Effect of Charge Relaxation Effect on Electromagnetic Radiation Intensity of Oscillating Viscous Liquid Drop

Толық мәтін

1. Введение. Впервые проблема электромагнитного излучения от осциллирующей заряженной капли в облаке была рассмотрена в [1] и затем развита в [2–5]. В [5], в частности было указано на ошибку в расчетах [1] (неправильно была определена асимптотика функции Ханкеля), и эта ошибка перекочевала в [2–4]. В [6] было указано на необходимость учета кривизны заряженной поверхности жидкости при записи уравнения баланса поверхностной плотности заряда в жидкости с конечной электропроводностью. Все это сделало актуальным повторение расчетов [3–4].

Сама задача о расчете интенсивности радиоизлучения (конвективного) грозового облака актуальна в связи с широким спектром разнообразных приложений в геофизике, гидрометеорологии, технике и химической технологии. Большое количество работ посвящено теоретическому и экспериментальному изучению капиллярных осцилляций и электростатической неустойчивости жидкой капли, заряженной собственным или индуцированным внешним электрическим полем зарядами (см. [1–5] и цитируемую там литературу).

В частности, исследование излучения осциллирующей каплей электромагнитных волн привлекает внимание из-за проблем радиолокационного зондирования облаков и туманов [7–10], проблем радиопомех от огней Св. Эльма, появляющихся на обшивке самолетов, пролетающих через облака [11].

Что касается эффекта релаксации заряда, то он возможен только при отличной от нуля вязкости жидкости. Это связано тем, что на свободной поверхности электрические напряжения, возникающие из-за релаксационных движений, могут быть скомпенсированы только вязкими напряжениями.

2. Постановка задачи. Рассмотрим уединенную сферическую каплю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости, характеризующейся массовой плотностью ρ, коэффи-
   циентами поверхностного натяжения σ и кинематической вязкости ν, удельной проводимостью γ₁ ≡ γ, диэлектрической проницаемостью ε₁. Примем, что капля несет заряд  и находится в вакууме с удельной проводимостью γ₂ = 0 и диэлектрической проницаемостью ε₂ = 1. Будем считать проводимость внутренней среды достаточной, чтобы обеспечить отсутствие объемного заряда в капле. Индекс j, принимает значения 1 и 2.

В сферической системе координат (r, θ, φ) с началом в центре масс капли уравнение ее поверхности, совершающей осесимметричные капиллярные осцилляции, в произвольный момент времени  представим в виде:

$r(\theta , t)=R+\xi (\theta , t)$, (2.1)

где ξ (θ, t) – малое возмущение равновесной сферической формы, генерируемое капиллярным волновым движением тепловой природы. При наличии внешних неконтролируемых силовых воздействий (коагуляция, дробление, столкновение, трение о воздух и т.д.) тепловая амплитуда |ξ| может возрастать до десятков процентов от радиуса капли [12, 13].

Отношение |ξ| / R, имеющее смысл безразмерной амплитуды капиллярного волнового возмущения, примем в качестве малого параметра задачи: ε ≡ |ξ| / R << 1. Так как движение жидкости вызывается осцилляциями капли, будем считать, что поле скоростей течения внутренней среды $\overrightarrow{V}(r, \theta , t)$ имеет тот же порядок малости, что и ξ (θ, t): $\overrightarrow{V}(r, \theta , t)~\xi (\theta , t)~\epsilon$.

В нижеследующих рассуждениях учтем, что собственный заряд капли равномерно распределен на равновесной поверхности с постоянной поверхностной плотностью κ⁽⁰⁾. В виду конечности электропроводности жидкости перенос электрического заряда при волновом искажении формы капли приводит к эффекту релаксации заряда.

Выпишем систему электрогидродинамических уравнений, описывающих капиллярные осцилляции заряженной вязкой капли конечной проводимости и возникающего при этом электромагнитного излучения.

Система состоит из уравнения Навье–Стокса:

$\frac{\partial \overrightarrow{V}(r, \theta , t)}{\partial t}+\left(\overrightarrow{V}(r, \theta , t),\nabla \right)\overrightarrow{V}(r, \theta , t)=-\frac{1}{\rho }\nabla P\left(r, \theta , t\right)+\nu \Delta \overrightarrow{V}(r, \theta , t)$, (2.2)

уравнения непрерывности:

$div\overrightarrow{V}(r, \theta , t)=0$,

уравнений Максвелла:

$$\begin{gathered} div{\overrightarrow{D}}_j\left(r, \theta , t\right)=0, {\overrightarrow{D}}_j\left(r, \theta , t\right)={\epsilon }_j{\overrightarrow{E}}_j\left(r, \theta , t\right) \\ \Delta {\overrightarrow{E}}_j(r, \theta , t)-\frac{{\epsilon }_j{\mu }_j}{c^2}\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{E}}_j(r, \theta , t)}{\partial t^2}=0 ( j=1, 2), \end{gathered}$$

условий ограниченности:

$r\to 0: \overrightarrow{V}(r, \theta , t)\to 0, {\overrightarrow{E}}_1(r, \theta , t)\to 0, r\to \infty : {\overrightarrow{E}}_2(r, \theta , t)$, (2.3)

и граничных условий на свободной поверхности капли F (r, θ, t) ≡ r − R − ξ (θ, t) = 0:

кинематического:

$\frac{\partial F(r, \theta , t)}{\partial t}+\overrightarrow{V}(r, \theta , t)·\nabla F(r, \theta , t)=0$,

динамического для касательной компоненты тензора напряжений:

$$\begin{gathered} {\Pi }_{ex\tau }-{\Pi }_{in\tau }-\rho \nu \left[\overrightarrow{\tau }(r, \theta , t)\left(\overrightarrow{n}(r, \theta , t),\nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+\overrightarrow{n}(r, \theta , t)\left(\overrightarrow{\tau }(r, \theta , t),\nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)\right]=0 \\ {\Pi }_{in\tau }=\frac{{\epsilon }_1}{4\pi }{E}_{1n}(r, \theta , t)E_{1\tau }(r, \theta , t), {\Pi }_{ex\tau }=\frac{{\epsilon }_1}{4\pi }{E}_{2n}(r, \theta , t)E_{2\tau }(r, \theta , t) \end{gathered}$$

и динамического для нормальной компоненты тензора напряжений:

$P(r, \theta , t)-2\rho \nu \overrightarrow{n}(r, \theta , t)\left(\overrightarrow{n}(r, \theta , t),\nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+P_Q(r, \theta , t)=P_{\sigma }(r, \theta , t)$

Чтобы учесть эффект релаксации электрического заряда, введем дополнительные граничные условия на поверхности капли F (r, θ, t) ≡ r − R − ξ (θ, t) = 0:

скачка нормальной компоненты электрической индукции:

$D_{exn}(r, \theta , t)-D_{inn}(r, \theta , t)=4\pi \kappa (r, \theta , t)$, (2.4)

непрерывности касательных компонент напряженности электрического поля:

$E_{ex\tau }(r, \theta , t)=E_{in\tau }(r, \theta , t)$,

и баланса поверхностной плотности заряда [6]:

$$\begin{gathered} \frac{\partial \kappa (r,\theta ,t)}{\partial t}-\gamma \left(\overrightarrow{n}(r, \theta , t),{\overrightarrow{E}}_{in}(r, \theta , t)\right)+\kappa (r, \theta , t)\left(\overrightarrow{n}(r, \theta , t),\overrightarrow{V}(r, \theta , t)\right)div\overrightarrow{n}(r, \theta , t)+ \\ +\kappa (r, \theta , t)di{v}_{\Sigma }{\overrightarrow{V}}_{\tau }(r, \theta , t)+b\kappa (r, \theta , t)di{v}_{\Sigma }{\overrightarrow{E}}_{in\tau }(r, \theta , t)=0 \end{gathered}$$ (2.5)

Кроме того, потребуем выполнения естественных интегральных условий сохранения объема капли при ее осцилляциях, неизменности положения центра масс:

$$\begin{gathered} \underset{V}{\int }{r}^{2}dr\sin \theta d\theta d\phi =\frac{4}{3}\pi R^3, \underset{V}{\int }\overrightarrow{r}{r}^{2}dr\sin \theta d\theta d\phi =0 \\ V=[0\le r\le R+\xi (\theta , t), 0\le \theta \le \pi , 0\le \phi \le 2\pi ] \end{gathered}$$

а также постоянства суммарного заряда:

$\underset{S}{\oint }\kappa (r,\theta ,t)dS=Q, S=[r=R+\xi (\theta , t), 0\le \theta \le \pi , 0\le \phi \le 2\pi ]$ (2.6)

В приведенной математической формулировке задачи нижний индекс 1 относится к капле, индекс 2 – к внешней среде, μ_j – магнитная проницаемость j-й среды (ниже принимается μ₁ = μ₂ = 1), κ (r, θ, t) – поверхностная плотность электрического заряда на капле, c – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, b – поверхностная подвижность носителей заряда, ${\overrightarrow{E}}_j\left(r, \theta , t\right)$, ${\overrightarrow{D}}_j\left(r, \theta , t\right)$ – векторы напряженности и индукции электрического поля, создаваемого собственным зарядом, E_jn (r, θ, t), E_jτ (r, θ, t) – компоненты вектора ${\overrightarrow{E}}_j\left(r, \theta , t\right)$ вдоль ортов нормали $\overrightarrow{n}$ и касательной $\overrightarrow{\tau }$ к поверхности капли (2.1), P – давление внутри капли, $P_{\sigma }=\sigma div\overrightarrow{n}$ – давление сил поверхностного натяжения, $P_Q=\frac{1}{8\pi }\left(E_{2n}^2-E_{2\tau }^2-{\epsilon }_1\left(E_{1n}^2-E_{1\tau }^2\right)\right)$ – давление электрических сил, Π_inτ, Π_exτ – электрические составляющие касательной компоненты тензора напряжений, относящиеся к капле (с нижним индексом «in») и внешней среде (с нижним индексом «ex»), $di{v}_{\Sigma }\overrightarrow{A}={\left.\left(div\overrightarrow{A}-\overrightarrow{n}·\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial n}\right)\right|}_{\Sigma }$ – оператор поверхностной дивергенции (символом Σ обозначена поверхность капли (2.1)), ${\overrightarrow{V}}_{\tau }$, ${\overrightarrow{E}}_{1\tau }$ – компоненты вектора скорости движения жидкости в капле и напряженности электрического поля внутри капли, лежащие в плоскости касательной к поверхности капли (2.1), и вычисляемые по формулам:

${\overrightarrow{V}}_{\tau }=\overrightarrow{V}(r, \theta , t)-\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{V}\right), {\overrightarrow{E}}_{1\tau }={\overrightarrow{E}}_{1\tau }-\overrightarrow{n}\left(\overrightarrow{n}, {\overrightarrow{E}}_{1\tau }\right)$

Заметим, что в граничном условии (2.5) скорость изменения поверхностной плотности заряда $\frac{\partial \kappa (r, \theta , t)}{\partial t}$ (первое слагаемое в (2.5)) на возмущенной поверхности капли обусловливается несколькими физическими факторами. В этом случае второе слагаемое представляет собой нормальный к свободной поверхности капли ток проводимости за характерное время максвелловской релаксации τ_r ~ ε₁ / γ. Появление третьего слагаемого обусловлено изменением площади свободной поверхности капли в процессе ее капиллярных осцилляций. Четвертый член имеет смысл конвективного потока заряда касательными составляющими течения жидкости за время порядка периода осцилляций капли τ ~ (R³ρ / σ)^1/2. Пятый член связан с направленным переносом носителей заряда вдоль свободной поверхности капли под действием касательной составляющей электрического поля.

В уравнении (2.5) отсутствует вклад диффузионной компоненты, так как влияние механизма диффузии на конечность скорости переноса носителей заряда существенно лишь для плохо проводящих жидкостей типа жидкого гелия.

Отыскание решения приведенной выше системы уравнений проведем методом прямого разложения в рамках теории возмущений [14]. Ограничиваясь линейным приближением по малому параметру ε ≡ |ξ| / R << 1, все искомые функции представим в виде асимптотических разложений по :

$$\begin{gathered} \xi (\theta , t)={\xi }^{\left(1\right)}(\theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right), \overrightarrow{V}(r, \theta , t)={\overrightarrow{V}}^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ \kappa (r, \theta , t)={\kappa }^{\left(0\right)}(r, \theta )+{\kappa }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ {\overrightarrow{E}}_j(r, \theta , t)={\overrightarrow{E}}_j^{\left(0\right)}(r, \theta )+{\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \left(j=1, 2\right) \\ P(r, \theta , t)=P^{\left(0\right)}(r, \theta )+P^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ {P}_Q(r, \theta , t)=P_Q^{\left(0\right)}(r, \theta )+P_Q^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ {P}_{\sigma }(r, \theta , t)=P_{\sigma }^{\left(0\right)}(r, \theta )+P_{\sigma }^{\left(q\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ {\Pi }_{in\tau }(r, \theta , t)={\Pi }_{in\tau }^{\left(0\right)}(r, \theta )+{\Pi }_{in\tau }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \\ {\Pi }_{ex\tau }(r, \theta , t)={\Pi }_{ex\tau }^{\left(0\right)}(r, \theta )+{\Pi }_{ex\tau }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+{\rm O}\left({\epsilon }^2\right) \end{gathered}$$ (2.7)

Номер верхнего индекса указывает на порядок малости по ε соответствующих компонент. Индексом «0» обозначены величины, характеризующие равновесное состояние системы.

