Effect of Charge Relaxation Effect on Electromagnetic Radiation Intensity of Oscillating Viscous Liquid Drop

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Theoretical asymptotic methods have shown that the electric charge relaxation effect affects the physical characteristics of the electromagnetic radiation of the oscillating charged droplet. Analytical expressions are obtained for frequencies, decrements of attenuation of capillary oscillations of droplets due to viscous attenuation and energy losses on radiation. It has been shown that the frequencies of electromagnetic radiation of cloud droplets, realized in the ranges of hundreds of kilohertz and megahertz units, decrease with an increase in the radius and charge parameter of the emitting droplet, as well as attenuation decrements associated with radiation. Intensity of emission of electromagnetic waves decreases with decrease of electrical conductivity and mobility of charges in liquid.

Full Text

  1. Введение. Впервые проблема электромагнитного излучения от осциллирующей заряженной капли в облаке была рассмотрена в [1] и затем развита в [2–5]. В [5], в частности было указано на ошибку в расчетах [1] (неправильно была определена асимптотика функции Ханкеля), и эта ошибка перекочевала в [2–4]. В [6] было указано на необходимость учета кривизны заряженной поверхности жидкости при записи уравнения баланса поверхностной плотности заряда в жидкости с конечной электропроводностью. Все это сделало актуальным повторение расчетов [3–4].

Сама задача о расчете интенсивности радиоизлучения (конвективного) грозового облака актуальна в связи с широким спектром разнообразных приложений в геофизике, гидрометеорологии, технике и химической технологии. Большое количество работ посвящено теоретическому и экспериментальному изучению капиллярных осцилляций и электростатической неустойчивости жидкой капли, заряженной собственным или индуцированным внешним электрическим полем зарядами (см. [1–5] и цитируемую там литературу).

В частности, исследование излучения осциллирующей каплей электромагнитных волн привлекает внимание из-за проблем радиолокационного зондирования облаков и туманов [7–10], проблем радиопомех от огней Св. Эльма, появляющихся на обшивке самолетов, пролетающих через облака [11].

Что касается эффекта релаксации заряда, то он возможен только при отличной от нуля вязкости жидкости. Это связано тем, что на свободной поверхности электрические напряжения, возникающие из-за релаксационных движений, могут быть скомпенсированы только вязкими напряжениями.

  1. Постановка задачи. Рассмотрим уединенную сферическую каплю радиуса R вязкой несжимаемой жидкости, характеризующейся массовой плотностью ρ, коэффи-
    циентами поверхностного натяжения σ и кинематической вязкости ν, удельной проводимостью γ1 ≡ γ, диэлектрической проницаемостью ε1. Примем, что капля несет заряд  и находится в вакууме с удельной проводимостью γ2 = 0 и диэлектрической проницаемостью ε2 = 1. Будем считать проводимость внутренней среды достаточной, чтобы обеспечить отсутствие объемного заряда в капле. Индекс j, принимает значения 1 и 2.

В сферической системе координат (r, θ, φ) с началом в центре масс капли уравнение ее поверхности, совершающей осесимметричные капиллярные осцилляции, в произвольный момент времени  представим в виде:

r(θ, t)=R+ξ(θ, t), (2.1)

где ξ (θ, t) – малое возмущение равновесной сферической формы, генерируемое капиллярным волновым движением тепловой природы. При наличии внешних неконтролируемых силовых воздействий (коагуляция, дробление, столкновение, трение о воздух и т.д.) тепловая амплитуда |ξ| может возрастать до десятков процентов от радиуса капли [12, 13].

Отношение |ξ| / R, имеющее смысл безразмерной амплитуды капиллярного волнового возмущения, примем в качестве малого параметра задачи: ε ≡ |ξ| / R << 1. Так как движение жидкости вызывается осцилляциями капли, будем считать, что поле скоростей течения внутренней среды V(r, θ, t) имеет тот же порядок малости, что и ξ (θ, t): V(r, θ, t)~ξ(θ, t)~ε.

В нижеследующих рассуждениях учтем, что собственный заряд капли равномерно распределен на равновесной поверхности с постоянной поверхностной плотностью κ(0). В виду конечности электропроводности жидкости перенос электрического заряда при волновом искажении формы капли приводит к эффекту релаксации заряда.

Выпишем систему электрогидродинамических уравнений, описывающих капиллярные осцилляции заряженной вязкой капли конечной проводимости и возникающего при этом электромагнитного излучения.

Система состоит из уравнения Навье–Стокса:

V(r, θ, t)t+V(r, θ, t),V(r, θ, t)=1ρPr, θ, t+νΔV(r, θ, t), (2.2)

уравнения непрерывности:

divV(r, θ, t)=0,

уравнений Максвелла:

divDjr, θ, t=0, Djr, θ, t=εjEjr, θ, tΔEj(r, θ, t)εjμjc22Ej(r, θ, t)t2=0 ( j=1, 2),

условий ограниченности:

r0: V(r, θ, t)0, E1(r, θ, t)0, r: E2(r, θ, t), (2.3)

и граничных условий на свободной поверхности капли F (r, θ, t) ≡ rR − ξ (θ, t) = 0:

кинематического:

F(r, θ, t)t+V(r, θ, t)·F(r, θ, t)=0,

динамического для касательной компоненты тензора напряжений:

ΠexτΠinτρντ(r, θ, t)n(r, θ, t),·V(r, θ, t)+n(r, θ, t)τ(r, θ, t),·V(r, θ, t)=0Πinτ=ε14πE1n(r, θ, t)E1τ(r, θ, t), Πexτ=ε14πE2n(r, θ, t)E2τ(r, θ, t)

и динамического для нормальной компоненты тензора напряжений:

P(r, θ, t)2ρνn(r, θ, t)n(r, θ, t),·V(r, θ, t)+PQ(r, θ, t)=Pσ(r, θ, t)

Чтобы учесть эффект релаксации электрического заряда, введем дополнительные граничные условия на поверхности капли F (r, θ, t) ≡ rR − ξ (θ, t) = 0:

скачка нормальной компоненты электрической индукции:

Dexn(r, θ, t)Dinn(r, θ, t)=4πκ(r, θ, t), (2.4)

непрерывности касательных компонент напряженности электрического поля:

Eexτ(r, θ, t)=Einτ(r, θ, t),

и баланса поверхностной плотности заряда [6]:

κ(r,θ,t)tγn(r, θ, t),Ein(r, θ, t)+κ(r, θ, t)n(r, θ, t),V(r, θ, t)divn(r, θ, t)++κ(r, θ, t)divΣVτ(r, θ, t)+bκ(r, θ, t)divΣEinτ(r, θ, t)=0 (2.5)

Кроме того, потребуем выполнения естественных интегральных условий сохранения объема капли при ее осцилляциях, неизменности положения центра масс:

Vr2drsinθdθdφ=43πR3, Vrr2drsinθdθdφ=0V=[0rR+ξ(θ, t), 0θπ, 0φ2π]

а также постоянства суммарного заряда:

Sκ(r,θ,t)dS=Q, S=[r=R+ξ(θ, t), 0θπ, 0φ2π] (2.6)

