Noise-immunity of optimal symbol-by-symbol reception of signals with corrective coding in Galois fields for fading channels

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Посимвольный прием цифровых сигналов минимизирует вероятность ошибки на информационный бит P_б в отличие от приема, реализующего правило максимального правдоподобия, минимизирующее вероятность ошибки на дискретное сообщение [1–3]. Разработанные алгоритмы посимвольного приема сигнальных конструкций на основе ряда корректирующих кодов (например, на основе низкоплотностных кодов, турбокодов [3–7]) обеспечивают достижение вероятностных характеристик, близких к предельным характеристикам, определяемых пропускной способностью каналов с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ) [6, 8–12].

Суть посимвольного приема – принятие решений относительно переданных сигнальных символов на основе вычисленных апостериорных вероятностей [2, 3].

Современной тенденцией при разработке информационных систем является использование цифровых сигналов со сложными «созвездиями», определяющими повышение их информативной емкости [1, 5, 13, 14]. Этот подход дает возможность увеличения скорости передачи информации при ограниченной частотной полосе канала [1, 4, 15]. В работах [9, 12–14, 16–18] приведены алгоритмы оптимального посимвольного приема сигнальных конструкций на основе цифровых сигналов с различными манипуляциями (например, с использованием многоуровневой фазовой манипуляции (ФМ-М)) в сочетании с корректирующими кодами в недвоичных полях Галуа GF (2^m), объем которых согласован с объемом 2^m соответствующих сигнальных «созвездий». Исследование помехоустойчивости этих алгоритмов приема ряда анализируемых сигнальных конструкций произведено для канала АБГШ [12, 14, 19].

Актуальной является проблема исследования помехоустойчивости алгоритмов оптимального посимвольного приема сигнальных конструкций из этого класса на основе корректирующего кодирования в недвоичных полях Галуа GF (2^m) при передаче по каналам с амплитудными замираниями за счет многолучевого распространения [1, 4].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $\overrightarrow{A}=(a_i; 0\le i\le k-1)$ – последовательность k информационных символов поля Галуа GF (2^m), формируемого по модулю неприводимого многочлена γ (x) степени m [15]. Элементы a_i представляются многочленами

$a_i=\sum _{p=0}^{m-1}{\alpha }_p\left(a_i\right)x^p$

с коэффициентами α_p (a_i) ∈ GF (2) [5, 15].

Кодовое слово $\overrightarrow{B}$, соответствующее вектору $\overrightarrow{A}$ корректирующего кода c кодовой скоростью r = k / n, задается соотношением $\overrightarrow{B}=\overrightarrow{A}H$, где H – порождающая матрица кода размером n × k, n – длина кодовых слов [15]. Кодовые символы b_i (0 ≤ i ≤ n − 1) в составе $\overrightarrow{B}$ однозначно сопоставляются цифровым сигналам с манипуляционным «созвездием» объемом 2^m, передаваемым по каналам с помехами и искажениями.

Реализация $\overrightarrow{Y}=({\dot{y}}_l; 0\le l\le n-1)$ с выхода демодулятора сигналов поступает на вход решающего устройства, ${\dot{y}}_l$ – комплексные отсчеты квадратурных каналов. При использовании оптимального посимвольного приема вычисляются апостериорные вероятности $\mathrm{Pr}\left(a_i=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$, где β ∈ GF (2^m), и принимаются решения относительно символов â_i с использованием правила [2, 3]

${â}_i=\underset{\beta \in GF\left(2^m\right)}{max}\mathrm{Pr}\left(a_i=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$. (1)

В [2, 12] приведено описание разработанного производительного алгоритма вычисления соотношения (1). Исследование помехоустойчивости этого алгоритма произведено для ряда цифровых сигналов с объемами «созвездий» 2^m для канала АБГШ [12, 14, 17]. Показано, что применение анализируемого алгоритма приема сигнальных конструкций на основе цифровых сигналов ФМ-М и корректирующего кода с проверкой на четность в поле Галуа GF (2^m) (m = 2, 3, 4) обеспечивает значимый энергетический выигрыш до 2 дБ по отношению к передаче без кодирования [12].

