Analysis of diode mixers using the method of node potentials in generalized matrix form in the frequency domain. Part 2. Isolation between ports, miscondition effect, noise level

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Ранее в [1] нами был представлен подробный обзор существующих методов анализа преобразователей частоты. Однако известные методы применялись только для анализа коэффициента передачи, анализ развязок по портам не рассматривался. Рассмотренный в [2] метод на основе так называемой матрицы преобразования применяется для анализа шумовых характеристик смесителей [3]. Однако, как и в случае линейного анализа, существенно возрастает размерность матрицы, особенно для двойной и тройной балансных схем. Предлагаемая авторами методика анализа диодных смесителей методом узловых потенциалов в обобщенном матричном виде в частотной области позволяет рассчитать коэффициент передачи преобразователя частоты, развязки “вход-выход” и “гетеродин-выход”, оценить предельно достижимые значения данных характеристик смесителей, провести анализ шумовых свойств схем смесителей различного уровня сложности с учетом собственных шумов преобразовательных элементов.

В данной работе рассмотрен линейный анализ диодных смесителей, включая анализ развязок “вход-выход” и “гетеродин-выход”, получены зависимости функций развязок от сопротивления нагрузки и амплитуды напряжения гетеродина; эффекты рассогласования, вносимые технологическим разбросом параметров диодов; оценки предельно достижимых значений коэффициентов передачи и функций развязок по портам. Рассмотрен шумовой анализ диодных смесителей – определена спектральная плотность шума на выходе смесителей и рассчитан коэффициент шума. Представлены результаты расчёта и моделирования характеристик диодных смесителей, рассмотренных в статье.

1. АНАЛИЗ РАЗВЯЗКИ МЕЖДУ ВХОДАМИ СМЕСИТЕЛЯ

1.1. Анализ развязки между входом и выходом

Эквивалентная смеха балансного смесителя для анализа развязки “вход-выход” представлена на рис. 1а.

Рис. 1. Эквивалентная (а) и модифицированная (б) схемы балансного смесителя для анализа развязки “вход-выход”: узлы схемы 1…6 пронумерованы в соответствии с нумерацией строк и столбцов Y-матрицы смесителя.

Рассмотрим выражение для генераторов тока, управляемых напряжением $G_{1i}{U}_{IFi}(p_0)$, где i = 1, 2 – индекс, соответствующий номеру диода. Во временной области выражения имеют вид $G_{1i}{U}_{IFmi}\cos {\omega }_{0}t$ [4]. Необходимо определить амплитуду напряжения U_IFmi. Для этого воспользуемся формулой связи амплитуд через коэффициент передачи схемы K_B. Для амплитудных значений запишем

$U_{IFmi}=U_{5(6)m}(p_0\pm j{\omega }_{LO})-U_{3(4)m}(p_0\pm j{\omega }_{LO}).$ 

Если сопротивление источника сигнала мало, то получаем

$U_{5(6)m}(p_0\pm j{\omega }_{LO})\approx U_{1(2)m}(p_0).$

То есть перепишем выражение для U_IFmi как

$\begin{array}{c}{U}_{IFmi}=U_{1(2)m}(p_0)-U_{3(4)m}(p_0\pm j{\omega }_{LO})=\\ =U_{1(2)m}(p_0)-K_B{U}_{1(2)m}(p_0)=(1-K_B)U_{1(2)m}(p_0).\end{array}$

Тогда выражение для генератора тока во временной области принимает вид

$G_{1i}(1-K_B)U_{1(2)m}\cos {\omega }_{0}t,$

а в частотной –

$G_{1i}(1-K_B)U_{1(2)m}(p_0).$ (1)

Эквивалентная схема балансного смесителя для анализа эффекта прохождения входного сигнала на выход должна быть изменена с учетом формулы (1) согласно рис. 1б.

Система уравнений в БУП на частоте p₀ имеет вид

$\left[Y\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0)\\ U_2(p_0)\\ U_3(p_0)\\ U_4(p_0)\\ U_5(p_0)\\ U_6(p_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.5G{E}_0\\ -0.5G{E}_0\\ G_{11}(1-K_B)U_1(p_0)\\ G_{12}(1-K_B)U_2(p_0)\\ -G_{11}(1-K_B)U_1(p_0)\\ -G_{12}(1-K_B)U_2(p_0)\end{array}\right],$

