Решение обратной коэффициентной задачи тепломассопереноса по результатам измерений температуры в стволе горизонтальной скважины

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Распределение температуры и давления вдоль ствола эксплуатируемой горизонтальной скважины и их изменение во времени являются результатом гидродинамических и термогидродинамических процессов, происходящих при фильтрации флюида в продуктивном пласте и при движении в стволе. Изменение скорости, плотности, давления и температуры потока в пласте и стволе горизонтальной скважины может быть найдено при решении системы уравнений, связывающей эти параметры.

Одна из первых математических моделей “нефтяной пласт-горизонтальная скважина” с постоянной производительностью была представлена в [1]. Предполагалось, что фильтрация однофазная, стационарная и течение жидкости в стволе скважины полностью ламинарное или турбулентное. В работах [2, 3] при тех же предположениях, что и в [1], была установлена связь между дебитом скважины и депрессией за счет использования гипергеометрической функции Гаусса. В них было показано, что если величина падения давления вдоль ствола сопоставима с депрессией на пласт, то производительность горизонтальной скважины снижается. Потери давления при установившемся движении жидкости в стволе горизонтальной скважины можно представить в виде суммы трех компонент в соответствии с законами сохранения массы, импульса и энергии: гравитационной, силы трения и ускорения [4]. В работе [5] предложены критерии, когда необходимо учитывать трение в стволе горизонтальной скважины для определения депрессии. В этих работах не учитывались потери давления, вызванные притоком флюида в ствол горизонтальной скважины.

В [6] представлена модель однофазного течения в горизонтальном стволе скважины, учитывающая не только перечисленные выше перепады давления, но и потери давления, вызванные притоком жидкости. Экспериментально было показано, что при ламинарном течении в горизонтальном стволе потери давления увеличиваются, а при турбулентном течении уменьшаются.

Полуаналитический подход для моделирования нестационарной фильтрации “пласт–горизонтальная скважина” предложен в работах [7, 8]. В этой модели ствол горизонтальной скважины делился на сегменты. В каждом сегменте учитывались потери давления от трения и ускорения.

Задачи интерпретации результатов промыслового эксперимента характеризуются тем, что в связи с практической недоступностью нефтяного пласта для прямого изучения, о его структуре и свойствах судят по косвенным проявлениям. Проблемы интерпретации геолого-промысловой информации приводят к некорректным, в смысле Адамара математическим задачам [9].

Пластовые температура и давление определяют термодинамические процессы в пласте. Аналитическая зависимость между изменениями пластовых температур и давлений для вертикальной скважины была впервые установлена Э.Б. Чекалюком. На основе этой зависимости был предложен метод термодинамического зондирования для оценки фильтрационных параметров пласта в окрестности скважины [10]. Температурные измерения вдоль ствола скважины широко используются в нефтепромысловом деле и геофизике для решения геолого-промысловых задач [11, 12].

Для определения фильтрационных параметров пласта в работах [13, 14] были разработаны вычислительные алгоритмы на основе методов регуляризации. В качестве исходной информации использовались результаты гидродинамических и термогидродинамических исследований скважин. В этих работах не учитывались потери давления, вызванные притоком жидкости в горизонтальную часть ствола. Метод определения фильтрационных свойств пласта, эксплуатируемого горизонтальной скважиной, по стационарному распределению температуры вдоль ствола рассматривался в [15, 16].

Целью настоящей работы является создание математической модели тепломассопереноса в системе “пласт-горизонтальная скважина” при различных режимах течения флюида в стволе с учетом потери давления, вызванной притоком жидкости из пласта, и вычислительного алгоритма определения фильтрационных параметров неоднородного нефтяного пласта по изменениям температуры и давления, снятых одновременно несколькими глубинными измерительными приборами, установленными в различных участках горизонтальной части ствола.

ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Исследования движения жидкостей в перфорированных трубах имеют важное теоретическое и практическое значение. При исследовании таких задач, как правило, дискретное распределение точек перфорации заменяется непрерывным, и исследования задач сводятся к изучению движения жидкости в трубах с проницаемыми стенками. Обзору по исследованию математических моделей течения жидкостей в трубах с проницаемыми стенками посвящена работа [17].