В приведенной математической формулировке задачи нижний индекс 1 относится к капле, индекс 2 – к внешней среде, μj – магнитная проницаемость j-й среды (ниже принимается μ1 = μ2 = 1), κ (r, θ, t) – поверхностная плотность электрического заряда на капле, c – скорость распространения электромагнитных волн в вакууме, b – поверхностная подвижность носителей заряда, Ejr, θ, t, Djr, θ, t – векторы напряженности и индукции электрического поля, создаваемого собственным зарядом, Ejn (r, θ, t), Ejτ (r, θ, t) – компоненты вектора Ejr, θ, t вдоль ортов нормали n и касательной τ к поверхности капли (2.1), P – давление внутри капли, Pσ=σdivn – давление сил поверхностного натяжения, PQ=18πE2n2E2τ2ε1E1n2E1τ2 – давление электрических сил, Πinτ, Πexτ – электрические составляющие касательной компоненты тензора напряжений, относящиеся к капле (с нижним индексом «in») и внешней среде (с нижним индексом «ex»), divΣA=divAn·AnΣ – оператор поверхностной дивергенции (символом Σ обозначена поверхность капли (2.1)), Vτ, E1τ – компоненты вектора скорости движения жидкости в капле и напряженности электрического поля внутри капли, лежащие в плоскости касательной к поверхности капли (2.1), и вычисляемые по формулам:

Vτ=V(r, θ, t)nn, V, E1τ=E1τnn, E1τ

Заметим, что в граничном условии (2.5) скорость изменения поверхностной плотности заряда κ(r, θ, t)t (первое слагаемое в (2.5)) на возмущенной поверхности капли обусловливается несколькими физическими факторами. В этом случае второе слагаемое представляет собой нормальный к свободной поверхности капли ток проводимости за характерное время максвелловской релаксации τr ~ ε1 / γ. Появление третьего слагаемого обусловлено изменением площади свободной поверхности капли в процессе ее капиллярных осцилляций. Четвертый член имеет смысл конвективного потока заряда касательными составляющими течения жидкости за время порядка периода осцилляций капли τ ~ (R3ρ / σ)1/2. Пятый член связан с направленным переносом носителей заряда вдоль свободной поверхности капли под действием касательной составляющей электрического поля.

В уравнении (2.5) отсутствует вклад диффузионной компоненты, так как влияние механизма диффузии на конечность скорости переноса носителей заряда существенно лишь для плохо проводящих жидкостей типа жидкого гелия.

Отыскание решения приведенной выше системы уравнений проведем методом прямого разложения в рамках теории возмущений [14]. Ограничиваясь линейным приближением по малому параметру ε ≡ |ξ| / R << 1, все искомые функции представим в виде асимптотических разложений по :

ξ(θ, t)=ξ1(θ, t)+Ο(ε2), V(r, θ, t)=V1(r, θ, t)+Ο(ε2)κ(r, θ, t)=κ0(r, θ)+κ1(r, θ, t)+Ο(ε2)Ej(r, θ, t)=Ej0(r, θ)+Ej1(r, θ, t)+Ο(ε2) j=1, 2P(r, θ, t)=P0(r, θ)+P1(r, θ, t)+Ο(ε2)PQ(r, θ, t)=PQ0(r, θ)+PQ1(r, θ, t)+Ο(ε2)Pσ(r, θ, t)=Pσ0(r, θ)+Pσq(r, θ, t)+Ο(ε2)Πinτ(r, θ, t)=Πinτ0(r, θ)+Πinτ1(r, θ, t)+Ο(ε2)Πexτ(r, θ, t)=Πexτ0(r, θ)+Πexτ1(r, θ, t)+Ο(ε2) (2.7)

Номер верхнего индекса указывает на порядок малости по ε соответствующих компонент. Индексом «0» обозначены величины, характеризующие равновесное состояние системы.

Обратим внимание, что в граничных условиях задействованы орты n(r, θ, t) и τ(r, θ, t). В виду этого возникает необходимость в определении явного вида этих функций.

Вычислим единичный вектор внешней нормали к свободной поверхности капли вида F (r, θ, t) = 0 по общей формуле: nr, θ, tF/F. В линейном по ε приближении получим:

n=er1rξ(θ, t)θeθ (2.8)

В плоскости, касательной к возмущенной поверхности капли в любой ее точке, выберем ортогональные орты τφ, τθ: орт касательной к параллелям τφ и орт касательной к меридианам τθ.

Представим касательную к параллелям как τφ=ez×n, где в качестве постоянного вектора выбран орт оси симметрии ez. Несложно убедиться, что вектор τφ, имеющий единичную длину, совпадает с азимутальным ортом eφ сферической системы координат:

τφ=eφ (2.9)

Определим орт второй касательной при помощи векторного произведения: τθ=τφ×n. Используя (2.8), (2.9) и учитывая, что орт должен иметь единичную длину, найдем единичный вектор касательной в меридиальном направлении в виде:

τθ=1rξθ, tθer+eθ, (2.10)

er, eθ, eφ – орты сферической системы координат.

  1. Решение задачи нулевого порядка малости по ε. Подставляя разложения (2.7) в систему уравнений (2.2)–(2.6) и собирая вместе слагаемые ~ ε0, получим задачу нулевого порядка малости по безразмерной амплитуде осцилляций ε для невозмущенного состояния системы:

divEj0=0, rotEj0=0r0: E10(r, θ, t)0, r: E20(r, θ, t)r=R: P0r, θ+PQ0r, θ=Pσ0r, θP0=P0, Pq=18πE2n02E2θ0ε1E1n02E1θ0Pσ0=σdivn0, n0=er

τ0φ=eφ: Πinφ0=0, Πexφ0=0, Eexφ0(r, θ, t)=Einφ0(r, θ, t)γn0(r, θ)·Ein0(r, θ)+bκ0divΣEinφ0(r, θ)eφ=0τ0θ=eθ: Πinθ0=0, Πexθ0=0, Eexθ0(r, θ, t)=Einθ0(r, θ, t)γn0(r, θ)·Ein0(r, θ)+bκ0divΣEinθ0(r, θ)eθ=0

Eexn0r, θε1Einn0r, θ=4πκ0Vr2drsinθdθdφ=43πR3, Vrr2drsinθdθdφ=0Sκ0dS=Q·V=[0rR, 0θπ, 0φ2π]S=[r=R, 0θπ, 0φ2π]

где n0, τ0φ, τ0θ – орты нормали и касательных к равновесной сфере, P0 – равновесное давление внутри капли.

Решение вышеприведенной системы уравнений нетрудно найти:

κ0=Q4πR2, E10=0, E20=Qr2er, P0=2σRQ28πR4 (3.1)

В итоге приходим к тому, что равновесная форма поверхности капли совпадает с исходной сферической.

  1. Решение задачи первого порядка малости по ε. Вывод дисперсионного уравнения. Подставляя асимптотические выражения (2.7) в полную математическую формулировку задачи (2.2)–(2.6) и выделяя слагаемые ~ ε1, выпишем гидродинамическую часть задачи в первом порядке малости:

V(r, θ, t)t=1ρP1r, θ, t+νΔV(r, θ, t) (4.1)

divV(r, θ, t)=0 (4.2)

divEj1=0, ΔEj1(r,θ,t)εjc22Ej1(r,θ,t)t2=0 j=1, 2 (4.3)

r0: V(r, θ, t)0, Ein1(r, θ, t)0 (4.4)

r: Eex1(r, θ, t)0 (4.5)

r=R: ξ(θ, t)t+V(r, θ, t), er=0 (4.6)

τ0φ=eφ:Πexφ1Πinφ1ρνeφn0, ·V(r, θ, t)+n0eφ, ·V(r, θ, t)=0, n0=er (4.7)

τ0θ=eθ: Πexθ1Πinθ1ρνeθn0, ·V(r, θ, t)+n0eθ, ·V(r, θ, t)=0 (4.8)

P1r, θ, t2ρνn0n0, ·V(r, θ, t)+PQ1r, θ, t=Pσ1r, θ, t (4.9)

r=R: 2QR3ξ(θ, t)+E2r1r, θ, tε1Einr1r, θ, t=4πκ1r, θ, t (4.10)

для τ=τθ: QR3ξθ, tθ+Eexθ1(r, θ, t)=Einθ1(r, θ, t) (4.11)

для τ=τφ: Eexφ1(r, θ, t)=Einφ1(r, θ, t) (4.12)

κ1(r, θ, t)tγE1r1(r, θ, t)+Q4πR2er,V(r, θ, t)diver++Q4πR2divΣV(r, θ, t)+bEin1(r, θ, t)=0 (4.13)

3R20πξθ, tsinθdθ=0, 4R30πξθ,tcosθsinθdθ=0 (4.14)

2πR20πκ1+Q2πR3ξθ, tsinθdθ=0, (4.15)

где Ejr1, Ejθ1, Ejφ1 – проекции вектора Ej1 на орты сферической системы координат.