Обратим внимание, что в граничных условиях задействованы орты $\overrightarrow{n}(r, \theta , t)$ и $\overrightarrow{\tau }(r, \theta , t)$. В виду этого возникает необходимость в определении явного вида этих функций.

Вычислим единичный вектор внешней нормали к свободной поверхности капли вида F (r, θ, t) = 0 по общей формуле: $\overrightarrow{n}\left(r, \theta , t\right)\equiv \nabla F/\left|\nabla F\right|$. В линейном по ε приближении получим:

$\overrightarrow{n}={\overrightarrow{e}}_r-\frac{1}{r}\frac{\partial \xi (\theta , t)}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ (2.8)

В плоскости, касательной к возмущенной поверхности капли в любой ее точке, выберем ортогональные орты ${\overrightarrow{\tau }}_{\phi }$, ${\overrightarrow{\tau }}_{\theta }$: орт касательной к параллелям ${\overrightarrow{\tau }}_{\phi }$ и орт касательной к меридианам ${\overrightarrow{\tau }}_{\theta }$.

Представим касательную к параллелям как ${\overrightarrow{\tau }}_{\phi }={\overrightarrow{e}}_z\times \overrightarrow{n}$, где в качестве постоянного вектора выбран орт оси симметрии ${\overrightarrow{e}}_z$. Несложно убедиться, что вектор ${\overrightarrow{\tau }}_{\phi }$, имеющий единичную длину, совпадает с азимутальным ортом ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ сферической системы координат:

${\overrightarrow{\tau }}_{\phi }={\overrightarrow{e}}_{\phi }$ (2.9)

Определим орт второй касательной при помощи векторного произведения: ${\overrightarrow{\tau }}_{\theta }={\overrightarrow{\tau }}_{\phi }\times \overrightarrow{n}$. Используя (2.8), (2.9) и учитывая, что орт должен иметь единичную длину, найдем единичный вектор касательной в меридиальном направлении в виде:

${\overrightarrow{\tau }}_{\theta }=\frac{1}{r}\frac{\partial \xi \left(\theta , t\right)}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_r+{\overrightarrow{e}}_{\theta }$, (2.10)

${\overrightarrow{e}}_r$, ${\overrightarrow{e}}_{\theta }$, ${\overrightarrow{e}}_{\phi }$ – орты сферической системы координат.

3. Решение задачи нулевого порядка малости по ε. Подставляя разложения (2.7) в систему уравнений (2.2)–(2.6) и собирая вместе слагаемые ~ ε⁰, получим задачу нулевого порядка малости по безразмерной амплитуде осцилляций ε для невозмущенного состояния системы:

$$\begin{gathered} div{\overrightarrow{E}}_j^{\left(0\right)}=0, rot{\overrightarrow{E}}_j^{\left(0\right)}=0 \\ r\to 0: {\overrightarrow{E}}_1^{\left(0\right)}(r, \theta , t)\to 0, r\to \infty : {\overrightarrow{E}}_2^{\left(0\right)}(r, \theta , t) \\ r=R: P^{\left(0\right)}\left(r, \theta \right)+P_Q^{\left(0\right)}\left(r, \theta \right)=P_{\sigma }^{\left(0\right)}\left(r, \theta \right) \\ {P}^{\left(0\right)}=P_0, P_q=\frac{1}{8\pi }\left({\left(E_{2n}^{\left(0\right)}\right)}^2-E_{2\theta }^{\left(0\right)}-{\epsilon }_1\left({\left(E_{1n}^{\left(0\right)}\right)}^2-E_{1\theta }^{\left(0\right)}\right)\right) \\ {P}_{\sigma }^{\left(0\right)}=\sigma div{\overrightarrow{n}}_0, {\overrightarrow{n}}_0={\overrightarrow{e}}_r \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{\tau }}_{0\phi }={\overrightarrow{e}}_{\phi }: {\Pi }_{in\phi }^{\left(0\right)}=0, {\Pi }_{ex\phi }^{\left(0\right)}=0, E_{ex\phi }^{\left(0\right)}(r, \theta , t)=E_{in\phi }^{\left(0\right)}(r, \theta , t) \\ -\gamma \left({\overrightarrow{n}}_0(r, \theta )·{\overrightarrow{E}}_{in}^{\left(0\right)}(r, \theta )\right)+b{\kappa }_{0}di{v}_{\Sigma }\left[E_{in\phi }^{\left(0\right)}(r, \theta ){\overrightarrow{e}}_{\phi }\right]=0 \\ {\overrightarrow{\tau }}_{0\theta }={\overrightarrow{e}}_{\theta }: {\Pi }_{in\theta }^{\left(0\right)}=0, {\Pi }_{ex\theta }^{\left(0\right)}=0, E_{ex\theta }^{\left(0\right)}(r, \theta , t)=E_{in\theta }^{\left(0\right)}(r, \theta , t) \\ -\gamma \left({\overrightarrow{n}}_0(r, \theta )·{\overrightarrow{E}}_{in}^{\left(0\right)}(r, \theta )\right)+b{\kappa }_{0}di{v}_{\Sigma }\left[E_{in\theta }^{\left(0\right)}(r, \theta ){\overrightarrow{e}}_{\theta }\right]=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} E_{exn}^{\left(0\right)}\left(r, \theta \right)-{\epsilon }_1{E}_{inn}^{\left(0\right)}\left(r, \theta \right)=4\pi {\kappa }_0 \\ \underset{V}{\int }{r}^{2}dr\sin \theta d\theta d\phi =\frac{4}{3}\pi R^3, \underset{V}{\int }\overrightarrow{r}{r}^{2}dr\sin \theta d\theta d\phi =0 \\ \underset{S}{\oint }{\kappa }_{0}dS=Q·V=[0\le r\le R, 0\le \theta \le \pi , 0\le \phi \le 2\pi ] \\ S=[r=R, 0\le \theta \le \pi , 0\le \phi \le 2\pi ] \end{gathered}$$

где ${\overrightarrow{n}}_0$, ${\overrightarrow{\tau }}_{0\phi }$, ${\overrightarrow{\tau }}_{0\theta }$ – орты нормали и касательных к равновесной сфере, P₀ – равновесное давление внутри капли.

Решение вышеприведенной системы уравнений нетрудно найти:

${\kappa }^{\left(0\right)}=\frac{Q}{4\pi R^2}, {\overrightarrow{E}}_1^{\left(0\right)}=0, {\overrightarrow{E}}_2^{\left(0\right)}=\frac{Q}{r^2}{\overrightarrow{e}}_r, P_0=\frac{2\sigma }{R}-\frac{Q^2}{8\pi R^4}$ (3.1)

В итоге приходим к тому, что равновесная форма поверхности капли совпадает с исходной сферической.