Термогидродинамические исследования горизонтальных скважин и пластов на основе многодатчиковых технологий позволяют оценить фильтрационные свойства пласта и построить приток флюида вдоль ствола. Данная информация необходима для регулирования притока флюида в ствол горизонтальной скважины [18, 19]. В сопряженной задаче уравнения, описывающие процессы тепломассопереноса в стволе горизонтальной скважины, следуют из законов сохранения массы, импульса, энергии с учетом присоединенной массы [20, 21].

 

Рис. 1. Схема “пласт – горизонтальная скважина”. 1 – зона однородности, 2 – пласт, 3 – ствол горизонтальной скважины.

 

При постановке прямой задачи тепло- и массообмена (рис. 1) мы будем считать, что движение жидкости в стволе является одномерным, а процесс распределения давления в стволе квазистационарным, т.е. предполагается, что поток в стволе скважины стабилизируется гораздо быстрее, чем в нефтяном пласте. Квазистационарный подход к исследованию процессов теплопередачи между потоком жидкости в скважине и горными породами был рассмотрен в работах [20–22].

 

Рис. 2. Кривые изменения температуры вдоль ствола скважины от носка к пятке в разные моменты времени. (a) – ламинарный поток, (б) – турбулентный поток.

 

Прямая задача тепломассопереноса в системе “пласт–горизонтальная скважина” при этих предположениях имеет вид:

$\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{2w}{r_c}, w =- \frac{k}{\mu }{\overline{)\frac{\partial p_2}{\partial r}}}_{r=r_c}$,     0 < x < L,                                           (1)

$-\frac{\partial p_1}{\partial x}=\rho \frac{\partial \left(v^2\right)}{\partial x}+\frac{\mathrm{\Psi }}{4r_c}\rho v\left|v\right|$,     0 < x < L,                                                   (2)

$\frac{\partial T_1}{\partial t}+v\left(\frac{\partial T_1}{\partial t}+{\epsilon }_D\frac{\partial p_1}{\partial x}\right)=\frac{2\left(\mathrm{\theta } -w\rho C_f\right)}{\rho C_f{r}_c}\left({\overline{)T_2}}_{r=r_c}-T_1\right)$,                      (3)

$\begin{array}{c}\beta *\frac{\partial p_2}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{k}{\mu }r\frac{\partial p_2}{\partial r}\right)\\ 0 \le x \le L, r_c < r < R_{k,}, 0 < t \le t_{exp}\end{array}$,                                               (4)

$\begin{array}{c}{C}_R\frac{\partial T_2}{\partial t}=\rho C_f\frac{k}{\mu }\frac{\partial p_2}{\partial r}\left(\frac{\partial T_2}{\partial r}+{\epsilon }_D\frac{\partial p_2}{\partial r}\right)\\ 0 \le x \le L, r_c < r < R_{k,}, 0 < t \le t_{exp}\end{array}$,                                              (5)

с начальными

$\begin{array}{c}{p}_2 (x, r,0) = p_{20} (x, r), T_2 (x, r,0) = T_{20} (x, r),\\ 0 \le x \le L, r_c < r < R_k,\end{array}$                                   (6)

и граничными условиями

${\int }_S\frac{k}{\mu }\frac{\partial p_2}{\partial r}dS=q$, $0 < t \le t_{exp}$,                                                           (7)

$p_2( x, R_k, t ) = p_{2k}, T_2 ( x, R_k, t ) = T_{2k}$.                                           (8)

Здесь p₁ = p₁ (x) , T₁ = T₁ (x,t),– давление и температура в стволе горизонтальной скважины p₂ = p₂ ( x, r, t ) , T₂ = T₂ ( x, r, t ),– давление и температура в пласте, p_2k – пластовое давление, T_2k – пластовая температура, q – дебит горизонтальной скважины, S – поверхность ствола горизонтальной скважины,– радиус ствола скважины, R_k – радиус контура питания, β* – упругоемкость пласта, v(x) – скорость флюида в стволе скважины, ρ – плотность флюида, ε_D – коэффициент Джоуля-Томсона, θ – коэффициент теплопередачи, С_R – коэффициент объемной теплоемкости пласта, C_f – удельная теплоемкость флюида, w – скорость фильтрации в пласте, L – длина ствола горизонтальной скважины, t_exp – время работы скважины.