окончательно она может быть представлена в виде

$\left[Y\text{'}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0)\\ U_2(p_0)\\ U_3(p_0)\\ U_4(p_0)\\ U_5(p_0)\\ U_6(p_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0,5}G{E}_0\\ -\mathrm{0,5}G{E}_0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$\left[Y\text{'}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}G+2G_S& 0& 0& 0& -2G_S& 0\\ 0& G+2G_S& 0& 0& 0& -2G_S\\ -G_{11}(1-K_B)& 0& G_{d1}+G_L& -G_L& -G_{d1}& 0\\ 0& -G_{12}(1-K_B)& -G_L& G_{d2}+G_L& 0& -G_{d2}\\ -G_{11}(1-K_B)-2G_S& 0& -G_{d1}& 0& G_{d1}+2G_S& 0\\ 0& -G_{12}(1-K_B)-2G_S& 0& -G_{d2}& 0& G_{d2}+2G_S\end{array}\right].$

Как и при расчете коэффициента передачи [1] для определения выходного сигнала необходимо найти отклик от каждого из входных генераторов: $E_0^{+}$, $E_0^{-}$ ( $I_0^{+}$, $I_0^{-}$ ). Сигнал на выходе смесителя определяется падением напряжения на нагрузке:

$U_{\text{вых}}\left(p_0\right)=\left(U_{31}\left(p_0\right)+U_{32}\left(p_0\right)\right)-\left(U_{41}\left(p_0\right)+U_{42}\left(p_0\right)\right),$

где $U_{31}(p_0)$ и $U_{41}(p_0)$ – узловые потенциалы на выходе, определяемые воздействием $E_0^{+}$ ( $I_0^{+}$ ), а $U_{32}(p_0)$ и $U_{42}(p_0)$ – узловые потенциалы на выходе, определяемые воздействием $E_0^{-}$ ( $I_0^{-}$ ). Сигнал на входе смесителя определяется выражением

$U_{\text{вх}}\left(p_0\right)=U_1\left(p_0\right)+U_2\left(p_0\right).$

Таким образом, развязка “вход-выход” выражается как

$K_{BRF-IF}=\underset{G\to \infty }{\lim }\frac{U_{\text{âûõ}}(p_0)}{U_{\text{âõ}}(p_0)}=\frac{0.5G_S\left(G_{d1}{G}_{12}(1-K_B)+G_{d2}{G}_{11}(1-K_B)+2G_{d1}{G}_{d2}\right)}{G_{d1}{G}_{d2}(G_S+G_L)+(G_{d1}+G_{d2})G_S{G}_L}.$ (2)

В случае одинаковых параметров диодов выражение для развязки “вход-выход” имеет вид

$K_{BRF-IF}=\frac{G_S\left((G_0+0.5G_2)+G_1(1-K_B)\right)}{\left((G_0+0.5G_2)+2G_L\right)G_S+(G_0+0.5G_2)G_L}.$

Отметим, что развязка “вход-выход” двойной и тройной балансных схем определяется как сумма развязок каждой пары диодов и в случае равенства параметров диодов равна 0.

1.2. Анализ развязки между гетеродином и выходом

А. Ток диода в “неинтенсивном” и “интенсивном” режимах гетеродина. Эффект прохождения сигнала гетеродина на выход описывается составляющей тока I₀ (см. [1, формула (1)]). Рассмотрим “неинтенсивный” режим работы гетеродина. Представим I₀ как

$\begin{array}{c}{I}_0=I_{LO0}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{I}_{LOn}\cos n{\omega }_{LO}}t\approx \\ \approx I_{LO0}+{\displaystyle \sum _{n=1}^N{I}_{LOn}\cos n{\omega }_{LO}}t,\end{array}$

где компоненты I_LOn связаны с коэффициентами ряда Фурье $i_n$ следующими соотношениями:

$I_{LO0}=i_0,$ $I_{LOn}=2i_n,$ $n=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...}N.$

Учтем в разложении только первую гармонику частоты гетеродина:

$I_0=I_{LO0}+I_{LO1}\cos {\omega }_{LO}t,$

где I_LO0 соответствует постоянной составляющей, а $I_{LO1}\cos {\omega }_{LO}t$ – переменной составляющей тока. Для оценки эффекта прохождения сигнала гетеродина на выход необходимо получить значение I_LO1:

$\begin{array}{c}{I}_{LO1}=2\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}f(U_{LO})}\cos {\omega }_{LO}tdt=\\ =\frac{2}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{I}_S\left(\exp \left(\frac{U_{LOm}\cos {\omega }_{LO}t}{{\phi }_t}\right)-1\right)}\cos {\omega }_{LO}tdt=\\ =2I_S{B}_1(U_{LOm}/{\phi }_t),\end{array}$

где B_n(U_LOm/φ_t) – модифицированная функция Бесселя порядка n. В “интенсивном” режиме работы гетеродина составляющая тока I_LO1 равна

$\begin{array}{c}{I}_{LO1}=2\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{-T/2}{\overset{T/2}{\int }}f(U_{LO})}\cos {\omega }_{LO}tdt=\\ =\frac{4}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T/2}{\int }}f(U_{LO})}\cos {\omega }_{LO}tdt=\\ =\frac{2I_S}{\pi }\left(\exp \left(\frac{U_{LOm}}{{\phi }_t}\right)-\exp \left(-\frac{U_{LOm}}{{\phi }_t}\right)\right).\end{array}$

Б. Анализ схем смесителей. Эквивалентная схема балансного смесителя для анализа развязки “гетеродин-выход” представлена на рис. 2.