Цель работы – исследование помехоустойчивости разработанного алгоритма оптимального посимвольного приема анализируемых сигнальных конструкций на основе корректирующего кодирования в полях Галуа GF (2^m) при многолучевом распространении по трансионосферным каналам (спутниковым ионосферным каналам) с замираниями за счет рассеяния на ионосферных неоднородностях.

2. АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО ПОСИМВОЛЬНОГО ПРИЕМА

Цифровые сигналы s (t) характеризуются частотной эффективностью m = log₂M (бит/с/Гц), задающей максимальную скорость передачи R = mΔF (бит/с) для канала с частотной полосой ΔF [1, 4].

Сигнальные конструкции на основе s (t) и корректирующих кодов с параметрами (n, k) в полях GF (2^m) задаются соотношением [1]

$s\left(t\right)=\sum _{i=0}^{n-1}{A}_{i}U\left(t\right)\cos (2\pi ft+{\phi }_i)$, (2)

где f – несущая частота; U (t) = 1 при iT ≤ t < (i + 1) T, иначе, U (t) = 0; A_i, φ_i – амплитуда и фаза радиоимпульсов в составе s (t), задающие вид сигнального «созвездия»; T – тактовый интервал.

Радиоимпульсы в составе s (t) формируются, отображая m двоичных информационных символов α_p (b_i) (p = 0, 1, ..., m − 1) в отсчеты «созвездия» с комплексными огибающими ${\dot{V}}_i=A_i\exp \left(j{\phi }_i\right)$ [4]. ФМ-М-сигналы характеризуются постоянством амплитуд A_i = A_c.

Апостериорные вероятности $\mathrm{Pr}\left(a_i=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$ для символов сигнальных конструкций (2) вычисляются с использованием соотношения [2, 10]

$\mathrm{Pr}\left(a_i=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)=\sum _{\overrightarrow{B}:a_i=\beta }\mathrm{Pr}\left(\overrightarrow{B}\overline{)\overrightarrow{Y}}\right)=\sum _{\overrightarrow{B}:a_i=\beta }\frac{\mathrm{Pr}\left(\overrightarrow{B}\right)}{p\left(\overrightarrow{Y}\right)}p\left(\overrightarrow{Y}\overline{)\overrightarrow{B}}\right)$, (3)

где $p\left(\overrightarrow{Y}\overline{)\overrightarrow{B}}\right)=\prod _{i=0}^{n-1}p\left({\dot{y}}_i\overline{)b_i}\right)$ – функция правдоподобия;

$\mathrm{Pr}\left(\overrightarrow{B}\right)=2^{-mk}$.

Сложность вычисления $\mathrm{Pr}\left(a_i=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$ (3) определяется требуемым объемом вычислительных операций P₁ ≈ 2^mk и представляет трудоемкую задачу даже для малых значений m, k.

В работах [2, 12] приведено описание разработанного алгоритма для решения этой задачи с существенно более низкой сложностью реализации. Для пояснения ниже дано его общее описание. Алгоритм включает три этапа.

Первый этап. Вычисляется множество спектральных составляющих C_l (r) для последовательности $p\left({\dot{y}}_l\overline{)V_i}\right)$

$C_l\left(r\right)=\sum _{i={\mathrm{0...2}}^m-1}p\left({\dot{y}}_l\overline{)V_i}\right)w_i\left(r\right), r\in GF\left(2^m\right)$, (4)

где i = 0, 1, ..., 2^m − 1; l = 0, 1, ..., n − 1 – номера кодовых символов в составе кодового слова; w_i (r) – базисные функции Уолша-Адамара с перемежением номеров . Закон перемежения задается аналитически для порождающих многочленов в виде γ (x) = 1+ x^k + x^m (1 ≤ k ≤ m − 1) либо в виде таблицы, получаемой путем предобработки с целью сопоставления функциям Уолша–Адамара значений $p\left({\dot{y}}_l\overline{)V_i}\right)$, задаваемых моделью канала передачи [2, 12].