Модель горизонтальной скважины, приведенной на рис. 1, эффективна, например, в пластах небольшой толщины 10–20 м (нефтяные месторождения РТ). В то же время наклонно-направленные скважины эффективны в пластах большей мощности. В таких горизонтальных скважинах нужно учитывать гравитацию. Более подробный анализ профилей горизонтальных скважин, используемых при разработке нефтяных месторождений, приводится в монографии [23].

Для численного решения системы (1)–(8) применяется метод конечных разностей. Область фильтрации покрывается неравномерной сеткой, которая сгущается к скважине. Построение такой сетки проводится с помощью преобразования координат $\xi =\ln r$ [24]. Для построения разностной схемы, аппроксимирующей краевую задачу (1)–(8), используется интегро-интерполяционный метод [25]. На каждом временном слое сначала рассчитывается давление в стволе скважины и пласте, затем температура в пласте и стволе.

Корреляционные соотношения коэффициента трения для ламинарного и турбулентного течения в стволе горизонтальной скважины с учетом притока флюида из пласта были получены в работе [6]. В случае турбулентного течения в стволе горизонтальной скважины коэффициент гидравлического сопротивления рассчитывался по следующей формуле [6, 26]

$\begin{array}{c}\mathrm{\Psi }= {\mathrm{\Psi }}_0\left(1-29.03{\left(\raisebox{1ex}{$R{e}_w$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$Re$}\right.\right)}^{0.8003}\right),\\ Re =2r_{w}v\rho /\mu , R{e}_w=2r_{w}w\rho /\mu ,\end{array}$
${\Psi }_0={\left(-411g\left(\frac{\epsilon }{3.7065}-\frac{5.0462}{Re}\times lg\left(\frac{{\epsilon }^{1.1078}}{2.8257}+{\left(\frac{7.149}{Re}\right)}^{0.8981}\right)\right)\right)}^{-2}$

где ε – относительная шероховатость, Re, Re_w – числа Рейнольдса. Необходимо отметить, что коэффициент ψ₀ зависит только от числа Рейнольдса Re и относительной шероховатости.

При проведении расчетов коэффициент гидравлического сопротивления для ламинарного потока в стволе горизонтальной скважины брался в виде [6]:

${\mathrm{\Psi }}_{}^{}= {\mathrm{\Psi }}_0\left(1+0.04304{\left(R{e}_w\right)}^{0.6142}\right), \mathrm{\Psi } =\frac{16}{Re}$

Для решения обратной коэффициентной задачи, когда процесс тепломассопереноса описывается уравнениями (1)–(8), система “пласт–горизонтальная скважина” аппроксимируется серией сегментов. Каждый сегмент представляет собой цилиндрическую область фильтрации с постоянным коэффициентом проницаемости (рис. 1). Оценка коэффициента проницаемости ищется в классе кусочно-постоянных функций. В качестве исходной информации используются кривые изменения температуры, снятые одновременно несколькими глубинными измерительными приборами, установленными на разных участках горизонтального ствола.

Обратная задача формулируется следующим образом: определить коэффициент проницаемости, когда процессы тепломассопереноса в нефтяном пласте и стволе горизонтальной скважины описываются системой (1)–(8).

Дополнительно известны изменения температуры при пуске скважины, измеренные глубинными приборами, установленными в различных участках ствола горизонтальной скважины:

$T_{1,i}\left(t\right)\equiv T_1\left(x_i,t\right)=\phi \left(t\right), i=\overline{1,N}, 0<t\le t_{exp}$.                                                (9)

Здесь $x_i, i=\overline{1,N}$ – координаты расположения глубинных измерительных приборов. Участки размещения глубинной измерительной аппаратуры определяются на основе геофизических исследований скважины.

