Coordinate space modification of Fock's theory. Harmonic tensors in the quantum Coulomb problem

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

We consider Fock's fundamental theory of the hydrogen atom in momentum space, which allows a realization of the previously predicted rotation group of a three-dimensional (3D) sphere in four-dimensional (4D) space. We then modify Fock's theory and abandon the momentum-space description. To transform and simplify the theory, we use invariant tensor methods of electrostatics in 3D and 4D spaces. We find a coordinate 4D space where the Schr$\ddot o$dinger equation becomes the 4D Laplace equation. The transition from harmonic 4D polynomials to the original 3D physical space is algebraic and involves derivatives with respect to a coordinate that is interpreted as time. We obtain a differential equation for eigenfunctions in the momentum space and find its solutions. A concise calculation of the quadratic Stark effect is given. The Schwinger resolvent is derived by the method of harmonic polynomials. Ladder operators are also considered.

About the authors

Sergei P. Efimov

Bauman Moscow State Technical University

Email: serg.efimo2012@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-1828-3577
Scopus Author ID: 57196838086
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика: нерелятивистская теория, Наука, М., 1974
  2. Bethe H. A., Salpeter E. E., Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms, Springer, Berlin, 1957
  3. Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М., Рассеяние, реакции и распады в нерелятивисткой квантовой механике, Наука, М., 1971
  4. Basdevant J.-L., Dalibard J., The Quantum Mechanics Solver: How to Apply Quantum Theory to Modern Physics, Springer, Berlin, 2000
  5. Аллилуев С. П., ЖЭТФ, 33 (1957), 200
  6. Переломов А. М., Попов В. С., ЖЭТФ, 50 (1966), 179
  7. Bander M., Itzykson C., Rev. Mod. Phys., 38 (1966), 330
  8. Hulthen L., Z. Phys., 86 (1933), 21
  9. Фок В. А., Начала квантовой механики, Кубуч, Л., 1932
  10. Fock V., Z. Phys., 98 (1935), 145
  11. Fock V. A., Selected Works: Quantum Mechanics and Quantum Field Theory, Taylor and Francis, New York, 2004
  12. Stereographic projection. Wikipedia
  13. Casselman B., “Feature Column”, Stereographic Projection, American Mathematical Society, 2014
  14. Poisson S. D., Memoir. l'Acad. Sci. Paris, 5 (1821–1822), 247
  15. Whittaker E. T., A History of the Theories of Aether and Electricity, v. 1, The Classical Theories, T. Nelson, London, 1951
  16. Thomson W., Tait P. G., Treatise on Natural Philosophy, Pt. 2, The Univ. Press, Cambridge, 1912
  17. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, McGraw-Hill Book Co., New York, 1941
  18. Maxwell J. C., A Treatise on Electricity and Magnetism, v. 2, Clarendon, Oxford, 1892
  19. Hobson E. W., The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, Ch. 4, The Univ. Press, Cambridge, 1931
  20. Rose M. E., Multipole Fields, Wiley, New York, 1955
  21. Raab R. E., de Lange O. L., Multipole Theory in Electromagnetism: Classical, Quantum, and Symmetry Aspects, with Applications, Clarendon Press, Oxford, 2005
  22. Jackson J. D., Classical Electrodynamics, Wiley, New York, 1962
  23. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, Наука, М., 1973
  24. Тамм И. Е., Основы теории электричества, Наука, М., 1976
  25. Ефимов С. П., Муратов Р. З., ДАН СССР, 241 (1978), 1315
  26. Ефимов С. П., ТМФ, 39 (1979), 219
  27. Муратов Р. З., Мультиполи и поля эллипсоида, Изд. дом МИСиС, М., 2015
  28. Ефимов С. П., Муратов Р. З., Астрон. журн., 67 (1990), 302
  29. Ефимов С. П., Муратов Р. З., Астрон. журн., 67 (1990), 314
  30. Муратов Р. З., УФН, 182 (2012), 987
  31. Медведев Б. В., Начала теоретической физики: Механика, теория поля, элементы квантовой механики, Наука, М., 1977
  32. Vilenkin N. Ja., Klimyk A. U., Representation of Lie Groups and Special Functions, Mathematics and Its Applications, 316, Springer, Dordrecht, 1995
  33. Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970
  34. Wentzel G., Z. Phys., 38 (1926), 518
  35. Waller I., Z. Phys., 38 (1926), 635
  36. Epstein P. S., Phys. Rev., 28 (1926), 695
  37. Соловьев Е. А., ЖЭТФ, 85 (1983), 109
  38. Main J., Schwacke M., Wunner G., Phys. Rev. A, 57 (1998), 1149
  39. Podolsky B., Pauling L., Phys. Rev., 34 (1929), 109
  40. Ballentine L. E., Quantum Mechanics: A Modern Development, World Scientific Publ., Singapore, 2015
  41. Flügge S., Practical Quantum Mechanics, v. 1, Springer-Verlag, Berlin, 1971
  42. Holstein B. R., Am. J. Phys., 63 (1995), 710
  43. Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974
  44. Glauber R. J., “Optical coherence and photon statistics”, Optique et electronique Quantiques. Quantum Optics and Electronics. Lectures, hes Houches, 1964 Session of the Summer School of Theoretical Physics, Univ. of Grenoble, C DeWitt, A. Blandin, C Cohen-Tannoudji, Gordon and Breach, New York, 1965, 63
  45. Глаубер Р. Д., УФН, 176 (2006), 1342
  46. Glauber R. J., Phys. Rev., 131 (1963), 2766
  47. Klauder J. R., J. Phys. A, 29 (1996), L293
  48. Klauder J. R., Skagerstam B., Coherent States. Applications in Physics and Mathematical Physics, World Scientific, Singapore, 1985
  49. Perelomov A., Generalized Coherent States and Their Applications, Springer-Verlag, Berlin, 2012
  50. Schwinger J., J. Math. Phys., 5 (1964), 1606
  51. Avery J., Hyperspherical Harmonics. Applications in Quantum Theory, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht
  52. Hey J. D., Am. J. Phys., 61 (1993), 28
  53. Meremianin A. V., Rost J.-M., J. Phys A, 39 (2006), 12427
  54. Weniger E. J., Collect. Czech. Chem. Commun., 70 (2005), 1225
  55. Axler S., Bourdon P., Ramey W., Harmonic Function Theory, Springer-Verlag, New York, 1992
  56. Unsöld A., Naturwissenschaften, 15 (1927), 681
  57. Feynman R. P., The Theory of Fundamental Processes, W.A. Benjamin, New York, 1961

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).