Второй этап. Вычисляется множество {T_l (λ)} с использованием C_l (r) и множества кодовых слов R дуального кода C_H с параметрами (n, n − k) [15]

$T_l\left(\lambda \right)=\frac{{\displaystyle \sum _{r_p:R\in C_H}{C}_l(r_l-\lambda )\prod _{\begin{array}{l}p=0\\ p\ne l\end{array}}^{n-1}{C}_p\left(r_p\right)}}{{\displaystyle \sum _{r_p:R\in C_H}\prod _{p=0}^{n-1}{C}_p\left(r_p\right)}}$. (5)

Обозначение r_p : R ∈ C_H в (5) определяет операции для последовательности кодовых символов r_p в составе кодовых слов R кода C_H.

Третий этап. Вычисляют апостериорные вероятности $\mathrm{Pr}\left(b_l=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$, используя алгоритм быстрого спектрального преобразования в базисе Уолша–Адамара (БПУ) размерностью 2^m над {T_l (λ)},

$\mathrm{Pr}\left(b_l=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)=\sum _{\lambda ={\mathrm{0...2}}^m-1}{T}_l\left(\lambda \right)w_{\beta }\left(\lambda \right)$. (6)

Решения относительно символов кодового слова $\overrightarrow{B}$ принимаются на основе значений $\mathrm{Pr}\left(b_l=\beta \overline{)\overrightarrow{Y}}\right)$ в соответствии с правилом (1).

При исполнении первого этапа (4) полагается, что на временном интервале lT ≤ t < (l + 1) T нормированные отсчеты ${\dot{y}}_l$ для ФМ-М-сигналов и канала АБГШ с спектральной плотностью мощности N₀ представляют случайные величины со средними

$\sqrt{\frac{2m{E}_c}{N_0}}\cos \left({\phi }_i\right), \sqrt{\frac{2m{E}_c}{N_0}}\sin \left({\phi }_i\right)$.

и с единичной дисперсией. Здесь E_c – энергии сигнальных символов «созвездия» с огибающими ${\dot{V}}_i$, плотности вероятности $p\left({\dot{y}}_l\overline{){\dot{V}}_i}\right)$ при вычислении соотношения (4) задаются как [12]

$p\left({\dot{y}}_l\overline{){\dot{V}}_i}\right)=K\exp \left(-{||{\dot{y}}_l-{\dot{V}}_i||}^2/2\right)$, (7)

||x|| – евклидова метрика; K – коэффициент нормировки.

Сложность вычисления соотношений (4)–(6) оценивается как P₂ ≅ 2^{m (n – k)}, для значений n − k << k выполняется условие P₂ << P₁.

Наиболее простым для реализации является алгоритм посимвольного приема для сигнальных конструкций на основе корректирующего кода с проверкой на четность с параметрами (n, n − 1). В этом случае кодовый вектор кода C_H представляет последовательность длительностью k + 1 одинаковых элементов поля GF (2^m) и справедливо соотношение P₂ ≅ 2^m [9, 12, 19].

3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ КАНАЛА С ЗАМИРАНИЕМ

Замирания сигналов приводят к деградации вероятностных характеристик P_б по отношению к распространению в свободном пространстве [2]. Количественные значения соответствующих энергетических потерь определяются статистическими свойствами амплитуды сигналов A как случайного процесса.

Ниже рассматриваются модели замираний сигналов при их многолучевом распространении по трансионосферным каналам [20–24]. При создании и развитии моделей замираний сигналов для данных каналов используются два подхода – на основе аналитического описания процесса распространения сигналов [21, 22] и на основе использования эмпирических соотношений относительно плотности распределения p (A) [24].