Рис. 2. Эквивалентная схема балансного смесителя для анализа развязки “гетеродин-выход”: узлы схемы 1…4 пронумерованы в соответствии с нумерацией строк и столбцов Y-матрицы смесителя.

Схема описывается системой уравнений в БУП на частоте p_LO:

$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}2G_S+G_{d1}& 0& -G_{d1}& 0\\ 0& 2G_S+G_{d2}& 0& -G_{d2}\\ -G_{d1}& 0& G_L+G_{d1}& -G_L\\ 0& -G_{d2}& -G_L& G_L+G_{d2}\end{array}\right]\times \\ \times \left[\begin{array}{c}{U}_1(p_{LO})\\ U_2(p_{LO})\\ U_3(p_{LO})\\ U_4(p_{LO})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-I_{01}(p_{LO})\\ -I_{02}(p_{LO})\\ I_{01}(p_{LO})\\ I_{02}(p_{LO})\end{array}\right].\end{array}$

Развязка “гетеродин-выход” выражается как

$K_{BLO-IF}=\left(U_3(p_{LO})-U_4(p_{LO})\right)/U_{LOm}.$

Токам $I_{0i}(p_{LO})$ соответствуют составляющие тока $I_{LO1i}(p_{LO})$, полученные при разложении тока гетеродина в ряд $I_{01}(p_{LO})=I_{LO11}(p_{LO})$, $I_{02}(p_{LO})=I_{LO12}(p_{LO})$, а отношениям $I_{LO1i}(p_{LO})/U_{LOm}$ – проводимости источника гетеродина $G_{LO1i}$. Окончательное выражение для развязки “гетеродин-выход” принимает вид

$K_{BLO-IF}=\frac{\left\{G_S\left((G_{02}+0.5G_{22})G_{LO11}-(G_{01}+0.5G_{21})G_{LO12}\right)\right\}}{\left\{(G_{01}+0.5G_{21})(G_{02}+0.5G_{22})(G_S+G_L)+\left((G_{01}+0.5G_{21})+(G_{02}+0.5G_{22})\right)G_S{G}_L\right\}}.$ (3)

В случае одинаковых параметров диодов развязка “гетеродин-выход” равна нулю как для балансной, так и для двойной и тройной балансных схем.

2. АНАЛИЗ РАССОГЛАСОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ

В общем случае коэффициент передачи балансного смесителя (см. [1], формула (9)) зависит от параметров двух диодов $K_B=f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})$. Введем значения параметров диодов с учетом технологического разброса:

${G^{\prime }}_{d1}=G_{d1}+\Delta G_{d1},$ ${G^{\prime }}_{d2}=G_{d2}+\Delta G_{d2},$ ${G^{\prime }}_{11}=G_{11}+\Delta G_{11},$ ${G^{\prime }}_{12}=G_{12}+\Delta G_{12},$

где первое слагаемое соответствует номинальному значению, а второе – изменению проводимостей диода (разбросу параметров). С учетом разброса коэффициент передачи представляется как

$\begin{array}{c}{K}_B=K_{B0}+\Delta K_B=f(G{\text{'}}_{d1},G{\text{'}}_{d2},G{\text{'}}_{11},G{\text{'}}_{12})\approx f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})+\frac{\partial f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})}{\partial G_{d1}}\Delta G_{d1}+\\ +\frac{\partial f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})}{\partial G_{d2}}\Delta G_{d2}+\frac{\partial f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})}{\partial G_{11}}\Delta G_{11}+\frac{\partial f(G_{d1},G_{d2},G_{11},G_{12})}{\partial G_{12}}\Delta G_{12},\end{array}$

где K_B0 соответствует коэффициенту передачи при номинальных значениях проводимостей, а ∆K_B – изменение коэффициента передачи. В случае равенства номинальных значений проводимостей получаем

$\begin{array}{c}\Delta K_B=\frac{\partial f(G_d,G_1)}{\partial G_d}(\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2})+\\ +\frac{\partial f(G_d,G_1)}{\partial G_1}(\Delta G_{11}+\Delta G_{12}).\end{array}$

Окончательно изменение коэффициента передачи выглядит следующим образом:

$\begin{array}{c}\Delta K_B=\left\{2G_L{G}_S^2\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2+G_1^2{(G_S+G_L)}^2\right]\right.(\Delta G_{11}+\Delta G_{12})-8G_L{G}_S^2\left[2G_d(G_S+G_L)+\right.\\ \left.\left.+2G_L{G}_S{(G_S+G_L)}^2\right]G_1(\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2})\right\}/{\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2-G_1^2{(G_S+G_L)}^2\right]}^2.\end{array}$

Аналогично изменения развязки “вход-выход” (2) и “гетеродин-выход” (3) балансного смесителя с учетом разброса параметров имеют вид

$\begin{array}{c}\Delta K_{BRF-IF}=\left\{0.5G_S(1-K_B)\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)(\Delta G_{11}+\Delta G_{12})-\right.\\ \left.-\left(0.5G_1{G}_S(1-K_B)(G_S+G_L)-G_L{G}_S^2\right)(\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2})\right\}/{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2,\end{array}$ 

$\Delta K_{BLO-IF}=\frac{-G_S{G}_{LO1}(\Delta G_{d1}-\Delta G_{d2})}{\left[(G_d\left(G_S+G_L)+2G_S{G}_L\right)G_d\right]}.$ 

В общем случае коэффициенты передачи и развязки по портам двойной балансной и тройной балансной схем также зависят от параметров диодов. Для двойной балансной схемы изменения этих характеристик определяются выражениями

$\begin{array}{c}\Delta K_{DB}=\left\{\left\{2G_L{G}_S^2\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2+G_1^2{(G_S+G_L)}^2\right](\Delta G_{11}+\Delta G_{12}+\Delta G_{13}+\Delta G_{14})\right\}\right.-\\ -\left.\left\{8G_L{G}_S^2\left[2G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S{(G_S+G_L)}^2\right]G_1(\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2}+\Delta G_{d3}+\Delta G_{d4})\right\}\right\}/\\ /\left\{{\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2-G_1^2{(G_S+G_L)}^2\right]}^2\right\},\end{array}$ 

$\begin{array}{c}\Delta K_{DBRF-IF}=\left\{\left\{0.5G_S(1-K_{DB})(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S)\times ((\Delta G_{11}+\Delta G_{12})-(\Delta G_{13}+\Delta G_{14}))\right\}-\right.\\ \left.-\left\{\left(0.5G_1{G}_S(1-K_{DB})(G_S+G_L)-G_L{G}_S^2\right)\times \left((\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2})-(\Delta G_{d3}+\Delta G_{d4})\right)\right\}\right\}/\left\{{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2\right\},\end{array}$

$\Delta K_{DBLO-IF}=-G_S{G}_{LO1}\left((\Delta G_{d1}-\Delta G_{d2})+(\Delta G_{d3}-\Delta G_{d4})\right)/\left[(G_d(G_S+G_L)+2G_S{G}_L)G_d\right]$

а для тройной балансной –

$\begin{array}{c}\Delta K_{TB}=\left\{\left\{2G_L{G}_S^2\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2+G_1^2{(G_S+G_L)}^2\right]\right.\right.\left(\Delta G_{11}+\Delta G_{12}+\Delta G_{13}+\Delta G_{14}+\Delta G_{15}+\Delta G_{16}+\right.\\ \left.\left.+\Delta G_{17}+\Delta G_{18}\right)\right\}-\left\{8G_L{G}_S^2\left[2G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S{(G_S+G_L)}^2\right]\right.G_1\left(\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2}+\Delta G_{d3}+\Delta G_{d4}+\Delta G_{d5}+\right.\\ \left.\left.\left.+\Delta G_{d6}+\Delta G_{d7}+\Delta G_{d8}\right)\right\}\right\}/\left\{{\left[2{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2-G_1^2{\left(G_S+G_L\right)}^2\right]}^2\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}\Delta K_{TBRF-IF}=\left\{\left\{0.5G_S(1-K_{TB})\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)\left((\Delta G_{11}+\Delta G_{12})-(\Delta G_{13}+\Delta G_{14})+(\Delta G_{17}+\Delta G_{18})-\right.\right.\right.\\ -\left.\left.(\Delta G_{15}+\Delta G_{16})\right)\right\}-\left\{\left(0.5G_1{G}_S(1-K_{TB})(G_S+G_L)-G_L{G}_S^2)((\Delta G_{d1}+\Delta G_{d2})-(\Delta G_{d3}+\Delta G_{d4})+\right.\right.\\ \left.\left.\left.+(\Delta G_{d7}+\Delta G_{d8})-(\Delta G_{d5}+\Delta G_{d6})\right)\right\}\right\}/\left\{{\left(G_d(G_S+G_L)+2G_L{G}_S\right)}^2\right\},\end{array}$