Скаляризуем уравнения (4.1), (4.2) по методике, подробно изложенной в [15]. Для этого разложим искомое поле скоростей V(r, θ, t) на сумму трех ортогональных векторных полей:

V(r, θ, t)=m=13Nmψm(r, θ, t) (m=1, 2, 3), (4.16)

где ψm – скалярные функции, а дифференциальные векторные операторы Nm в сферической системе координат определяются соотношениями:

N1, N2N1×r×r, N3N1×N2××r, (4.17)

и удовлетворяют условиям ортогональности:

Nm+, Nq=0 mq, (4.18)

и условиям коммутативности с оператором Лапласа Δ:

ΔNm=NmΔ (4.19)

В выражениях (4.17), (4.18) r – радиус-вектор, Nm+ – операторы, эрмитово-сопряженные к Nm, имеющие вид:

N1+, N2+r×, N3+r×× (4.20)

Уравнение (4.16) означает, что поле скоростей течения вязкой жидкости представлено суперпозицией потенциальной и вихревой (обусловленных вязкостью) составляющих: оператор N1 выделяет потенциальную компоненту, а операторы N2 – вихревую тороидальную и N3 – вихревую полоидальную части движения реальной жидкости относительно оси симметрии z капли.

Учитывая разложение (4.16) и свойства операторов (4.18), (4.19), приведем систему векторных выражений (4.1), (4.2) к системе трех скалярных уравнений для функций ψm:

Δψm(r, θ, t)1ν1δ1mψm(r, θ, t)t=0 m=1, 2, 3 , (4.21)

и добавки к давлению внутренней среды капли, вызванной искажением ξ (θ, t) сферической поверхности:

P1(r, θ, t)=ρψ1(r, θ, t)t, (4.22)

δ1m – дельта-символ Кронекера.

Прежде чем записать граничные условия (4.6)–(4.9) в терминах скалярных функций ψm, перепишем систему (4.6)–(4.9) через проекции вектора скорости V(r, θ, t) на орты сферической системы координат:

r=R: ξ(θ, t)t+Vr(r, θ, t)=0 (4.23)

P1r, θ, t2ρνVr(r, θ, t)r+PQ1r, θ, t=Pσ1r, θ, t (4.24)

для τ0θ=eθ: Πexθ1Πinθ1ρνVθ(r, θ, t)r+1rVr(r, θ, t)θ1rVθ(r, θ, t)=0 (4.25)

для τ0φ=eφ: Πexφ1Πinφ1ρνVφ(r, θ, t)r1rVφ(r, θ, t)=0 (4.26)

Входящие в (4.23)–(4.26) компоненты Vr, Vθ, Vφ поля скоростей выражаются в виде:

Vr(r, θ, t)=ψ1(r, θ, t)r1rL^ψ3(r, θ, t); L^1sinθθsinθθVθ(r,θ,t)=1rψ1(r,θ,t)θ+1rrrψ3(r,θ,t)θVφ(r,θ,t)=ψ2(r,θ,t)θ,

где L^ – угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах.

После подстановки этих соотношений в (4.23)–(4.26) система скаляризованных граничных условий примет удобный для дальнейшего решения вид:

r=R: ξ(θ, t)t+ψ1(r, θ, t)r1RL^ψ3(r, θ, t)=0 (4.27)

P1r, θ, t2ρν2ψ1(r, θ, t)r2L^rψ3(r, θ, t)r+PQ1r, θ, t=Pσ1r, θ, t (4.28)

τ0θ=eθ:Π2θ1Π1θ1ρνθ2rψ1(r, θ, t)r1R22+L^ψ3(r, θ, t)+2ψ3(r, θ, t)r2=0 (4.29)

τ0φ=eφ: Π2φ1Π1φ1+ρνθψ2(r, θ, t)r1rψ2(r, θ, t)=0 (4.30)

В (4.28) выражения для линейных по ε поправок к давлениям электрического поля Pq1 и капиллярных сил Pσ1 определяются в виде:

PQ1=18πrE202ξθ, t+2E20E21 (4.31)

Pσ1=σR2+L^ξθ, tR (4.32)

В случае стоячих капиллярных волн положим зависимость малых величин ξ (θ, t), ψm (r, θ, t) от времени периодической:

ξ(θ,t)~expiωnt, ψm(r,θ,t)~expiωnt,

где i – мнимая единица, ωn – частота n-ой моды капиллярных осцилляций капли, в общем случае комплексная: ωn = Reωn ± iImωn, где вещественная часть Reωn определяет собственную частоту осцилляций, а мнимая часть – декремент затухания в случае отрицательной мнимой компоненты: Imωn < 0 или инкремент капиллярной неустойчивости капли по отношению к ее собственному заряду в случае положительной мнимой компоненты Imωn > 0.

Решения уравнения (4.21) для скалярных функций ψm (r, θ, t) с учетом условий ограниченности (4.4) представим в виде разложений [16]:

ψ1(r, θ, t)=n=0AnexpiωntrnPnμ (4.33)

ψm(r,θ,t)=n=0BmnexpiωntInriωnνPnμ m=2, 3, (4.34)

где μ ≡ cosθ, Pn (μ) – полином Лежандра n-ого порядка, n – целое положительное число, In (x) – модифицированная функция Бесселя первого рода [17]. В (4.34) нижний индекс m в амплитудном коэффициенте Bmn указывает на вихревую тороидальную (m = 2) или полоидальную (m = 3) компоненту поля скоростей движения жидкости в капле.

Отклонение поверхности осциллирующей капли от равновесной сферической запишем в форме ряда по осесимметричным полиномам Лежандра:

ξ(θ, t)=n=2MnexpiωntPnμ (4.35)

Здесь суммирование начинается с n = 2, так как в первом порядке малости невозможно возбуждение нулевой (n = 0) и первой (n = 1) мод, отвечающих за радиальные пульсации капли и ее движение как целого соответственно, в силу дополнительных условий (4.14).

В (4.33)–(4.35) неизвестные амплитудные коэффициенты An, Bnm, Mn имеют первый порядок малости по  и вычисляются из системы граничных условий (4.27), (4.29), (4.30).

Сосредоточим свое внимание на вычислении в динамическом граничном условии для нормальной компоненты тензора напряжений (4.28) линейных по ε компонент давлений P(1), PQ1, Pσ1, вызванных деформацией ξ (θ, t) равновесной формы поверхности капли.