Аналитические подходы основаны на решении стохастического нелинейного волнового уравнения относительно электрического поля [22]. Соответствующие решения, полученные с использованием борновского приближения и приближения Рытова, дают возможность оценить вторые статистические моменты функционалов от амплитуды A.

Модели замираний из второго класса связывают параметры эмпирической плотности распределения p (A) с индексом сцинтилляции [21–24]

$S_4^2=(<A^4>-{(<A^2>)}^2)/{(<A^2>)}^2$,

здесь <·> – усреднение по времени, если полагать процесс A эргодическим.

Относительно значений S₄ замирания классифицируются как слабые для S₄ < 0.3, средние для 0.3 < S₄ < 0.6 и сильные для S₄ > 0.6 [21].

Вероятность ошибки P_б для ФМ-М-сигналов с амплитудой A имеет вид [1]

$P_{б}\left(A\right)=\frac{1}{m}\left(1-\underset{-\pi /M}{\overset{\pi /M}{\int }}p\left(\theta \right)d\theta \right)$. (8)

Здесь p (θ) – плотность распределения фазы, для АБГШ с односторонней спектральной плотностью N₀ справедливо соотношение [1]

$p\left(\theta \right)=\frac{1}{2\pi }\exp \left(-\frac{E_c{\sin }^2\theta }{N_0}\right)\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}r\exp \left(-\frac{1}{2}{(r-\sqrt{\frac{2E_c}{N_0}}\cos \theta )}^2\right)dr$, (9)

E_c = E_бlog₂M – энергия радиоимпульсов; A – энергия на 1 бит.

Для амплитуды A с плотностью распределения p (A) вероятность ошибки P_б с учетом замираний задается соотношением [1]

$P_{б}=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{P}_{б}\left(A\right)p\left(A\right)dA$. (10)

Для слабых замираний плотность распределения p (A) задается логнормальным законом [20, 21]

$p\left(A\right)=\frac{1}{A}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left[-\frac{{(\ln A-\ln A_0)}^2}{2{\sigma }^2}\right], A>0$. (11)

Здесь A₀ – амплитуда регулярной сигнальной составляющей; σ² – средняя мощность многолучевых компонент сигналов на выходе ионосферной линии.

Более общее выражение для  задается распределением Накагами [20]

$p\left(A\right)=\frac{2}{\Gamma \left(m\right)}{\left(\frac{m}{{\sigma }_c^2}\right)}^m{A}^{2m-1}\exp \left(-\frac{m{A}^2}{{\sigma }_c^2}\right)$. (12)

Здесь ${\sigma }_c^2$ – средняя мощность сигналов; m ≥ 1/ 2 – параметр, задаваемый соотношением

$m=\frac{{\Omega }^2}{<{(A^2-\Omega )}^2>}$,

$\Omega =<A^2>$; Г (m) – гамма-функция.

Параметры S₄ и m для распределения Накагами связаны [20–22]

$m=1/S_4^2$. (13)

Для m > 1 (для слабых, средних и, отчасти, сильных замираний) распределение Накагами аппроксимируется распределением Релея–Райса [21]

$p\left(A\right)=\frac{A}{{\sigma }^2}\exp \left(-\frac{A^2+A_0^2}{2{\sigma }^2}\right)I_0\left(\frac{A{A}_0}{{\sigma }^2}\right)$, (14)

где A₀ – амплитуда регулярной сигнальной составляющей; I₀ (x) – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Вычисление значений P_б с использованием соотношения (10) с целью оценивания энергетических потерь с учетом замираний по отношению к распространению в свободном пространстве выполняется при условии равенства средних энергий

$E_c={\overline{E}}_c=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{A^{2}T}{2}p\left(A\right)dA, т.е. A_c^2=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{A}^{2}p\left(A\right)dA$.