Естественное температурное поле вокруг действующей скважины нарушается за счет тепломассообмена с окружающей средой. После остановки скважины начинается процесс восстановления давления и температуры. Процессы восстановления зависят от многих факторов, прежде всего от предыстории эксплуатации скважины. Для анализа кривых восстановления температуры необходимо знать ее распределение в пласте перед остановкой скважины. Эта информация не может быть получена экспериментально, а также не может быть достаточно точно вычислена. Поэтому в работе рассматривается задача интерпретации результатов термогидродинамических исследований после пуска горизонтальной скважины.

Оценка коэффициента проницаемости ищется в классе кусочно-постоянных функций k(x, r)=k_i, b_i–1 ≤ x < b_i,. Границы зон однородностей b_i,являются известными. Решение обратной задачи (1)–(9) ищется из минимизации среднеквадратичного отклонения между наблюдаемыми и вычисленными величинами:

$F\left(\alpha \right) = \sum _{i=1}^N{\int }_0^{t_{\exp }}{\left[T_{1,i}\left(t\right)-{\phi }_i\left(t\right)\right]}^{2}dt$,                                                                     (10)

где φ_i(t) и T₁,i(t) – наблюдаемые и вычисленные значения температуры, полученные из численного решения уравнений (1)–(8), α = (α₁, α₂, …, α_N) искомый параметр, 0<m_i ≤ α_i ≤ M_i (m_i, M_i = const). Итерационная последовательность для минимизации среднеквадратичного отклонения (10) строится на основе метода Левенберга-Марквардта.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Численное решение обратной коэффициентной задачи исследовалось при различных режимах течения флюида в стволе.

Неоднородный по проницаемости нефтяной пласт разрабатывается горизонтальной скважиной с открытым стволом. Горизонтальная скважина запускается в эксплуатацию с постоянным отбором жидкости из пласта. Исходные данные: C_R= 1.48×10⁶ Дж/(м³·K), C_f = 1929 Дж/(кг·K), T_2k=3 00 K, θ = 5 Вт /(м²·К), p_2k=18 МПа, β*= 10^–4 МПа^–1, μ = 3 мПа с, ρ = 800 кг/м³, ε_D= 0.4 K/МПа, r_c = 0.1 м, R_k = 8 м, t_exp=5 сут.

Результаты численных расчетов на модельной задаче показали, что при различных режимах течения в стволе скважины для однородного нефтяного пласта температура возрастает за счет эффекта Джоуля-Томсона со временем, но вдоль ствола практически не изменяется. Температура вдоль ствола горизонтальной скважины не будет постоянной в случае неоднородного нефтяного пласта. На рис. 2 приводятся кривые вычисленной температуры вдоль ствола горизонтальной скважины на разные моменты времени в случае неоднородного нефтяного пласта (от носка к пятке). Изменение температуры на рис. 2 показывает чувствительность предложенной модели к вариациям коэффициента проницаемости.

 

Рис. 3. Изменение числа Рейнольдса вдоль ствола. (a) – ламинарный поток, (б) – турбулентный поток.

 

На рис. 3 приводится изменение чисел Рейнольдса (от носка к пятке) вдоль ствола горизонтальной скважины в случае неоднородного нефтяного пласта.

Предложенная математическая модель (1)–(8) позволяет построить профиль притока (от носка к пятке) (рис. 4). Результаты численного эксперимента показывают, что наибольший приток наблюдается в зонах, где коэффициент проницаемости имеет наибольшее значение.

 

Рис. 4. Распределение притока жидкости по стволу скважины от носка к пятке. (a) – ламинарный поток, (б) – турбулентный поток.

 

Приводятся результаты численного решения обратной коэффициентной задачи. Для заданных значений оцениваемых параметров решается прямая задача (1)–(8) и в качестве исходной информации используются кривые изменения температуры. Сходимость итерационного процесса исследуется численно. Результаты расчетов показали, что итерационный процесс сходится за 15–20 итераций. Устойчивость решения обратной коэффициентной задачи анализируется с использованием кривых изменения температуры, заданных с погрешностями. В этом случае после решения прямой задачи в полученные зависимости температуры от времени вносятся возмущения, где ω – случайная величина, распределенная по нормальному закону N(0, σ), где σ=δ_φ/3, δ_φ – погрешность измерения температуры. В расчетах погрешность измерения температуры глубинными приборами бралась равной 0.005 К.

