Adv. Appl., 203, Systems and mathematical physics, Birkhäuser Verlag, Basel, 2010, 195–236
  24. B. Grebert, T. Kappeler, B. Mityagin, “Gap estimates of the spectrum of the Zakharov–Shabat system”, Appl. Math. Lett., 11:4 (1998), 95–97
  25. B. Grebert, T. Kappeler, “Estimates on periodic and {D}irichlet eigenvalues for the Zakharov–Shabat system”, Asymptot. Anal., 25:3-4 (2001), 201–237
  26. P. Djakov, B. Mityagin, “Spectra of 1-D periodic Dirac operators and smoothness of potentials”, C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., 25:4 (2003), 121–125
  27. P. Djakov, B. Mityagin, “Instability zones of a periodic 1D Dirac operator and smoothness of its potential”, Comm. Math. Phys., 259:1 (2005), 139–183
  28. P. Djakov, B. Mityagin, “Convergence of spectral decompositions of Hill operators with trigonometric polynomial potentials”, Math. Ann., 351:3 (2011), 509–540
  29. П. Б. Джаков, Б. С. Митягин, “Сходимость спектральных разложений операторов Хилла с тригонометрическими многочленами как потенциалы”, Докл. РАН, 436:1 (2011), 11–13
  30. P. Djakov, B. Mityagin, “Riesz bases consisting of root functions of 1D Dirac operators”, Proc. Amer. Math. Soc., 141:4 (2013), 1361–1375
  31. D. M. Levy, J. B. Keller, “Instability intervals of Hill's equation”, Comm. Pure Appl. Math., 16:4 (1963), 469–476
  32. E. M. Harrell, II, “On the effect of the boundary conditions on the eigenvalues of ordinary differential equations”, Contributions to analysis and geometry (Baltimore, MD, 1980), Johns Hopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1981, 139–150
  33. J. Avron, B. Simon, “The asymptotics of the gap in the Mathieu equation”, Ann. Phys., 134:1 (1981), 76–84
  34. B. Anahtarci, P. Djakov, “Refined asymptotics of the spectral gap for the Mathieu operator”, J. Math. Anal. Appl., 396:1 (2012), 243–255
  35. O. A. Veliev, “Isospectral Mathieu–Hill operators”, Lett. Math. Phys., 103:8 (2013), 919–925
  36. Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958, 474 с.
  37. P. Djakov, B. Mityagin, “Divergence of spectral decompositions of Hill operators with two exponential term potentials”, J. Funct. Anal., 265:4 (2013), 660–685
  38. P. Djakov, B. Mityagin, “Asymptotics of instability zones of the Hill operator with a two term potential”, J. Funct. Anal., 242:1 (2007), 157–194
  39. P. Djakov, B. Mityagin, “The asymptotics of spectral gaps of a 1D Dirac operator with cosine potential”, Lett. Math. Phys., 65:2 (2003), 95–108
  40. P. Djakov, B. Mityagin, “Multiplicities of the eigenvalues of periodic Dirac operators”, J. Differential Equations, 210:1 (2005), 178–216
  41. Н. Б. Керимов, Х. Р. Мамедов, “О базисности Рисса корневых функций некоторых регулярных краевых задач”, Матем. заметки, 64:4 (1998), 558–563
  42. А. С. Макин, “О сходимости разложений по корневым функциям периодической краевой задачи”, Докл. РАН, 406:4 (2006), 452–457
  43. О. А. Велиев, А. А. Шкаликов, “О базисности Рисса собственных и присоединенных функций периодической и антипериодической задач Штурма–Лиувилля”, Матем. заметки, 85:5 (2009), 671–686
  44. P. Djakov, B. Mityagin, “Riesz basis property of Hill operators with potentials in weighted spaces”, Тр. ММО, 75:2 (2014), 181–204, МЦНМО, М.
  45. A. Batal, “Characterization of potential smoothness and the Riesz basis property of the Hill–Schrödinger operator in terms of periodic, antiperiodic and Neumann spectra”, J. Math. Anal. Appl., 405:2 (2013), 453–465

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Джаков П.Б., Митягин Б.С., 2020

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».