Это условие обеспечивается выбором значений A₀ и σ² модели (14), как решения уравнения

$A_c^2=2{\sigma }^2+A_0^2$. (15)

Значения ${\sigma }^2, A_0^2$ в (15) для распределения Релея–Райса (14) связаны через коэффициент Райса d [25]

$d=\frac{A_0^2}{2{\sigma }^2}=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{m^2-m}}{m-\sqrt{m^2-m}}$. (16)

Решения системы уравнений (15), (16) относительно $A_0^2, {\sigma }^2$ имеют вид

$A_0^2=\frac{d{A}_c^2}{1+d}, {\sigma }^2=\frac{A_c^2}{2(1+d)}$.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Ниже даны результаты моделирования алгоритма посимвольного приема с целью исследования помехоустойчивости сигналов ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 (коэффициенты частотной эффективности 2, 3 и 4 бит/с/Гц) в сочетании с корректирующим кодом с проверкой на четность в полях Галуа GF (2²), GF (2³), GF (2⁴) при распространении по трансионосферным каналам с замираниями. Информационный объем передаваемых сообщений составляет 96 битов, т.е. для рассматриваемых сигнальных конструкций количество информационных символов k = 48, 32 и 24, соответствующие кодовые скорости  корректирующих кодов равны 48/49, 32/33 и 24/25. Моделирование произведено для условий идеальной синхронизации по частоте, фазе и временным тактам. Приведены оценки вероятностей ошибки P_б и соответствующих энергетических потерь ΔE по отношению к распространению в свободном пространстве.

На рис. 1 приведены вероятности ошибки P_б, вычисленные с использованием соотношений (8), (9), (10) для сигналов ФМ-4, ФМ-8, ФМ-16 при передаче по каналу АБГШ: для вероятности P_б = 10^–5 требуются значения E_б / N₀, равные 9.5, 13.0 и 17.25 дБ соответственно.

Рис. 1. Вероятности ошибки P_б для сигналов ФМ-4 (кривая 1), ФМ-8 (кривая 2), ФМ-16 (кривая 3) при распространении по каналу АБГШ.

На рис. 2–4 приведены вероятностные кривые P_б для посимвольного приема рассматриваемых сигнальных конструкций – кривые 1 и 2 соответствуют вероятностям P_б без применения и с применением корректирующего кодирования для каналов АБГШ с замиранием с параметрами сцинтилляции трансионосферного канала S₄ = 0.3 (см. рис. 2а, 3а, 4а) и S₄ = 0.6 (см. рис. 2б, 3б, 4б). Для канала с замиранием с параметром S₄ = 0.3 вероятность ошибки P_б = 10^–5 при посимвольном приеме сигналов без использования корректирующего кодирования достигается при значениях E_б / N₀, равных 16.0, 19.0 и 23.0 дБ соответственно (энергетические потери по отношению к АБГШ каналу без замираний составляют 6.5, 6.0, 5.75 дБ). Для параметра  данная вероятность ошибки достигается при значениях  39.5, 43.0 и 45.0 дБ соответственно (энергетические потери по отношению к АБГШ каналу без замираний составляют 30.0, 30.0 и 27.75 дБ).

Рис. 2. Вероятности ошибки при приеме сигнальной конструкции на основе сигналов ФМ-4 для канала с замиранием (параметр S₄ = 0.3 (а) и 0.6 (б)): 1 – без кодирования; 2 – с использованием корректирующего кода в поле GF (2²).

Рис. 3. Вероятности ошибки при приеме сигнальной конструкции на основе сигналов ФМ-8 для канала с замиранием (параметр S₄ = 0.3 (а) и 0.6 (б)): 1 – без кодирования; 2 – с использованием корректирующего кода в поле GF (2³).

Рис. 4. Вероятности ошибки при приеме сигнальной конструкции на основе сигналов ФМ-16 для канала с замиранием (параметр S₄ = 0.3 (а) и 0.6 (б)): 1 – без кодирования; 2 – с использованием корректирующего кода в поле GF (2⁴).