 

Рис. 5. Сходимость вычислительного алгоритма при возмущенных исходных данных. (a) – ламинарный поток, (б) – турбулентный поток.

 

Результаты численных экспериментов показали, что предложенный метод устойчив относительно погрешностей исходной информации. На рис. 5 приводится сходимость итерационного процесса при возмущенных исходных данных, где– истинные значения оцениваемых параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена математическая модель для описания термогидродинамических процессов в нефтяном пласте и стволе горизонтальной скважины. Сформулирована обратная коэффициентная задача для оценки коэффициента проницаемости в классе кусочно-постоянных функций. В качестве исходной информации используются кривые изменения температуры, снятые одновременно несколькими глубинными измерительными приборами, установленными на разных участках горизонтальной части ствола скважины. Создан вычислительный алгоритм интерпретации результатов термодинамических исследований горизонтальных скважин, который позволяет оценить значения коэффициентов проницаемостей в этих зонах. Результаты расчетов показывают, что предложенный вычислительный алгоритм позволяет определять проницаемость неоднородного пласта с достаточной для практических целей точностью и строить профиль притока флюида вдоль ствола горизонтальной скважины.

***

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-19-00144).

 

ОБОЗНАЧЕНИЯ

С_f - коэффициент удельной теплоемкости жидкости, Дж/(кг·К)

С_R - коэффициент объемной теплоемкости пласта, Дж/(м³·К)

iter - количество итераций

L - длина ствола горизонтальной скважины, м

M_i - константа

Re, Re_w - числа Рейнольдса

R_к - радиус контура питания, м

T₁ = T₁(x,t) - температура в стволе горизонтальной скважины, К

S - поверхность ствола горизонтальной скважины, м²

T₂ = T₂(x,r,t) - температура в пласте, К

T_2к - начальная пластовая температура, К

b_i - границы зон однородностей, м

k - коэффициент проницаемости пласта, мкм²

k/μ - коэффициент проводимости пласта, мкм²/(мПа∙с)

m - пористость пласта

m_i - константа

p₁ = p₁(x) - давление в стволе горизонтальной скважины, МПа

p = p(x,r,t) - давление в пласте, МПа

p_2k - начальное пластовое давление, МПа

q - дебит скважины, м³/сут

r_c - радиус скважины, м

_texp - время промыслового эксперимента, сут

v(x) - скорость флюида в стволе скважины, м/с

w(x, r) - скорость фильтрации, м/с

x_i - координаты расположения глубинных измерительных приборов, м

α_i - искомые параметры

β* коэффициент упругоемкости, 1/МПа

ε - относительная шероховатость

ε_D - коэффициент Джоуля-Томсона, К/МПа

θ - коэффициент теплопередачи, Вт /(м² К)

μ - вязкость жидкости, мПа·с

ρ - плотность жидкости, кг/м³

φ_i(t) - наблюдаемые значения температуры, К

ψ - коэффициент гидравлического сопротивления

ИНДЕКСЫ

exp - эксперимент (experiment)

i - номер параметра

к - контур питания

с - скважина

f - жидкость (fluid)

R - пласт (reservoir)

D - Джоуль-Томсон

w - скорость фильтрации в пласте

About the authors

E. Р. Бадертдинова

ФГБОУ ВО “КНИТУ”

Author for correspondence.
Email: badertdinova@yandex.ru
Russian Federation, Казань

М. Х. Хайруллин

ФГБОУ ВО “КНИТУ”; ИММ – обособленное структурное подразделение ФИЦ КазНЦ РАН

Email: badertdinova@yandex.ru
Russian Federation, Казань; Казань

М. Н. Шамсиев

ФГБОУ ВО “КНИТУ”; ГБОУ ВО АГТУ ВШН

Email: badertdinova@yandex.ru
Russian Federation, Казань; Альметьевск

Р. М. Хайруллин

ФГБОУ ВО “КНИТУ”

Email: badertdinova@yandex.ru
Russian Federation, Казань

References

Supplementary files