Используя решение (4.33) для функции ψ1 (r, θ, t), из формулы (4.22) при r = R выпишем добавку к гидродинамическому давлению внутри капли P(1):

P1(r, θ, t)=iρn=0ωnAnRnexpiωntPnμ (4.36)

Для поправки к давлению сил поверхностного натяжения Pσ1 из (4.32) с учетом разложения (4.35) для возмущения ξ (θ, t) получается соотношение:

Pσ1=σR2n=2n1n+2MnexpiωntPnμ (4.37)

Чтобы найти выражения для добавки к давлению электрических сил PQ1 и электрических составляющих касательной компоненты тензора напряжений Π2θ1Π1θ1, Π2φ1Π1φ1, необходимо решить краевую задачу (4.3)–(4.5), (4.10)–(4.13), (4.15) для напряженности поля Ej1r, θ, t.

Для решения векторных уравнений (4.3) в рамках метода операторной скаляризации представим напряженность электрического поля Ej1r, θ, t в виде суперпозиции:

Ej1=m=13NmΦjm (m=1, 2, 3), (4.38)

где Φjm – неизвестные скалярные функции, Nm – векторные дифференциальные операторы, описываемые выражениями (4.17) и подчиняющиеся свойствам (4.18), (4.19).

Подставляя (4.38) в уравнение непрерывности электрического поля (4.3) и применяя условие ортогональности, придем к уравнению Лапласа для скалярной функции Φj1:

ΔΦj1=0 (4.39)

В силу свойства коммутативности операторов-проекторов Nm с оператором Лапласа (4.19) подстановка разложения (4.38) в волновое уравнение (4.3) позволяет выписать систему трех скалярных уравнений:

m=13NmΔΦjmεjc22Φjmt2=0 m=1, 2, 3

Положим временную зависимость функций Φjm экспоненциальной: Φjm~expiωnt. Тогда подействовав слева на выше записанное уравнение поочередно эрмитовосопряженными операторами Nm+ m=1, 2, 3, при использовании свойства (4.18) перейдем к уравнениям Гельмгольца:

ΔΦjm+εjk2Φjm=0, kReωnc, (4.40)

где k – волновое число.

Из уравнения (4.40) при значении индекса m = 1 с учетом (4.39) легко прийти к решению: Φj1=0, что соответствует отсутствию потенциальной составляющей электрического поля. В результате поправка к напряженности поля Ej1, связанная с возмущением ξ (θ, t) равновесной формы капли, представляется только вихревой частью:

Ej1=N2Φj2+N3Φj3

Учитывая явный вид векторных операторов N2, N3, запишем составляющие вектора Ej1 в сферических координатах (r, θ, φ), выраженные через неизвестные функции Φj2, Φj3:

N2Φ2Φj2θeφ (4.41)

N3Φ31rL^Φj3er+1rrrΦj3θeθ (4.42)

Решение уравнения Гельмгольца (4.40) при j = 1 (внутри капли), ограниченное в начале координат, представим в виде суперпозиции стоячих волн:

Φ1m=n=0CnmexpiωntjnkrPnμ m=2, 3 (4.43)

Решение уравнения (4.40) при j = 2 (вне капли), удовлетворяющее условию ограниченности на бесконечном удалении от капли, естественно искать в виде суперпозиции бегущих волн:

Φ2m=n=0Dnmexpiωnthn2krPnμ m=2, 3  (4.44)

Здесь jn (z) – сферическая функция Бесселя первого рода, hn2z – сферическая функция Бесселя третьего рода или функция Ханкеля [18], Cnm, Dnm – неизвестные коэффициенты первого порядка малости по ε, вычисляемые из граничных условий (4.10)–(4.13).

Несложно показать, что для выполнения условия равенства касательных компонент при τ=τφ необходимо потребовать, чтобы все константы Cn2, Dn2 в решениях (4.43), (4.44) для функций Φj2 (j = 1, 2) обращались в ноль. Из сказанного следует отсутствие тороидальной части поля: Φj2=0. Таким образом, напряженность электрического поля внутри E11 и вне капли E21 описывается лишь полоидальной составляющей:

E11=n=0Cn3expiωnt1rnn+1jnε11/2krPnμer++1rjnε11/2kr+jnε11/2krrPnμθeθ (4.45)

E21=n=0Dn3expiωnt1rnn+1hn2krPnμer++1rhn2kr+hn2krrPnμθeθ (4.46)

Исходя из условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля для орта касательной τ=τθ, найдем соотношение, связывающее амплитуды Mn, Cn3, Dn3 разложений (4.35), (4.45), (4.46):

Cn3=QR2Mnf1+Dn3f2 (4.47)

f11rrjnε11/2krr=R, f2rrhn2krr=Rrrjnε11/2krr=R

Условие скачка нормальной компоненты вектора электрической индукции на заряженной границе жидкости (4.10) после подстановки в него решений (4.45), (4.46) при использовании амплитудного коэффициента (4.47) позволяет определить поправку первого порядка малости к равновесной плотности заряда:

κ1=14πn=0QR3Mn2+ε1f1nn+1jnε11/2kR++1RDn3nn+1hn2kRε1f2jnε11/2kRexpiωntPnμ (4.48)

Применяя (4.23), перепишем векторное условие баланса поверхностной плотности заряда в скалярном виде:

r=R:κ1tγE1r1+Q2πR3ξt+Q4πR4L^ψ1+rrψ3+bQ4πR31sinθθE1θ1sinθ=0,

из которого с учетом уравнений (4.33), (4.34) при m = 3, (4.45), (4.48) выразим коэффициент Dn3 в (4.46) через амплитуды Mn, An, B3n в виде:

Dn3=QR2F2Mnf1F1+1RAnRn+B3nrrInriωnνr=R (4.49)

F1iωnε1+4πγjnε11/2kR+bQR31f1, F2=1iωnhn2kRf2F1

Заметим, что интегральное условие сохранения полного заряда капли (4.15) выполняется тождественно.

Наконец, подставляя в (4.31) полученные решения (3.1), (4.46) для напряженности поля E20, E21 с учетом амплитуды (4.49), запишем при r = R выражение для добавки к давлению электрических сил PQ1:

PQ1=Q24πR5n=0T1Mn+T2An+T3B3nexpiωntPnμ (4.50)

T12+nn+1f1F1F2hn2kR, T2Rn1nn+1F2hn2kRT31Rnn+1F2hn2kRrrInriωnνr=R

Далее перейдем к вычислению электрических частей касательных компонент тензора напряжений в (4.29), (4.30). Воспользовавшись соотношениями (2.8)–(3.1), (4.45), (4.46), убедимся, что в первом порядке малости по ε компоненты Π2φ1=Π1φ1=Π1θ1=0, а Π2θ1 рассчитывается по формуле Π2θ1=14π1RE202ξt+E20E2θ1, из которой при r = R несложно найти:

Π2θ1=Q24πR5n=0G1Mn+G2An+G3B3nexpiωntPnμθG11+f1F1F2rrhn2krr=R, G2Rn1F2rrhn2krr=RG31RF2rrInriωnνr=Rrrhn2krr=R

Рассмотрим теперь граничные условия (4.27), (4.29), (4.30). Подставим найденные электрические составляющие в (4.29), (4.30) и подействуем на эти уравнения слева оператором N1. При использовании свойства ортогональности операторов (4.18) и равенства N2+N2=L^ преобразованное уравнение (4.29) и условие (4.30) с учетом разложений (4.33), (4.34) при m = 3 позволяют определить связь неизвестных констант An, B3n с амплитудами капиллярных осцилляций Mn:

An=Mniωniωnρ2xfx12x2n1n+1+G3Inx+Q24πR5G1nn+1RnRn1iωnρ2xfx1+Q24πR5G2n+1Rn+G3InxBn3=Mniωn2ρνn1Q24πR5G2Rn2Q24πR5nRG1RnInxiωnρ2xfx1+Q24πR5G2n+1Rn+G3Inxfx=In+1xInx, x=Riωnν,

а из граничного условия (4.30) для неизвестной скалярной функции ψ2 (r, θ, t) после подстановки в него представления (4.34) при m = 2 несложно получить уравнение вида:

B2niωnνIn+1Riωnν+1Rn1InRiωnν=0

Легко заметить, что последнее равенство может выполняться, когда все коэффициенты B2n положить равными нулю: B2n = 0, либо приравнять нулю выражение в квадратных скобках. Из первого случая следует обнуление скалярной функции ψ2 (r, θ, t), что равносильно отсутствию вихревых тороидальных движений внутренней среды капли при ее капиллярных осцилляциях. Во втором случае получаем дисперсионное уравнение, определяющее апериодически затухающие вихревые тороидальные движения жидкости. При этом краевая задача для отыскания ψ2 (r, θ, t) полностью автономна и никак не связана с остальной частью анализируемой системы. В виду этого в нижеследующем изложении функция ψ2 (r, θ, t) рассматриваться не будет.

Для дальнейшего анализа решения удобней рассмотреть динамическое граничное условие для нормальной составляющей тензора напряжений (4.28) относительно амплитуд возмущения Mn, которые легко оценить в экспериментальных и естественных условиях [11]. Для этого подставим в (4.28) выражения (4.36), (4.37), (4.50) для компонент давлений P(1), PQ1, Pσ1 и разложения (4.33), (4.34) для скалярных функций ψ1 (r, θ, t), ψ3 (r, θ, t) с учетом полученных амплитудных коэффициентов An, B3n. Применяя известные рекуррентные соотношения для функции Бесселя In (x) (см. [18], стр. 263):

Inxx=In+1x+nxInx, In+1x=2n+1xInx+In1x,

и пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра, получим общий вид дисперсионного уравнения для полоидальных движений жидкости в излучающей капле:

ωn3+iα1ωn2+α2ωn+iα3=0 (n2) (4.51)

α12νR2n12n+1σρR3Wn+1F2hn2kRn+rrhn2krr=RxfxσρR3WF2rrhn2krr=R+2νR2

α2σρR3nWn+1G1n1n+21WT1n1n+2++xfx4ν2R4nn1n+22σρR3νR2WF2nnn+1hn2kR+2rrhn2krr=R

α3xfx2σρR3νR2WG1n2n+1+2σρR3νR2WT1n2σρR3νR2nn1n+2σρR32WF2nrrhn2krr=Rn1n+2+2W+Whn2kRnn+1

В (4.51) параметр Релея W ≡ Q2 / 4πσR3 характеризует устойчивость заряженной поверхности проводящей капли по отношению к собственному заряду (т.е. в случае, когда силы поверхностного натяжения преобладают над электрическими силами). При этом условие устойчивости капиллярных осцилляций n-ой колебательной моды представляется в виде W < (n + 2) [19]. Для основной моды n = 2 критическая для начала реализации электростатической неустойчивости проводящей капли величина ее заряда выписывается в виде: Qкр=4RπσR.

Несложно заметить, что учет конечности скорости перераспределения заряда капли приводит к увеличению порядка алгебраического уравнения (4.51) по сравнению с дисперсионным уравнением при отсутствии эффекта релаксации заряда. Это объясняется усложнением структуры спектра реализующихся движений внутренней среды капли за счет появления релаксационных апериодических движений жидкости, связанных с перераспределяющимся по возмущенной поверхности электрическим зарядом. Возникающие приповерхностные электрические токи, обусловленные сдвигом фаз между капиллярным волновым движением жидкости и течением, связанным с перемещением носителей заряда, приводят к диссипации кинетической энергии в виде тепла.

Обратим внимание, что влияние вязкости на капиллярные осцилляции капли (на основной (второй) колебательной моде n = 2) оценивается величиной безразмерного коэффициента кинематической вязкости μ=νReω2R2=νρσR [20]. Как видно, безразмерная комбинация μ зависит не только от самого коэффициента кинематической вязкости ν, но и от плотности жидкости ρ, коэффициента поверхностного натяжения σ и радиуса капли R. В связи с этим при неизменных величинах ν, ρ, σ жидкость может проявлять себя как маловязкая (μ << 1) и сильновязкая (μ >> 1) в зависимости от размеров капель. Таким образом, выполнение критерия сильной вязкости (μ >> 1) возможно для очень мелких капель, когда их осцилляции подавляются вязкостью. Однако осцилляции капель имеют место для малых значений вязкости (μ << 1), соответствующих большим радиусам.

Оценим величину безразмерного параметра μ, принимая во внимание, что линейные размеры R туманных, облачных и дождевых капель варьируются в пределах от R = 1 мкм до R = 3.5 мм [21]. Используя средние характеристики водяных капель σ = 73 дин/см, ρ = 1 г/см3, ν = 0.01 см2/с и принятые радиусы R, легко показать, что значение параметра μ изменяется в диапазоне от μ = 2 · 10−3 при R = 3.5 мм до μ ≈ 0.117 при R = 1 мкм. Это означает, что во всех случаях величина безразмерной вязкости  удовлетворяет условию μ << 1, что применительно к осцилляциям рассматриваемых капель.

Исходя из выше сказанного, для перехода к пределу малой вязкости (μ << 1) воспользуемся асимптотическим выражением функции Бесселя In (x) при больших значениях аргумента [18, стр. 262]:

x: Inx=12xexpx1+Ο1x,

с учетом которого имеем:

In+1xInx=1+Ο1x; x=Riωnν, (4.52)

Ο – символ порядка [14].

Учитывая асимптотическое поведение функции Бесселя jn (z) при малых значениях аргумента [18, стр. 257]:

z0: jnz=zn2n+1!!1+Οz2,

для которой справедливо рекуррентное соотношение (см. [18, стр. 258]):

jnzz=jn+1z+nzjnz,

найдем асимптотическое выражение:

jnz0zzjnzz=z0=1n+1+Οz02; z0=ε11/2kR (4.53)

Используя разложение сферической функции hn2z в степенной ряд [18]:

hn2z=1zexpizm=0nim+12nm!nm!m!12znm,

для случая z = z1 << 1 получим решение:

hn(2)z1zzhn2zz=z11n+i2nn1!2n!2z12n+1, z1=kR (4.54)

После подстановки асимптотических разложений (4.52)–(4.54) в (4.51), выпишем кубическое дисперсионное уравнение в относительно простом виде:

ωn3+il1ωn2ωnl21+il22il31+l32=0 n2 (4.55)

l14πγ+bQR3n+11+1n+ε11+2νR2n12n+1

l21=ωn02+2νR24πγ+bQR3n+11+1n+ε11n12n+1

ωn02σρR3nn1n+21Wn+2

l22WσρR3n2n+12nn1!2n!2kR2n+1

l31ωn024πγ+bQR3n+11+1n+ε11

l32WσρR34πγ+bQR3n+11+1n+ε11n2n+12nn1!2n!2kR2n+1,

где ωn0 – собственная частота капиллярных осцилляций заряженной капли проводящей жидкости.