4. Решение задачи первого порядка малости по ε. Вывод дисперсионного уравнения. Подставляя асимптотические выражения (2.7) в полную математическую формулировку задачи (2.2)–(2.6) и выделяя слагаемые ~ ε¹, выпишем гидродинамическую часть задачи в первом порядке малости:

$\frac{\partial \overrightarrow{V}(r, \theta , t)}{\partial t}=-\frac{1}{\rho }\nabla P^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)+\nu \Delta \overrightarrow{V}(r, \theta , t)$ (4.1)

$div\overrightarrow{V}(r, \theta , t)=0$ (4.2)

$div{\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}=0, \Delta {\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}(r,\theta ,t)-\frac{{\epsilon }_j}{c^2}\frac{{\partial }^2{\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}(r,\theta ,t)}{\partial t^2}=0 \left(j=1, 2\right)$ (4.3)

$r\to 0: \overrightarrow{V}(r, \theta , t)\to 0, {\overrightarrow{E}}_{in}^{\left(1\right)}(r, \theta , t)\to 0$ (4.4)

$r\to \infty : {\overrightarrow{E}}_{ex}^{\left(1\right)}(r, \theta , t)\to 0$ (4.5)

$r=R: -\frac{\partial \xi (\theta , t)}{\partial t}+\left(\overrightarrow{V}(r, \theta , t), {\overrightarrow{e}}_r\right)=0$ (4.6)

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{\tau }}_{0\phi }={\overrightarrow{e}}_{\phi }: \\ {\Pi }_{ex\phi }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{in\phi }^{\left(1\right)}-\rho \nu \left[{\overrightarrow{e}}_{\phi }\left({\overrightarrow{n}}_0, \nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+{\overrightarrow{n}}_0\left({\overrightarrow{e}}_{\phi }, \nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)\right]=0, {\overrightarrow{n}}_0={\overrightarrow{e}}_r \end{gathered}$$ (4.7)

${\overrightarrow{\tau }}_{0\theta }={\overrightarrow{e}}_{\theta }: {\Pi }_{ex\theta }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{in\theta }^{\left(1\right)}-\rho \nu \left[{\overrightarrow{e}}_{\theta }\left({\overrightarrow{n}}_0, \nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+{\overrightarrow{n}}_0\left({\overrightarrow{e}}_{\theta }, \nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)\right]=0$ (4.8)

$P^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)-2\rho \nu {\overrightarrow{n}}_0\left({\overrightarrow{n}}_0, \nabla \right)·\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+P_Q^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)=P_{\sigma }^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$ (4.9)

$r=R: -2\frac{Q}{R^3}\xi (\theta , t)+E_{2r}^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)-{\epsilon }_1{E}_{inr}^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)=4\pi {\kappa }^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$ (4.10)

для $\overrightarrow{\tau }={\overrightarrow{\tau }}_{\theta }: \frac{Q}{R^3}\frac{\partial \xi \left(\theta , t\right)}{\partial \theta }+E_{ex\theta }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)=E_{in\theta }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)$ (4.11)

для $\overrightarrow{\tau }={\overrightarrow{\tau }}_{\phi }: E_{ex\phi }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)=E_{in\phi }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)$ (4.12)

$$\begin{gathered} \frac{\partial {\kappa }^{\left(1\right)}(r, \theta , t)}{\partial t}-\gamma E_{1r}^{\left(1\right)}(r, \theta , t)+\frac{Q}{4\pi R^2}\left({\overrightarrow{e}}_r,\overrightarrow{V}(r, \theta , t)\right)div{\overrightarrow{e}}_r+ \\ +\frac{Q}{4\pi R^2}di{v}_{\Sigma }\left[\overrightarrow{V}(r, \theta , t)+b{\overrightarrow{E}}_{in}^{\left(1\right)}(r, \theta , t)\right]=0 \end{gathered}$$ (4.13)

$3R^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\xi \left(\theta , t\right)\sin \theta d\theta =0, 4R^3\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\xi \left(\theta ,t\right)\cos \theta \sin \theta d\theta =0$ (4.14)

$2\pi R^2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left({\kappa }^{\left(1\right)}+\frac{Q}{2\pi R^3}\xi \left(\theta , t\right)\right)\sin \theta d\theta =0$, (4.15)

где $E_{jr}^{\left(1\right)}$, $E_{j\theta }^{\left(1\right)}$, $E_{j\phi }^{\left(1\right)}$ – проекции вектора ${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}$ на орты сферической системы координат.

Скаляризуем уравнения (4.1), (4.2) по методике, подробно изложенной в [15]. Для этого разложим искомое поле скоростей $\overrightarrow{V}(r, \theta , t)$ на сумму трех ортогональных векторных полей:

$\overrightarrow{V}(r, \theta , t)=\sum _{m=1}^3{\overrightarrow{N}}_m{\psi }_m(r, \theta , t) (m=1, 2, 3)$, (4.16)

где ψ_m – скалярные функции, а дифференциальные векторные операторы ${\overrightarrow{N}}_m$ в сферической системе координат определяются соотношениями:

${\overrightarrow{N}}_1\equiv \nabla , {\overrightarrow{N}}_2\equiv {\overrightarrow{N}}_1\times \overrightarrow{r}\equiv \nabla \times \overrightarrow{r}, {\overrightarrow{N}}_3\equiv {\overrightarrow{N}}_1\times {\overrightarrow{N}}_2\equiv \nabla \times \left(\nabla \times \overrightarrow{r}\right)$, (4.17)

и удовлетворяют условиям ортогональности:

$\left({\overrightarrow{N}}_m^{+}, {\overrightarrow{N}}_q\right)=0 \left(m\ne q\right)$, (4.18)

и условиям коммутативности с оператором Лапласа Δ:

$\Delta {\overrightarrow{N}}_m={\overrightarrow{N}}_m\Delta$ (4.19)

В выражениях (4.17), (4.18) $\overrightarrow{r}$ – радиус-вектор, ${\overrightarrow{N}}_m^{+}$ – операторы, эрмитово-сопряженные к ${\overrightarrow{N}}_m$, имеющие вид:

${\overrightarrow{N}}_1^{+}\equiv -\nabla , {\overrightarrow{N}}_2^{+}\equiv \overrightarrow{r}\times \nabla , {\overrightarrow{N}}_3^{+}\equiv \left(\overrightarrow{r}\times \nabla \right)\times \nabla$ (4.20)

Уравнение (4.16) означает, что поле скоростей течения вязкой жидкости представлено суперпозицией потенциальной и вихревой (обусловленных вязкостью) составляющих: оператор ${\overrightarrow{N}}_1$ выделяет потенциальную компоненту, а операторы ${\overrightarrow{N}}_2$ – вихревую тороидальную и ${\overrightarrow{N}}_3$ – вихревую полоидальную части движения реальной жидкости относительно оси симметрии z капли.