$\begin{array}{c}\Delta K_{TBLO-IF}=-G_S{G}_{LO1}\left((\Delta G_{d1}-\Delta G_{d2})+(\Delta G_{d3}-\Delta G_{d4})+(\Delta G_{d5}-\Delta G_{d6})+(\Delta G_{d7}-\Delta G_{d8})\right)/\\ /\left(G_d(G_S+G_L)+2G_S{G}_L\right)G_d.\end{array}$

3. ШУМОВОЙ АНАЛИЗ ДИОДНЫХ СМЕСИТЕЛЕЙ

3.1. Балансная схема

А. Шумовая схема балансного диодного смесителя. В общем случае шумовые процессы в смесителях являются циклостационарными. Как было показано в работе [5], при использовании на выходе смесителя полосового фильтра с полосой пропускания меньше половины частоты гетеродина циклостационарные шумовые процессы могут рассматриваться как стационарные. Это предположение о полосовой фильтрации было использовано в данной работе. Эквивалентная схема балансного смесителя (см. [1, рис. 3]) по теореме бисекции может быть приведена к симметричному виду: исходная схема делится пополам, входная G_S и выходная G_L проводимости приводятся к проводимостям с номиналами 2G_S и 2G_L. Тогда шумовую схему балансного диодного смесителя можно представить, как на рис. 3, где $S_{R_S}$, $S_D$, $S_{R_L}$ – спектральные плотности средней мощности шумового напряжения входного сопротивления, диода, сопротивления нагрузки.

Рис. 3. Эквивалентная шумовая схема балансного смесителя, преобразованная к симметричному виду.

В шумовой модели смесителя диод может быть представлен как проводимость $G_0+0.5G_2$ и два генератора тока, управляемые напряжением $0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})$ и $G_1{U}_{IF}(p_0)$, включенные параллельно. Шумовые свойства диода определяются генератором шума со спектральной плотностью средней мощности шумового тока диода $S_D$. Поскольку шумами гетеродина на данном этапе анализа пренебрегаем, то генератор тока I₀ (см. [1, формула (1)]) в шумовой модели смесителя не учитывается. Передаточную функцию цепи от каждого шумового источника можно определить, используя метод анализа нелинейно-параметрических цепей [1].

Б. Шумы сопротивления источника на выходе схемы. Схема для анализа шумов сопротивления источника представлена на рис. 4.

Рис. 4. Эквивалентная схема для анализа шумовых свойств сопротивления R_S: узлы схемы 1…3 пронумерованы в соответствии с нумерацией строк и столбцов Y-матрицы смесителя.

Составим две системы уравнений в БУП по аргументам p₀ и p₀ ± jω_LO соответственно:

$\left[\begin{array}{ccc}G+2G_S& 0& -2G_S\\ 0& (G_0+0.5G_2)+2G_L& -(G_0+0.5G_2)\\ -2G_S& -(G_0+0.5G_2)& 2G_S+(G_0+0.5G_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0)\\ U_2(p_0)\\ U_3(p_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}G{E}_S\\ 0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ -0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{ccc}G+2G_S& 0& -2G_S\\ 0& (G_0+0.5G_2)+2G_L& -(G_0+0.5G_2)\\ -2G_S& -(G_0+0.5G_2)& 2G_S+(G_0+0.5G_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ U_2(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ U_3(p_0\pm j{\omega }_{LO}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ G_1{U}_{IF}(p_0)\\ -G_1{U}_{IF}(p_0)\end{array}\right],$

где $E_S$ – среднеквадратичное напряжение источника шума входного сопротивления приведенной к симметричному виду схемы, которое по теореме бисекции может быть вычислено как $E_S={E^{\prime }}_S/2$, где ${E^{\prime }}_S=\sqrt{{S^{\prime }}_{R_S}\Delta f}=\sqrt{4kT{R}_S\Delta f}$ – среднеквадратичное напряжение источника шума на входе исходной схемы балансного смесителя, а ${S^{\prime }}_{R_S}$ – соответствующая спектральная плотность средней мощности шумового напряжения шума источника. Тогда значение среднеквадратичного напряжения преобразованного источника шума можно выразить как

$E_S=\frac{\sqrt{4kT{R}_S\Delta f}}{2}=\sqrt{4kT\frac{R_S}{4}\Delta f}=\sqrt{S_{R_S}\Delta f},$

где $S_{R_S}=4kT\frac{R_S}{4}$ – спектральная плотность средней мощности шумового напряжения преобразованного источника. Выражения для напряжения в правых частях систем могут быть раскрыты как в [1]. Составляющая источника шума $S_{R_S}$ пересчитывается на выход схемы через передаточную функцию из первого узла во второй, причем воздействие рассматривается на частоте p₀, а отклик – на частоте p₀ ± jω_LO. Передаточная функция $T_{R_S}$ соответствует линейному коэффициенту передачи балансного смесителя:

$T_{R_S}=K_B=\frac{4G_S^2{G}_1{G}_L}{2{\left((G_0+0.5G_2)(G_S+G_L)+2G_S{G}_L\right)}^2-G_1^2{(G_S+G_L)}^2}.$ (4)

Тогда спектральная плотность средней мощности шумового напряжения генератора шума сопротивления источника на выходе будет иметь вид

$S_{R_S\text{вых}}={\left|T_{R_S}\right|}^2{S}_{R_S\text{вх}},$

где $S_{R_S\text{вх}}=S_{R_S}$.

В. Шумы диодов на выходе схемы. Схема для анализа шумов диода представлена на рис. 5.

Рис. 5. Эквивалентная схема для анализа шумовых свойств диода: узлы схемы 1…2 пронумерованы в соответствии с нумерацией строк и столбцов Y-матрицы.

Она может быть описана двумя системами уравнений в БУП по аргументам p₀ и p₀ ± jω_LO соответственно:

$\left[\begin{array}{cc}2G_S+(G_0+0.5G_2)& -(G_0+0.5G_2)\\ -(G_0+0.5G_2)& (G_0+0.5G_2)+2G_L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0)\\ U_2(p_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-I_D-0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ I_D+0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{cc}2G_S+(G_0+0.5G_2)& -(G_0+0.5G_2)\\ -(G_0+0.5G_2)& (G_0+0.5G_2)+2G_L\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ U_2(p_0\pm j{\omega }_{LO})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-G_1{U}_{IF}(p_0)\\ G_1{U}_{IF}(p_0)\end{array}\right],$

где $I_D$ – среднеквадратичный ток источника шума диода, а соответствующая спектральная плотность средней мощности равна $S_D=2q\overline{I_D}$ ( $\overline{I_D}$ – постоянная составляющая тока диода) [6, 7]. Как было отмечено выше, составляющая тока I₀ может быть разложена в ряд Фурье, где постоянная составляющая тока диода определяется как I_LO0. Следовательно, необходимо вычислить значение I_LO0:

$I_{LO0}=i_0=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}f(U_{LO})dt},$,

$I_{LO0}=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{I}_S\left(\exp \left(\frac{U_{LOm}\cos {\omega }_{LO}t}{{\phi }_t}\right)-1\right)}dt=\frac{1}{T}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}{I}_S\exp \left(\frac{U_{LOm}\cos {\omega }_{LO}t}{{\phi }_t}\right)dt}-\frac{1}{T}{I}_{S}dt=I_S\left[B_0\left(\frac{U_{LOm}}{{\phi }_t}\right)-1\right],$

где T = 2π/ω_LO. Тогда окончательное выражение спектральной плотности шума диода на входе принимает вид

$S_D=2q{I}_S\left[B_0\left(U_{LOm}/{\phi }_t\right)-1\right].$ (5)

Составляющая источника шума $S_D$ пересчитывается на выход схемы через передаточный импеданс, соответствующий отношению напряжения во втором узле на частоте p₀ ± jω_LO к току $I_D$, протекающему из первого во второй узел на частоте p₀:

$Z_D=-\frac{2G_S{G}_1(G_S+G_L)}{2{\left((G_0+0.5G_2)(G_S+G_L)+2G_S{G}_L\right)}^2-G_1^2{(G_S+G_L)}^2}.$ (6)

Тогда спектральная плотность средней мощности шумового напряжения диода на выходе определяется как $S_{D\text{вых}}={\left|Z_D\right|}^2{S}_{D\text{вх}}$, где $S_{D\text{вх}}=S_D$.

Г. Шумы сопротивления нагрузки на выходе схемы. Для анализа шумов сопротивления нагрузки рассмотрим схему на рис. 6.

Рис. 6. Эквивалентная схема для анализа шумовых свойств сопротивления R_L: узлы схемы 1…3 пронумерованы в соответствии с нумерацией строк и столбцов Y-матрицы смесителя.