Как видно из (4.55), учет конечности скорости переноса заряда описывается соотношением 4πγ+bQR3n+11+1n+ε11, которое при ε1 → ∞ обращается в ноль. В этом случае отсутствие эффекта релаксации заряда обуславливается мгновенным перераспределением носителей заряда. В результате (4.55) превращается в дисперсионное уравнение для затухающих капиллярных осцилляций заряженной капли идеально проводящей маловязкой жидкости с учетом энергопотерь на электромагнитное излучение:

ωn2+2iωnνR2n12n+1σρR3nn1n+21Wn+2+iWnn+1n1n+22nn1!2n!2kR2n+1=0, (4.56)

где kReωnc – волновое число.

  1. Решение дисперсионного уравнения. Обратимся теперь к решению дисперсионного уравнения (4.55). Данные натурных измерений средних зарядов на каплях естественного происхождения с типичными размерами от R = 1 мкм до R = 3.5 мм показывают, что в реальных условиях большая часть капель несет малые заряды, не превышающие одной десятой Рэлеевского предела [21]. Тогда в случае устойчивой поверхности капли по отношению к собственному заряду общий вид комплексной частоты задается в виде: ωn = ReωniImωn. Вещественная компонента Reωn соответствует собственной частоте осцилляций, а мнимая отрицательная часть определяет полный декремент затухания Imωn = η1 + η2, связанный с потерями первоначально запасенной энергии капиллярных осцилляций капли на диссипацию в виде тепла за счет вязкости (η1) и на генерацию электромагнитных волн (η2).

При помощи пакета аналитических вычислений, учитывая условие η2 << Reωn (это следует из того, что формула для η2, определяемая слагаемыми в (4.55), зависящими от параметра Релея W, будет содержать малый параметр z1 = kR << 1), получим комплексные решения кубического уравнения (4.55). Их реальные Reωnj и мнимые Imωnj (j = 1−3) составляющие для разных диапазонов радиусов капель представляются в виде:

для R < 42 мкм:

Reωn1=0 (5.1)

Reωn2=α1cos13arctgy0 (5.2)

Reωn3=α1cosπ313arctgy0 (5.3)

Imωn1=l13+α0sin2π313arctgy0+α2cos2π313arctgy0 (5.4)

Imωn2=l13α0sin13arctgy0+α2cos13arctgy0 (5.5)

Imωn3=l13α0sinπ313arctgy0α2cosπ313arctgy0 (5.6)

для R ≥ 42 мкм:

Reωn1=0 (5.7)

Reωn2=α1cos2π3+13arctgy0 (5.8)

Reωn3=α1cos13arctgy0 (5.9)

Imωn1=l13α0sinπ3+13arctgy0α2cosπ3+13arctgy0 (5.10)

Imωn2=l13+α0sin2π3+13arctgy0+α2cos2π3+13arctgy0 (5.11)

Imωn3=l13+α0sin13arctgy0+α2cos13arctgy0 (5.12)

α02331yl123l21+1323y, α12331yl123l21+1323y, α223l22yy01x2l139l1l21+27l31x, y2l139l1l21+27l31x13x27l12l212108l213108l13l31+486l1l21l31729l312

В выражениях (5.1)–(5.12) первый корень ωn1=iImωn1 соответствует зарядово-релаксационному апериодическому движению жидкости, второй ωn2=Reωn2iImωn2 и третий ωn3=Reωn3iImωn3 корни определяют затухающие капиллярные осцилляции капли (Imωn2=Imωn3, Reωn2=Reωn3).

В (5.1)–(5.12) верхний индекс в круглых скобках (j = 1−3) указывает на порядковый номер корня дисперсионного уравнения (4.55).

Вспомним, что волновое число kReωn1/c и, принимая во внимание отсутствие реальной части (5.1), (5.7) мнимой частоты ωn1, из (5.4), (5.10) найдем декремент затухания η11 зарядово-релаксационного апериодического движения жидкости:

для R < 42 мкм:

η11=l13+α0sin2π313arctgy0 (5.13)

для R ≥ 42 мкм:

η11=l13α0sinπ3+13arctgy0

Из полного декремента затухания Imωnj (j = 2, 3), определяемого выражениями (5.5), (5.6) при R < 42 мкм и (5.11), (5.12) при R ≥ 42 мкм, выделим отдельные решения для декремента затухания η1j (j = 2, 3) полоидального движения жидкости в капле (при вязкости ν ≠ 0):

для R < 42 мкм:

η12=l13α0sin13arctgy0η13=l13α0sinπ313arctgy0 (5.14)

для R ≥ 42 мкм:

η12=l13+α0sin2π3+13arctgy0, η13=l13+α0sin13arctgy0

Заметим, что полученные соотношения η12, η13 определяются двумя первыми слагаемыми в (5.5), (5.6), (5.11), (5.12), не зависящими от волнового числа kReωnjc (в полном декременте затухания Imωnj принимается c → ∞).

Подставляя в третье слагаемое в (5.5), (5.6), (5.11), (5.12) волновое число kReωnjc (j = 2, 3) и выражения (5.2), (5.3) при R < 42 мкм, (5.8), (5.9) при R ≥ 42 мкм для реальных компонент Reωnj (j = 2, 3), из полного декремента затухания Imωnj (в отсутствие вязкости ν = 0) выразим поправки η2j (j = 2, 3), связанные с энергопотерями осциллирующей заряженной капли на излучение электромагнитных волн:

для R < 42 мкм:

η22=23l22ycos13arctgy0, η23=23l22ycosπ313arctgy0 (5.15)

для R ≥ 42 мкм:

η22=23l22ycos2π3+13arctgy0, η23=23l22ycos13arctgy0l22WσρR3n2n+12nn1!2n!2Rcα1cos13arctgy02n+1,

где коэффициенты y0, y зависят от физических параметров задачи.

Отметим, что поправки η2j (j = 2, 3) к декременту затухания на электромагнитное излучение зависят от волнового числа k и определяются конечным значением скорости распространения электромагнитных волн в вакууме c.

Для отыскания численных решений дисперсионного уравнения (4.55), положим, что осцилляции капель связаны с возбуждением основной (второй) моды n = 2, соответствующей сфероидальным деформациям [20]. Примем для расчетов согласно справочным данным [21]: σ = 73 дин/см, ρ = 1 г/см3, ν = 0.01 см2/с, ε1 = 80, γ = 1 · 106 СГСЭ, b = 300 СГСЭ. Тогда для внутриоблачных капель, имеющих средние заряды Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.06Qкр при R = 3 мкм и ~ 0.002Qкр при R = 30 мкм), при R = 3 мкм справедливо решение:

ω21=8.33106i рад/с, ω22=4.611060.56106i рад/сω23=4.611060.56106i рад/с

Для капли размером R = 30 мкм найдем:

ω21=162103i рад/с, ω22=1471035.6103i рад/сω22=1471035.6103i рад/с

Используя средние заряды дождевых капель Q = 7 · 10−4 СГСЭ (~ 2 · 10−3Qкр при R = 0.25 мм и ~ 3 · 10−5Qкр при R = 3.5 мм), для мелкой облачной капли с радиусом R = 0.25 мм получим следующие результаты:

ω21=1,55·105i рад/с, ω22=6.110380i рад/сω23=6.110380i рад/с

Для крупной дождевой капли с характерным линейным размером R = 3.5 мм имеем:

ω21=154103i рад/с, ω22=1170.4i рад/сω23=1170.4i рад/с

Анализ численных расчетов показывает, что первый корень ω21 является чисто мнимым и соответствует релаксационному апериодическому затухающему движению жидкости, порожденному перетеканием заряда по возмущенной поверхности капли. Второй ω22 и третий ω23 корни содержат одинаковые мнимые части и разные по знаку реальные компоненты. При этом ω22, ω23 ответственны за быстро затухающие капиллярные осцилляции облачных и дождевых капель. В этом случае величина декремента затухания η1j (j = 2, 3) полоидального движения жидкости в капле на один-два порядка слабее частоты собственных осцилляций Reω2j (j = 2, 3).