Учитывая разложение (4.16) и свойства операторов (4.18), (4.19), приведем систему векторных выражений (4.1), (4.2) к системе трех скалярных уравнений для функций ψ_m:

$\Delta {\psi }_m(r, \theta , t)-\frac{1}{\nu }\left(1-{\delta }_{1m}\right)\frac{\partial {\psi }_m(r, \theta , t)}{\partial t}=0 \left(m=1, 2, 3\right)$ , (4.21)

и добавки к давлению внутренней среды капли, вызванной искажением ξ (θ, t) сферической поверхности:

$P^{\left(1\right)}(r, \theta , t)=-\rho \frac{\partial {\psi }_1(r, \theta , t)}{\partial t}$, (4.22)

δ_1m – дельта-символ Кронекера.

Прежде чем записать граничные условия (4.6)–(4.9) в терминах скалярных функций ψ_m, перепишем систему (4.6)–(4.9) через проекции вектора скорости $\overrightarrow{V}(r, \theta , t)$ на орты сферической системы координат:

$r=R: -\frac{\partial \xi (\theta , t)}{\partial t}+V_r(r, \theta , t)=0$ (4.23)

$P^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)-2\rho \nu \frac{\partial V_r(r, \theta , t)}{\partial r}+P_Q^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)=P_{\sigma }^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$ (4.24)

для ${\overrightarrow{\tau }}_{0\theta }={\overrightarrow{e}}_{\theta }: {\Pi }_{ex\theta }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{in\theta }^{\left(1\right)}-\rho \nu \left[\frac{\partial V_{\theta }(r, \theta , t)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial V_r(r, \theta , t)}{\partial \theta }-\frac{1}{r}{V}_{\theta }(r, \theta , t)\right]=0$ (4.25)

для ${\overrightarrow{\tau }}_{0\phi }={\overrightarrow{e}}_{\phi }: {\Pi }_{ex\phi }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{in\phi }^{\left(1\right)}-\rho \nu \left[\frac{\partial V_{\phi }(r, \theta , t)}{\partial r}-\frac{1}{r}{V}_{\phi }(r, \theta , t)\right]=0$ (4.26)

Входящие в (4.23)–(4.26) компоненты V_r, V_θ, V_φ поля скоростей выражаются в виде:

$$\begin{gathered} V_r(r, \theta , t)=\frac{\partial {\psi }_1(r, \theta , t)}{\partial r}-\frac{1}{r}\widehat{L}{\psi }_3(r, \theta , t); \widehat{L}\equiv \frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right) \\ {V}_{\theta }(r,\theta ,t)=\frac{1}{r}\frac{\partial {\psi }_1(r,\theta ,t)}{\partial \theta }+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial {\psi }_3(r,\theta ,t)}{\partial \theta }\right) \\ {V}_{\phi }(r,\theta ,t)=-\frac{\partial {\psi }_2(r,\theta ,t)}{\partial \theta }, \end{gathered}$$

где $\widehat{L}$ – угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

После подстановки этих соотношений в (4.23)–(4.26) система скаляризованных граничных условий примет удобный для дальнейшего решения вид:

$r=R: -\frac{\partial \xi (\theta , t)}{\partial t}+\frac{\partial {\psi }_1(r, \theta , t)}{\partial r}-\frac{1}{R}\widehat{L}{\psi }_3(r, \theta , t)=0$ (4.27)

$P^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)-2\rho \nu \left(\frac{{\partial }^2{\psi }_1(r, \theta , t)}{\partial r^2}-\widehat{L}\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{{\psi }_3(r, \theta , t)}{r}\right)\right)+P_Q^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)=P_{\sigma }^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$ (4.28)

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{\tau }}_{0\theta }={\overrightarrow{e}}_{\theta }: \\ {\Pi }_{2\theta }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{1\theta }^{\left(1\right)}-\rho \nu \frac{\partial }{\partial \theta }\left[2\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{{\psi }_1(r, \theta , t)}{r}\right)-\frac{1}{R^2}\left(2+\widehat{L}\right){\psi }_3(r, \theta , t)+\frac{{\partial }^2{\psi }_3(r, \theta , t)}{\partial r^2}\right]=0 \end{gathered}$$ (4.29)

${\overrightarrow{\tau }}_{0\phi }={\overrightarrow{e}}_{\phi }: {\Pi }_{2\phi }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{1\phi }^{\left(1\right)}+\rho \nu \frac{\partial }{\partial \theta }\left[\frac{\partial {\psi }_2(r, \theta , t)}{\partial r}-\frac{1}{r}{\psi }_2(r, \theta , t)\right]=0$ (4.30)

В (4.28) выражения для линейных по ε поправок к давлениям электрического поля $P_q^{\left(1\right)}$ и капиллярных сил $P_{\sigma }^{\left(1\right)}$ определяются в виде:

$P_Q^{\left(1\right)}=\frac{1}{8\pi }\left(\frac{\partial }{\partial r}{\left({\overrightarrow{E}}_2^{\left(0\right)}\right)}^2\xi \left(\theta , t\right)+2{\overrightarrow{E}}_2^{\left(0\right)}{\overrightarrow{E}}_2^{\left(1\right)}\right)$ (4.31)

$P_{\sigma }^{\left(1\right)}=\frac{\sigma }{R}\left[-\left(2+\widehat{L}\right)\frac{\xi \left(\theta , t\right)}{R}\right]$ (4.32)

В случае стоячих капиллярных волн положим зависимость малых величин ξ (θ, t), ψ_m (r, θ, t) от времени периодической:

$\xi (\theta ,t)~\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right), {\psi }_m(r,\theta ,t)~\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)$,

где i – мнимая единица, ω_n – частота n-ой моды капиллярных осцилляций капли, в общем случае комплексная: ω_n = Reω_n ± iImω_n, где вещественная часть Reω_n определяет собственную частоту осцилляций, а мнимая часть – декремент затухания в случае отрицательной мнимой компоненты: Imω_n < 0 или инкремент капиллярной неустойчивости капли по отношению к ее собственному заряду в случае положительной мнимой компоненты Imω_n > 0.

Решения уравнения (4.21) для скалярных функций ψ_m (r, θ, t) с учетом условий ограниченности (4.4) представим в виде разложений [16]:

${\psi }_1(r, \theta , t)=\sum _{n=0}^{\infty }{A}_n\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)r^n{P}_n\left(\mu \right)$ (4.33)

${\psi }_m(r,\theta ,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{B}_{mn}\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)I_n\left(r\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}\right)P_n\left(\mu \right) \left(m=2, 3\right)$, (4.34)

где μ ≡ cosθ, P_n (μ) – полином Лежандра n-ого порядка, n – целое положительное число, I_n (x) – модифицированная функция Бесселя первого рода [17]. В (4.34) нижний индекс m в амплитудном коэффициенте B_mn указывает на вихревую тороидальную (m = 2) или полоидальную (m = 3) компоненту поля скоростей движения жидкости в капле.