Схема описывается двумя системами уравнений в БУП по аргументам p₀ и p₀ ± jω_LO:

$\left[\begin{array}{ccc}(G_0+0.5G_2)+2G_S& 0& -(G_0+0.5G_2)\\ 0& G+2G_L& -2G_L\\ -(G_0+0.5G_2)& -2G_L& 2G_L+(G_0+0.5G_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0)\\ U_2(p_0)\\ U_3(p_0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ G{E}_L\\ 0.5G_1{U}_0(p_0\pm j{\omega }_{LO})\end{array}\right],$

$\left[\begin{array}{ccc}(G_0+0.5G_2)+2G_S& 0& -(G_0+0.5G_2)\\ 0& G+2G_L& -2G_L\\ -(G_0+0.5G_2)& -2G_L& 2G_L+(G_0+0.5G_2)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{U}_1(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ U_2(p_0\pm j{\omega }_{LO})\\ U_3(p_0\pm j{\omega }_{LO})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-G_1{U}_{IF}(p_0)\\ 0\\ G_1{U}_{IF}(p_0)\end{array}\right],$

где $E_L$ – среднеквадратичное напряжение источника шума сопротивления нагрузки схемы, приведенной к симметричному виду, а соответствующая спектральная плотность средней мощности $S_{R_L}=4kT\frac{R_L}{4}$ определяется аналогично спектральной плотности $S_{R_S}$. Составляющая источника шума $S_{R_L}$ пересчитывается на выход схемы через передаточную функцию из второго узла в третий узел, причем воздействие рассматривается на частоте p₀, а отклик – на частоте p₀ ± jω_LO. Передаточная функция $T_{R_L}$ соответствует линейному коэффициенту передачи балансного смесителя:

$T_{R_L}=-K_B=-\frac{4G_S^2{G}_1{G}_L}{2{\left((G_0+0.5G_2)(G_S+G_L)+2G_S{G}_L\right)}^2-G_1^2{(G_S+G_L)}^2}.$ (7)

Спектральная плотность средней мощности шумового напряжения сопротивления нагрузки на выходе определяется как $S_{R_L\text{вых}}={\left|T_{R_L}\right|}^2{S}_{R_L\text{вх}}$, где $S_{R_L\text{вх}}=S_{R_L}$.

Д. Коэффициент шума. Коэффициент шума смесителя F определяется как $F=1+P_{\text{вых}}^{\text{сш}}/P_{\text{вых}}^{\text{иш}}$, где $P_{\text{вых}}^{\text{сш}}$ – мощность собственных шумов на выходе смесителя, $P_{\text{вых}}^{\text{иш}}$ – мощность шума сопротивления источника сигнала на выходе. Рассмотрим подробнее выражение для коэффициента шума:

$F=1+\frac{P_{\text{вых}}^{\text{сш}}}{P_{\text{вых}}^{\text{иш}}}=1+\frac{S_{\text{вых}}^{\text{сш}}△f}{S_{\text{вых}}^{\text{иш}}△f}=1+\frac{S_{\text{вых}}^{\text{сш}}}{S_{\text{вых}}^{\text{иш}}}=1+\frac{S_{\text{вых}}^{R_L}+S_{\text{вых}}^D}{S_{\text{вых}}^{R_S}}=1+\frac{{\left|T_{R_L}\right|}^{2}4kT\frac{R_L}{4}+{\left|Z_D\right|}^{2}2q\overline{I_D}}{{\left|T_{R_S}\right|}^{2}4kT\frac{R_S}{4}}.$

Так как $T_{R_S}=-T_{R_L}=K_B$, то

$F=1+\frac{R_L}{R_S}+\frac{4{\left|Z_D\right|}^{2}2q{I}_{LO0}}{{\left|T_{R_S}\right|}^{2}4kT{R}_S}.$

Рассмотрим отношение

${\left|Z_D\right|}^2/{\left|T_{R_S}\right|}^2={(G_S+G_L)}^2/4G_S^2{G}_L^2=A,$

из которого следует окончательное выражение для коэффициента шума балансного диодного смесителя:

$\begin{array}{c}F=1+G_S/G_L+{(G_S+G_L)}^{2}2q{I}_S\times \\ \times \left[B_0\left(U_{LOm}/{\phi }_t\right)-1\right]/G_L^{2}4kT{G}_S.\end{array}$

3.2. Двойная балансная схема

Двойную балансную схему можно представить в виде параллельного соединения двух балансных смесителей [1]. Каждый балансный смеситель может быть приведен по теореме бисекции к симметричному виду. Шумовая схема первой пары диодов полностью соответствует схеме балансного смесителя, а шумовая схема второй пары диодов составляется аналогично.