Кроме того, заметим, что среди решений ω22, ω23 физически значимым является второй корень ω22, имеющий положительную вещественную часть Reω22 > 0. В связи с этим для дальнейшего анализа будем использовать решение ω22=Reωn2iη12+η22.

В рассматриваемой ситуации декремент затухания η12 проявляется в подавлении осцилляций капли и, следовательно, на прекращении радиоизлучения на соответствующей частоте. Так, осцилляции (электромагнитное излучение) на основной моде n = 2 облачной капли размером R = 3 мкм исчезают при значении кинематической вязкости ν = 0.08 см2/с, а для капли R = 30 мкм – при ν = 0.26 см2/с.

Численные расчеты показывают, что по сравнению с каплей идеально проводящей жидкости учет конечности скорости перераспределения заряда приводит к небольшому увеличению собственной частоты осцилляций Reω22 при снижении радиуса капли.

Из рис. 1, на котором представлены расчетные зависимости Reω22 (R, W) по формуле (5.2), прослеживается весьма быстрое уменьшение частоты осцилляций Reω22 при возрастании размера R и заряда Q капли (величины параметра Релея W). Заметим, что кривые построены для основной моды n = 2 при значениях параметра Релея, достаточно близких к критическому Wкр = 4. Однако в реальных условиях грозового облака заряды на каплях такие, что величина W << 1, поэтому приведенные зависимости имеют лишь качественный характер.

 

Рис. 1. Зависимость собственной частоты Reω2(2) капиллярных осцилляций вязкой заряженной облачной капли:

а: от ее радиуса R; кривые 14 соответствуют значениям W = 0.1, 2, 3, 3.9

б: от величины параметра Релея W; кривые 14 соответствует значениям R = 5, 10, 15, 20 мкм

Расчеты проведены по формуле (5.2) при n = 2, σ = 73 дин/см, ρ = 1 г/см3, ν = 0.01 см2/с, ε1 = 80, γ = 1 · 106 СГСЭ, b = 300 СГСЭ.

 

Графики зависимостей η12 (R, ν), изображенные в соответствие с (5.14) на рис. 2, показывают, что декремент затухания η12, при возрастании радиуса R – снижается по обратной квадратичной зависимости, а с ростом кинематической вязкости ν увеличивается по линейному закону.

 

Рис. 2. Зависимость декремента затухания η1(2) капиллярных осцилляций вязкой облачной капли c зарядом Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.06Qкр при R = 3 мкм и ~ 0.002Qкр при R = 30 мкм) от:

а: радиуса R (а) кривые 14 соответствуют значениям ν = 0.01, 0.03, 0.05, 0.1 см2

б: коэффициента кинематической вязкости ν, кривые 14 соответствует значениям R = 5, 10, 15, 20 мкм

Расчеты проведены по формуле (5.14) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Согласно численным расчетам по (5.13) электропроводность жидкости γ и поверхностная подвижность носителей заряда b не оказывают влияние на декремент затухания η12 капиллярных осцилляций. При этом зависимость собственной частоты Reω22 от величин γ, b весьма мала.

Из общефизических соображений очевидно, что периодически меняющаяся амплитуда Mn (t) возмущения ξ (θ, t) равновесной формы капли за счет вязкости затухает со временем по экспоненциальному закону:

Mnt=εRcosReωn2t+φexpη12t (5.16)

ε=ε01+η12Reωn22, φ=arctgη12Reωn2,

где ε0 = 0.1 – безразмерная амплитуда возмущения.

На рис. 3, а иллюстрируются численно рассчитанные по соотношению (5.16) зависимости от времени t амплитуды M2 (t) второй моды n = 2 капиллярных осцилляций мелкой облачной капли при различных радиусах. На приведенных графиках можно наблюдать, что внутриоблачная капля наименьшего размера R = 3 мкм, осциллирующая на частоте Reω22 = 4.61 · 106 рад/с с декрементом затухания η12 = 0.56 · 106 рад/с и периодом затухающих осцилляций T = 1.37 мкс, возвращается к равновесной форме, совершив ≈ 8 колебаний. Для капли большего радиуса R = 4 мкм с характеристиками осцилляций Reω22 = 3 · 106 рад/с, η12 = 0.31 · 106 рад/с, T = 2.1 мкс число колебаний до полного их исчезновения увеличивается до ≈ 10. Капля размером R = 5 мкм при Reω22 = 2.15 · 106η12 = 0.2 · 106 рад/с, T = 2.93 мкс совершает уже ≈ 11 колебаний за время вязкого затухания, при котором искажение равновесной формы снижается до нуля.

 

Рис. 3. Зависимость амплитуд Mn (t) различных мод возмущения равновесной формы вязкой облачной капли c зарядом Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.06Qкр при R = 3 мкм и ~ 0.03Qкр при R = 5 мкм) от времени t.

а – n = 2, б – n = 5. Кривые 13 соответствуют значениям R = 3, 4, 5 мкм.

Расчеты проведены по формуле (5.16) при тех же значениях параметров, что и на рис. 1.

 

Из результатов численных расчетов и рис. 1, а можно сделать заключение, что снижение радиуса капли приводит к уменьшению периода T затухающих осцилляций так, что чем меньше размер капли, тем ее осцилляции быстрее гасятся вязкостью.

Для сравнения на рис. 3, б приведены временные зависимости амплитуды M5 (t) пятой моды n = 5, построенные по (5.16) при тех же значениях физических параметров, что на рис. 3, а. Несложно видеть, что скорость снижения амплитуды отклонения поверхности капли от равновесной сферы увеличивается с ростом номера моды. Указанное обстоятельство объясняется повышением величины декремента затухания η12 на высоких колебательных модах (см. рис. 4): увеличение номера моды в три раза приводит к возрастанию η12 на порядок.

 

Рис. 4. Зависимость декремента затухания η1(2) капиллярных осцилляций капли радиуса R = 5 мкм c зарядом Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.03Qкр) от номера моды n.

Расчеты проведены по формуле (5.14) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Для иллюстрации изобразим временную зависимость экспоненциально убывающей со временем амплитуды Mn (t) возмущения ξ (θ, t) в случае релаксационного движения внутренней среды капли, порождаемого переносом заряда по искривленной сферической поверхности, в соответствие с законом:

Mnt=ε0Rexpη11t, (5.17)

где безразмерная амплитуда возмущения принимается ε0 = 0.1.

Из рис. 5, полученному по выражению (5.17) при n = 2, видно, что релаксационное движение жидкости имеет апериодический быстро затухающий характер. В соответствие с численными расчетами для декремента затухания η11 зарядово-релаксационного движения жидкости прослеживается линейная зависимость от проводимости γ и подвижности зарядов b. Причем, увеличение γ сказывается на весьма слабом возрастании декремента затухания η11, а увеличение подвижности  в два раза приводит к удвоению величины b.

 

Рис. 5. Временная эволюция амплитуды M2 (t) основной моды n = 2 возмущения равновесной формы капли радиуса R = 5 мкм с зарядом Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.03Qкр), соответствующая зарядово-релаксационному апериодическому движению жидкости.