Отклонение поверхности осциллирующей капли от равновесной сферической запишем в форме ряда по осесимметричным полиномам Лежандра:

$\xi (\theta , t)=\sum _{n=2}^{\infty }{M}_n\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)P_n\left(\mu \right)$ (4.35)

Здесь суммирование начинается с n = 2, так как в первом порядке малости невозможно возбуждение нулевой (n = 0) и первой (n = 1) мод, отвечающих за радиальные пульсации капли и ее движение как целого соответственно, в силу дополнительных условий (4.14).

В (4.33)–(4.35) неизвестные амплитудные коэффициенты A_n, B_nm, M_n имеют первый порядок малости по  и вычисляются из системы граничных условий (4.27), (4.29), (4.30).

Сосредоточим свое внимание на вычислении в динамическом граничном условии для нормальной компоненты тензора напряжений (4.28) линейных по ε компонент давлений P⁽¹⁾, $P_Q^{\left(1\right)}$, $P_{\sigma }^{\left(1\right)}$, вызванных деформацией ξ (θ, t) равновесной формы поверхности капли.

Используя решение (4.33) для функции ψ₁ (r, θ, t), из формулы (4.22) при r = R выпишем добавку к гидродинамическому давлению внутри капли P⁽¹⁾:

$P^{\left(1\right)}(r, \theta , t)=i\rho \sum _{n=0}^{\infty }{\omega }_n{A}_n{R}^n\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)P_n\left(\mu \right)$ (4.36)

Для поправки к давлению сил поверхностного натяжения $P_{\sigma }^{\left(1\right)}$ из (4.32) с учетом разложения (4.35) для возмущения ξ (θ, t) получается соотношение:

$P_{\sigma }^{\left(1\right)}=\frac{\sigma }{R^2}\sum _{n=2}^{\infty }\left(n-1\right)\left(n+2\right)M_n\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)P_n\left(\mu \right)$ (4.37)

Чтобы найти выражения для добавки к давлению электрических сил $P_Q^{\left(1\right)}$ и электрических составляющих касательной компоненты тензора напряжений ${\Pi }_{2\theta }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{1\theta }^{\left(1\right)}$, ${\Pi }_{2\phi }^{\left(1\right)}-{\Pi }_{1\phi }^{\left(1\right)}$, необходимо решить краевую задачу (4.3)–(4.5), (4.10)–(4.13), (4.15) для напряженности поля ${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$.

Для решения векторных уравнений (4.3) в рамках метода операторной скаляризации представим напряженность электрического поля ${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}\left(r, \theta , t\right)$ в виде суперпозиции:

${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}=\sum _{m=1}^3{\overrightarrow{N}}_m{\Phi }_j^{\left(m\right)} (m=1, 2, 3)$, (4.38)

где ${\Phi }_j^{\left(m\right)}$ – неизвестные скалярные функции, ${\overrightarrow{N}}_m$ – векторные дифференциальные операторы, описываемые выражениями (4.17) и подчиняющиеся свойствам (4.18), (4.19).

Подставляя (4.38) в уравнение непрерывности электрического поля (4.3) и применяя условие ортогональности, придем к уравнению Лапласа для скалярной функции ${\Phi }_j^{\left(1\right)}$:

$\Delta {\Phi }_j^{\left(1\right)}=0$ (4.39)

В силу свойства коммутативности операторов-проекторов ${\overrightarrow{N}}_m$ с оператором Лапласа (4.19) подстановка разложения (4.38) в волновое уравнение (4.3) позволяет выписать систему трех скалярных уравнений:

$\sum _{m=1}^3{\overrightarrow{N}}_m\left\{\Delta {\Phi }_j^{\left(m\right)}-\frac{{\epsilon }_j}{c^2}\frac{{\partial }^2{\Phi }_j^{\left(m\right)}}{\partial t^2}\right\}=0 \left(m=1, 2, 3\right)$

Положим временную зависимость функций ${\Phi }_j^{\left(m\right)}$ экспоненциальной: ${\Phi }_j^{\left(m\right)}~\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)$. Тогда подействовав слева на выше записанное уравнение поочередно эрмитовосопряженными операторами ${\overrightarrow{N}}_m^{+} \left(m=1, 2, 3\right)$, при использовании свойства (4.18) перейдем к уравнениям Гельмгольца:

$\Delta {\Phi }_j^{\left(m\right)}+{\epsilon }_j{k}^2{\Phi }_j^{\left(m\right)}=0, k\equiv \frac{\mathrm{Re}{\omega }_n}{c}$, (4.40)

где k – волновое число.

Из уравнения (4.40) при значении индекса m = 1 с учетом (4.39) легко прийти к решению: ${\Phi }_j^{\left(1\right)}=0$, что соответствует отсутствию потенциальной составляющей электрического поля. В результате поправка к напряженности поля ${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}$, связанная с возмущением ξ (θ, t) равновесной формы капли, представляется только вихревой частью:

${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}={\overrightarrow{N}}_2{\Phi }_j^{\left(2\right)}+{\overrightarrow{N}}_3{\Phi }_j^{\left(3\right)}$

Учитывая явный вид векторных операторов ${\overrightarrow{N}}_2$, ${\overrightarrow{N}}_3$, запишем составляющие вектора ${\overrightarrow{E}}_j^{\left(1\right)}$ в сферических координатах (r, θ, φ), выраженные через неизвестные функции ${\Phi }_j^{\left(2\right)}$, ${\Phi }_j^{\left(3\right)}$:

${\overrightarrow{N}}_2{\Phi }_2\equiv -\frac{\partial {\Phi }_j^{\left(2\right)}}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_{\phi }$ (4.41)

${\overrightarrow{N}}_3{\Phi }_3\equiv -\frac{1}{r}\widehat{L}{\Phi }_j^{\left(3\right)}{\overrightarrow{e}}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}r\frac{\partial {\Phi }_j^{\left(3\right)}}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ (4.42)

Решение уравнения Гельмгольца (4.40) при j = 1 (внутри капли), ограниченное в начале координат, представим в виде суперпозиции стоячих волн:

${\Phi }_1^{\left(m\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }{C}_n^{\left(m\right)}\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)j_n\left(kr\right)P_n\left(\mu \right) \left(m=2, 3\right)$ (4.43)

Решение уравнения (4.40) при j = 2 (вне капли), удовлетворяющее условию ограниченности на бесконечном удалении от капли, естественно искать в виде суперпозиции бегущих волн:

${\Phi }_2^{\left(m\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }{D}_n^{\left(m\right)}\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)h_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)P_n\left(\mu \right) \left(m=2, 3\right)$  (4.44)

Здесь j_n (z) – сферическая функция Бесселя первого рода, $h_n^{\left(2\right)}\left(z\right)$ – сферическая функция Бесселя третьего рода или функция Ханкеля [18], $C_n^{\left(m\right)}$, $D_n^{\left(m\right)}$ – неизвестные коэффициенты первого порядка малости по ε, вычисляемые из граничных условий (4.10)–(4.13).