Для канала с замиранием с параметром S₄ = 0.3 вероятность P_б = 10^–5 при посимвольном приеме сигналов с использованием корректирующего кода с проверкой на четность достигается при значениях E_б / N₀, равных 11.5, 14.25 и 18.0 дБ соответственно (энергетические потери по отношению к АБГШ каналу без замираний составляют 2.0, 1.25 и 0.75 дБ). Для параметра S₄ = 0.6 вероятность ошибки P_б = 10^–5 достигается при значениях E_б / N₀, равных 27.0, 19.0 и 30.0 дБ соответственно (энергетические потери по отношению к АБГШ каналу без замираний составляют 17.5, 6.0 и 12.75 дБ).

В табл. 1 приведены результирующие значения энергетического выигрыша при использовании рассматриваемых цифровых сигналов ФМ-М и корректирующего кодирования в полях Галуа  по отношению к передаче без кодирования по трансионосферным каналам с замираниями. Видно, что применение корректирующего кодирования с проверкой на четность в сочетании с алгоритмом оптимального посимвольного приема анализируемых сигнальных конструкций на основе цифровых сигналов ФМ-М для трансионосферных каналов с замираниями обеспечивает значимый энергетический выигрыш до 4.5…24 дБ по отношению к посимвольному приему без корректирующего кодирования.

Таблица 1. Значения энергетического выигрыша (дБ) при использовании сигнальных конструкций на основе сигналов ФМ-М и корректирующего кодирования с кодовой скоростью r в полях Галуа GF (M) по отношению к передаче без кодирования по трансионосферным каналам

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дано описание алгоритма оптимального посимвольного приема сигнальных конструкций на основе цифровых сигналов и корректирующего кодирования в полях Галуа GF (2^m). Основу анализируемого алгоритма составляет БПУ с размерностью 2^m. Сложность алгоритма посимвольного приема определяется размерностью дуального кода, что обусловливает перспективность его применения для блоковых корректирующих кодов с низкой избыточностью.

Исследование вероятностных характеристик рассматриваемого алгоритма посимвольного приема произведено путем его моделирования для сигнальных конструкций на основе интенсивно используемых в приложениях цифровых сигналов с многофазовой манипуляцией ФМ-4, ФМ-8 и ФМ-16 и для корректирующих кодов с проверкой на четность с кодовыми скоростями 48/49, 32/33 и 24/25 в полях Галуа GF (2²), GF (2³), GF (2⁴). Показано, что применение алгоритма посимвольного приема для моделей трансионосферных каналов с замираниями за счет рассеяния на ионосферных неоднородностях обеспечивает значительный энергетический выигрыш, до 4.5…24 дБ, по отношению к приему сигналов без кодирования. Используемые модели каналов с замираниями задавались параметром индекса сцинтилляции S₄ = 0.3 (слабые и средние замирания) и S₄ = 0.6 (средние и сильные замирания).

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена в рамках государственного задания ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

About the authors

L. E. Nazarov

Author for correspondence.
Email: levnaz2018@mail.ru
Russian Federation, Vvedenskogo Squar., 1 Fryazino, Moscow region, 141190

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Error probabilities Pb for FM-4 (curve 1), FM-8 (curve 2), FM-16 (curve 3) signals when propagating through the ABGS channel.

Download (64KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Error probabilities at reception of the signal design based on FM-4 signals for the channel with fading (parameter S4 = 0.3 (a) and 0.6 (b)): 1 - without coding; 2 - using a correction code in the GF field (22).

Download (120KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Error probabilities at reception of the signal design based on FM-8 signals for the channel with fading (parameter S4 = 0.3 (a) and 0.6 (b)): 1 - without coding; 2 - using a correction code in the GF field (23).

Download (118KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Error probabilities at reception of the signal design based on FM-16 signals for the channel with fading (parameter S4 = 0.3 (a) and 0.6 (b)): 1 - without coding; 2 - using a correction code in the GF field (24).

Download (117KB)

Indexing metadata