А. Шумы сопротивлений источника и нагрузки на выходе схемы. Передаточные функции от сопротивлений источника $T_{R_S}$ и нагрузки $T_{R_L}$ двойной балансной схемы равны сумме соответствующих передаточных функций каждой из пар диодов. Передаточные функции первой пары диодов $T_{R_{S}1}$ и $T_{R_{L}1}$ получены выше, передаточные функции второй пары диодов $T_{R_{S}2}$ и $T_{R_{L}2}$ выражаются формулами (4), (7) соответственно. Передаточные функции от сопротивлений источника и нагрузки двойного балансного смесителя соответствуют его коэффициенту передачи и определяются как $T_{R_S}=T_{R_{S}1}+T_{R_{S}2}=-T_{R_L}=-(T_{R_{L}1}+T_{R_{L}2})=K_{DB}.$ Спектральные плотности средней мощности шумового напряжения сопротивлений источника $S_{R_S\text{вых}}$ и нагрузки $S_{R_L\text{вых}}$ на выходе определяются как $S_{R_S\text{вых}}\left(S_{R_L\text{вых}}\right)={\left|K_{DB}\right|}^2{S}_{R_S\text{вх}}\left(S_{R_L\text{вх}}\right)$, где спектральные плотности средней мощности шумового напряжения сопротивлений на входе определяются так же, как и в случае балансного смесителя.

Б. Шумы диодов на выходе схемы. Эквивалентная схема для анализа шума диода на выходе представлена на рис. 5. Выше получено выражение для передаточного импеданса (см. (6)). Выходная спектральная плотность средней мощности шумового напряжения генератора шума диода определяется как $S_{D\text{вых}}={\left|Z_D\right|}^2{S}_{D\text{вх}}$, где $S_{D\text{вх}}$ – спектральная плотность средней мощности собственного шумового напряжения диода согласно формуле (5).

В. Коэффициент шума. Аналогично предыдущему случаю, может быть получено выражение для коэффициента шума двойного балансного смесителя

$F=1+\frac{R_L}{R_S}+\frac{4{\left|Z_D\right|}^{2}2q\overline{I}}{{\left|T_{R_S}\right|}^{2}4kT{R}_S},$

причем ${\left|Z_D\right|}^2/{\left|T_{R_S}\right|}^2=A/4$. Тогда окончательное выражение для коэффициента шума двойного балансного диодного смесителя имеет вид

$\begin{array}{c}F=1+G_S/G_L+{(G_S+G_L)}^{2}2q{I}_S\times \\ \times \left[B_0\left(U_{LOm}/{\phi }_t\right)-1\right]/4G_L^{2}4kT{G}_S.\end{array}$

3.3. Тройная балансная схема

Тройную балансную схему можно представить в виде параллельного соединения четырех балансных смесителей [1], каждый из которых может быть приведен по теореме бисекции к симметричному виду. Шумовая схема первой и третьей пар диодов соответствуют шумовой схеме балансного смесителя, а шумовая схема второй и четвертой пар соответствует шумовой схеме второй пары диодов двойного балансного смесителя.

А. Шумы сопротивлений источника и нагрузки на выходе схемы. Передаточные функции от сопротивлений источника $T_{R_S}$ и нагрузки $T_{R_L}$ тройной балансной схемы равны сумме соответствующих передаточных функций каждой из пар диодов. Передаточные функции первой и третьей пар диодов $T_{R_{S}1}$, $T_{R_{S}3}$ и $T_{R_{L}1}$, $T_{R_{L}3}$ получены выше, передаточные функции второй и четвертой пар диодов $T_{R_{S}2}$, $T_{R_{S}4}$ и $T_{R_{L}2}$, $T_{R_{L}4}$ выражаются формулами (4), (7). Окончательно передаточные функции от сопротивлений источника и нагрузки тройного балансного смесителя определяются как $T_{R_S}=T_{R_{S}1}+T_{R_{S}2}+T_{R_{S}3}+T_{R_{S}4}=-T_{R_L}=-(T_{R_{L}1}+T_{R_{L}2}+T_{R_{L}3}+T_{R_{L}4})=K_{TB}$ . Спектральные плотности средней мощности шумового напряжения сопротивлений источника и нагрузки на выходе определяются как $S_{R_S\text{вых}}\left(S_{R_L\text{вых}}\right)={\left|K_{TB}\right|}^2{S}_{R_S\text{вх}}\left(S_{R_L\text{вх}}\right)$. Спектральные плотности средней мощности шумового напряжения сопротивлений на входе определяются так же, как и в случае балансного смесителя.

Б. Шумы диода на выходе схемы. Аналогично случаю, соответствующему анализу шумов диода двойного балансного смесителя, выходная спектральные плотность средней мощности шумового напряжения диода определяется как $S_{D\text{вых}}={\left|Z_D\right|}^2{S}_{D\text{вх}}$, где $Z_D$ – передаточный импеданс (см. (6)), $S_{D\text{ вх}}$ – спектральная плотность средней мощности собственного шумового напряжения диода (см. (5)).

В. Коэффициент шума. Коэффициент шума тройного балансного смесителя определяется как

$F=1+\frac{R_L}{R_S}+\frac{4{\left|Z_D\right|}^{2}2q\overline{I_D}}{{\left|T_{R_S}\right|}^{2}4kT{R}_S},$