Несложно показать, что для выполнения условия равенства касательных компонент при $\overrightarrow{\tau }={\overrightarrow{\tau }}_{\phi }$ необходимо потребовать, чтобы все константы $C_n^{\left(2\right)}$, $D_n^{\left(2\right)}$ в решениях (4.43), (4.44) для функций ${\Phi }_j^{\left(2\right)}$ (j = 1, 2) обращались в ноль. Из сказанного следует отсутствие тороидальной части поля: ${\Phi }_j^{\left(2\right)}=0$. Таким образом, напряженность электрического поля внутри ${\overrightarrow{E}}_1^{\left(1\right)}$ и вне капли ${\overrightarrow{E}}_2^{\left(1\right)}$ описывается лишь полоидальной составляющей:

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{E}}_1^{\left(1\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }{C}_n^{\left(3\right)}\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)\left[\frac{1}{r}n\left(n+1\right)j_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kr\right)P_n\left(\mu \right){\overrightarrow{e}}_r+\right. \\ \left.+\left(\frac{1}{r}{j}_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kr\right)+\frac{\partial j_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kr\right)}{\partial r}\right)\frac{\partial P_n\left(\mu \right)}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }\right] \end{gathered}$$ (4.45)

$$\begin{gathered} {\overrightarrow{E}}_2^{\left(1\right)}=\sum _{n=0}^{\infty }{D}_n^{\left(3\right)}\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)\left[\frac{1}{r}n\left(n+1\right)h_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)P_n\left(\mu \right){\overrightarrow{e}}_r+\right. \\ \left.+\left(\frac{1}{r}{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)+\frac{\partial h_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)}{\partial r}\right)\frac{\partial P_n\left(\mu \right)}{\partial \theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }\right] \end{gathered}$$ (4.46)

Исходя из условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля для орта касательной $\overrightarrow{\tau }={\overrightarrow{\tau }}_{\theta }$, найдем соотношение, связывающее амплитуды M_n, $C_n^{\left(3\right)}$, $D_n^{\left(3\right)}$ разложений (4.35), (4.45), (4.46):

$C_n^{\left(3\right)}=\frac{Q}{R^2}{M}_n{f}_1+D_n^{\left(3\right)}{f}_2$ (4.47)

$f_1\equiv \frac{1}{{\left.{\partial }_r\left(r{j}_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kr\right)\right)\right|}_{r=R}}, f_2\equiv \frac{{\left.{\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)\right|}_{r=R}}{{\left.{\partial }_r\left(r{j}_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kr\right)\right)\right|}_{r=R}}$

Условие скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на заряженной границе жидкости (4.10) после подстановки в него решений (4.45), (4.46) при использовании амплитудного коэффициента (4.47) позволяет определить поправку первого порядка малости к равновесной плотности заряда:

$$\begin{gathered} {\kappa }^{\left(1\right)}=\frac{1}{4\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\left[-\frac{Q}{R^3}{M}_n\left(2+{\epsilon }_1{f}_{1}n\left(n+1\right)j_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kR\right)\right)+\right. \\ \left.+\frac{1}{R}{D}_n^{\left(3\right)}n\left(n+1\right)\left(h_n^{\left(2\right)}\left(kR\right)-{\epsilon }_1{f}_2{j}_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kR\right)\right)\right]\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)P_n\left(\mu \right) \end{gathered}$$ (4.48)

Применяя (4.23), перепишем векторное условие баланса поверхностной плотности заряда в скалярном виде:

$$\begin{gathered} r=R: \\ \frac{\partial {\kappa }^{\left(1\right)}}{\partial t}-\gamma E_{1r}^{\left(1\right)}+\frac{Q}{2\pi R^3}\frac{\partial \xi }{\partial t}+\frac{Q}{4\pi R^4}\widehat{L}\left({\psi }_1+\frac{\partial }{\partial r}\left(r{\psi }_3\right)\right)+b\frac{Q}{4\pi R^3}\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(E_{1\theta }^{\left(1\right)}\sin \theta \right)=0, \end{gathered}$$

из которого с учетом уравнений (4.33), (4.34) при m = 3, (4.45), (4.48) выразим коэффициент $D_n^{\left(3\right)}$ в (4.46) через амплитуды M_n, A_n, B_3n в виде:

$D_n^{\left(3\right)}=\frac{Q}{R^2}{F}_2\left(M_n{f}_1{F}_1+\frac{1}{R}\left(A_n{R}^n+B_{3n}{\partial }_r\left(r{I}_n\left(r\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}\right)\right)\overline{){}_{r=R}}\right)\right)$ (4.49)

$F_1\equiv \left(-i{\omega }_n{\epsilon }_1+4\pi \gamma \right)j_n\left({\epsilon }_1^{1/2}kR\right)+b\frac{Q}{R^3}\frac{1}{f_1}, F_2=\frac{1}{-i{\omega }_n{h}_n^{\left(2\right)}\left(kR\right)-f_2{F}_1}$

Заметим, что интегральное условие сохранения полного заряда капли (4.15) выполняется тождественно.

Наконец, подставляя в (4.31) полученные решения (3.1), (4.46) для напряженности поля ${\overrightarrow{E}}_2^{\left(0\right)}$, ${\overrightarrow{E}}_2^{\left(1\right)}$ с учетом амплитуды (4.49), запишем при r = R выражение для добавки к давлению электрических сил $P_Q^{\left(1\right)}$:

$P_Q^{\left(1\right)}=\frac{Q^2}{4\pi R^5}\sum _{n=0}^{\infty }\left[T_1{M}_n+T_2{A}_n+T_3{B}_{3n}\right]\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)P_n\left(\mu \right)$ (4.50)

$$\begin{gathered} T_1\equiv -2+n\left(n+1\right)f_1{F}_1{F}_2{h}_n^{\left(2\right)}\left(kR\right), T_2\equiv R^{n-1}n\left(n+1\right)F_2{h}_n^{\left(2\right)}\left(kR\right) \\ {T}_3\equiv \frac{1}{R}n\left(n+1\right)F_2{h}_n^{\left(2\right)}\left(kR\right){\partial }_r\left(r{I}_n\left(r\sqrt{\frac{{\displaystyle -i{\omega }_n}}{{\displaystyle \nu }}}\right)\right){\overline{)}}_{r=R} \end{gathered}$$

Далее перейдем к вычислению электрических частей касательных компонент тензора напряжений в (4.29), (4.30). Воспользовавшись соотношениями (2.8)–(3.1), (4.45), (4.46), убедимся, что в первом порядке малости по ε компоненты ${\Pi }_{2\phi }^{\left(1\right)}={\Pi }_{1\phi }^{\left(1\right)}={\Pi }_{1\theta }^{\left(1\right)}=0$, а ${\Pi }_{2\theta }^{\left(1\right)}$ рассчитывается по формуле ${\Pi }_{2\theta }^{\left(1\right)}=\frac{1}{4\pi }\left[\frac{1}{R}{\left(E_2^{\left(0\right)}\right)}^2\frac{\partial \xi }{\partial t}+E_2^{\left(0\right)}{E}_{2\theta }^{\left(1\right)}\right]$, из которой при r = R несложно найти:

$$\begin{gathered} {\Pi }_{2\theta }^{\left(1\right)}=\frac{Q^2}{4\pi R^5}\sum _{n=0}^{\infty }\left[G_1{M}_n+G_2{A}_n+G_3{B}_{3n}\right]\exp \left(-i{\omega }_{n}t\right)\frac{\partial P_n\left(\mu \right)}{\partial \theta } \\ {G}_1\equiv 1+f_1{F}_1{F}_2{\overline{){\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)}}_{r=R}, G_2\equiv R^{n-1}{F}_2{\overline{){\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)}}_{r=R} \\ {G}_3\equiv \frac{1}{R}{F}_2{\left.{\partial }_r\left(r{I}_n\left(r\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}\right)\right)\right|}_{r=R}{\overline{){\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)}}_{r=R} \end{gathered}$$

Рассмотрим теперь граничные условия (4.27), (4.29), (4.30). Подставим найденные электрические составляющие в (4.29), (4.30) и подействуем на эти уравнения слева оператором ${\overrightarrow{N}}_1$. При использовании свойства ортогональности операторов (4.18) и равенства ${\overrightarrow{N}}_2^{+}\cdot {\overrightarrow{N}}_2=-\widehat{L}$ преобразованное уравнение (4.29) и условие (4.30) с учетом разложений (4.33), (4.34) при m = 3 позволяют определить связь неизвестных констант A_n, B_3n с амплитудами капиллярных осцилляций M_n:

$$\begin{gathered} A_n=M_n\frac{-i{\omega }_n\left[-i{\omega }_n\rho \left(\frac{2}{x}f\left(x\right)-1-\frac{2}{x^2}\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right)+\frac{G_3}{I_n\left(x\right)}\right]+\frac{Q^2}{4\pi R^5}\frac{G_{1}n\left(n+1\right)}{R}}{n{R}^{n-1}\left[-i{\omega }_n\rho \left(\frac{2}{x}f\left(x\right)-1\right)+\frac{Q^2}{4\pi R^5}\left(-\frac{G_2\left(n+1\right)}{R^n}+\frac{G_3}{I_n\left(x\right)}\right)\right]} \\ {B}_{n3}=M_n\frac{-i{\omega }_n\left(2\rho \nu \left(n-1\right)-\frac{Q^2}{4\pi R^5}\frac{G_2}{R^{n-2}}\right)-\frac{Q^2}{4\pi R^5}nR{G}_1}{Rn{I}_n\left(x\right)\left(-i{\omega }_n\rho \left(\frac{2}{x}f\left(x\right)-1\right)+\frac{Q^2}{4\pi R^5}\left(-\frac{G_2\left(n+1\right)}{R^n}+\frac{G_3}{I_n\left(x\right)}\right)\right)} \\ f\left(x\right)=\frac{I_{n+1}\left(x\right)}{I_n\left(x\right)}, x=R\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}, \end{gathered}$$

а из граничного условия (4.30) для неизвестной скалярной функции ψ₂ (r, θ, t) после подстановки в него представления (4.34) при m = 2 несложно получить уравнение вида:

$B_{2n}\left[\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}{I}_{n+1}\left(R\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}\right)+\frac{1}{R}\left(n-1\right)I_n\left(R\sqrt{\frac{-i{\omega }_n}{\nu }}\right)\right]=0$

Легко заметить, что последнее равенство может выполняться, когда все коэффициенты B_2n положить равными нулю: B_2n = 0, либо приравнять нулю выражение в квадратных скобках. Из первого случая следует обнуление скалярной функции ψ₂ (r, θ, t), что равносильно отсутствию вихревых тороидальных движений внутренней среды капли при ее капиллярных осцилляциях. Во втором случае получаем дисперсионное уравнение, определяющее апериодически затухающие вихревые тороидальные движения жидкости. При этом краевая задача для отыскания ψ₂ (r, θ, t) полностью автономна и никак не связана с остальной частью анализируемой системы. В виду этого в нижеследующем изложении функция ψ₂ (r, θ, t) рассматриваться не будет.

Для дальнейшего анализа решения удобней рассмотреть динамическое граничное условие для нормальной составляющей тензора напряжений (4.28) относительно амплитуд возмущения M_n, которые легко оценить в экспериментальных и естественных условиях [11]. Для этого подставим в (4.28) выражения (4.36), (4.37), (4.50) для компонент давлений P⁽¹⁾, $P_Q^{\left(1\right)}$, $P_{\sigma }^{\left(1\right)}$ и разложения (4.33), (4.34) для скалярных функций ψ₁ (r, θ, t), ψ₃ (r, θ, t) с учетом полученных амплитудных коэффициентов A_n, B_3n. Применяя известные рекуррентные соотношения для функции Бесселя I_n (x) (см. [18], стр. 263):

$\frac{\partial I_n\left(x\right)}{\partial x}=I_{n+1}\left(x\right)+\frac{n}{x}{I}_n\left(x\right), I_{n+1}\left(x\right)=-\frac{2n+1}{x}{I}_n\left(x\right)+I_{n-1}\left(x\right)$,

и пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, получим общий вид дисперсионного уравнения для полоидальных движений жидкости в излучающей капле:

${\omega }_n^3+i{\alpha }_1{\omega }_n^2+{\alpha }_2{\omega }_n+i{\alpha }_3=0 (n\ge 2)$ (4.51)

$$\begin{gathered} {\alpha }_1\equiv 2\frac{\nu }{R^2}\left(n-1\right)\left(2n+1\right)-\frac{\sigma }{\rho R^3}W\left(n+1\right)F_2\left(h_n^{\left(2\right)}\left(kR\right)n+{\overline{){\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)}}_{r=R}\right)- \\ -xf\left(x\right)\left\{\frac{\sigma }{\rho R^3}W{F}_2{\overline{){\partial }_r\left(r{h}_n^{\left(2\right)}\left(kr\right)\right)}}_{r=R}+2\frac{\nu }{R^2}\right\} \end{gathered}$$