Расчеты проведены по формуле (5.17) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

На рис. 6 и 7 изображены рассчитанные по (5.15) зависимости декремента затухания η22, связанного с излучением электромагнитных волн, от удельной электропроводности жидкости γ и подвижности носителей заряда b. Приведенные кривые качественно ожидаемы из общефизических тенденций: поправка к декременту затухания η22 почти линейно возрастает при изменении величин γ, b.

 

Рис. 6. Зависимость величины поправки η2(2) декремента затухания капиллярных осцилляций, связанного с излучением электромагнитных волн капли радиуса R = 10 мкм и заряда Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.01Qкр), от удельной проводимости γ.

Расчеты проведены по формуле (5.15) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Рис. 7. Зависимость величины поправки η2(2) декремента затухания капиллярных осцилляций, связанного с излучением электромагнитных волн капли радиуса R = 10 мкм и заряда Q = 2 · 10−5 СГСЭ (~ 0.01Qкр), от подвижности носителей заряда b.

Расчеты проведены по формуле (5.15) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Что касается малой добавки η22 к декременту затухания капиллярных осцилляций, определяемой энергопотерями капли на электромагнитное излучение, рассмотрим ее поведение при конечных значениях электропроводности жидкости (рис. 8, а), а также в двух предельных случаях: для капли идеально проводящей жидкости (ε1 → ∞) (рис. 8, б) и капли идеально диэлектрической жидкости (ε1 → 0) (рис. 8, в). Из графиков рис. 8, построенных в соответствие с (5.15), можно заметить, что величина поправки η22 к декременту затухания, связанного с излучением электромагнитных волн, сильно заряженных капель в случае конечной удельной проводимости жидкости на порядок ниже по сравнению с идеальным проводником и на два порядка выше по сравнению с идеальным диэлектриком. Из этого факта следует, что чисто диэлектрическая капля, для которой заряд равномерно распределен по поверхности и вморожен в нее, при осцилляциях излучает электромагнитные волны с наименьшей интенсивностью.

 

Рис. 8. Зависимость поправки η2(2) декремента затухания капиллярных осцилляций, связанного с излучением электромагнитных волн заряженной облачной капли, от величины параметра Релея W.

а – ε1 = 80, б – ε1 = ∞, в – ε1 = 0; кривые 13 соответствуют значениям R = 26, 28, 30 мкм.

Расчеты проведены по формуле (5.15) при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Как видно из рис. 8, увеличение параметра Релея W приводит к весьма быстрому нарастанию добавки η22 к декременту затухания капиллярных осцилляций капли, связанного с радиоизлучением. Достигнув наибольшего значения, величина η22 снижается до нуля в широком диапазоне изменения параметра Релея W (вплоть до критических значений). Кроме того, рис. 8 показывает, что возрастание размера капли сказывается на быстром уменьшении малой поправки η22.

  1. Электромагнитное излучение. Известно, что вихревая полоидальная часть течения связана с вязкостью реальной жидкости. Тогда механическая энергия капиллярных осцилляций капли, определяемая кинетической энергией полоидальной составляющей поля скоростей движения реальной жидкости, теряется на диссипацию в виде тепла. В случае маловязкой жидкости положим диссипацию энергии капиллярных осцилляций пренебрежимо малой. Учитывая это обстоятельство, в приближении идеальной жидкости (ν = 0) вязкое затухание отсутствует. Тогда согласно закону сохранения энергии потери механической энергии капиллярных осцилляций, определяемые кинетической энергией потенциальной составляющей поля скоростей течения идеальной жидкости, связываются с излучением электромагнитных волн, вызванным наличием ускоренно движущегося заряда. Принимая во внимание, что энергия поверхностных колебаний n-й моды  ϑn снижается по экспоненциальному закону: ϑn ~ exp (−2η2), запишем общее выражение для мощности излучения [1]:

I=dϑndt=2η2ϑn, (6.1)

где величина η2 находится из дисперсионного уравнения (4.56) в виде [22]:

η2=W122nn1!2n!2σn+1Rn+2c2n+1ρn+1nn+2n1n+2nn+11Wn+2n (6.2)

При использовании теоремы вириала представим η2 в виде удвоенной средней за период кинетической энергии потенциального движения жидкости в капле:

ϑn=2πρR3Mn2ωn02n2n+1, (6.3)

где Mn = εR – размерная амплитуда осцилляций n-ой колебательной моды.

В итоге, подставляя (6.2), (6.3) в (6.1), получим окончательное аналитическое выражение для мощности излучения единичной заряженной капли идеальной проводящей жидкости, осциллирующей на фиксированной частоте ωn0:

I=2πWσn+2Mn2Rn+2c2n+1ρn+1nn+2n1n+2n+1n+12n+12nn1!2n!21Wn+2n+1 (6.4)

Согласно данным натурных измерений большая часть облачной воды сосредоточена в каплях с типичными радиусами от 3 до 30 мкм и концентрацией ~ 103 см–3. Максимум функции распределения таких капель по размерам приходится на диапазон 3–7 мкм [21].

Подставляя в (6.4) приведенные ранее средние характеристики внутриоблачных капель, осциллирующих на основной (второй) моде n = 2 с амплитудой M2 = 0.1R, несложно оценить интенсивность электромагнитного излучения, равную I ~ 1 · 10−39 эрг/с, для капли размером R = 3 мкм и зарядом Q = 5 · 10−5 СГСЭ (~ 0.16Qкр), осциллирующей на частоте ω20 = 4.6 · 106 рад/с с поправкой к декременту невязкого затухания η2 = 2 · 10−33 рад/с, идущего на генерацию электромагнитного излучения. При возрастании радиуса капли на порядок R = 30 мкм, имеющей заряд Q = 1.1 · 10−3 СГСЭ (~ 0.11Qкр), мощность излучения снижается на два порядка величины: I ~ 7 · 10−42 эрг/с при ω20 = 146 · 103 рад/с и η2 = 1 · 10−37 рад/с.

На рис. 9 приведены результаты расчетов по формуле (6.4) в виде зависимостей I (R, W). Видно, что интенсивность излучения I единичной облачной капли идеальной идеально проводящей жидкости, осциллирующей на основной (второй) моде n = 2, при возрастании радиуса R убывает по обратному квадратичному закону. Несложно заметить, что график функции I (W) (рис. 9, а) качественно повторяет зависимость поправки η22 (W) к декременту затухания капиллярных осцилляций капли маловязкой идеально проводящей жидкости, определяемого потерями на электромагнитное излучение (рис. 8, б). Интересно отметить, что учет малой вязкости по сравнению с идеальной жидкостью приводит лишь к весьма малым количественным изменениям.

 

Рис. 9. Зависимость интенсивности электромагнитного излучения I заряженной капли идеальной идеально проводящей жидкости от параметра Релея W (а) и радиуса R (б).

а: Кривые 13 соответствуют значениям R = 26, 28, 30 мкм.

б: Кривые 13 соответствуют значениям W = 2, 2.5, 3.

Расчеты проведены по формуле (5.4) при n = 2, σ = 73 дин/см, ρ = 1 г/см3.

 

Сравним теперь между собой интенсивности излучения  заряженной невязкой идеально проводящей капли в двух случаях: учитывая в степенном асимптотическом разложении сферической функции Бесселя hn2 (z) при малых z (см. [18, стр. 257, ф-ла 10.1.17]) все члены ряда по методике Н.А. Богатова [7] и сохраняя только старшие слагаемые как это делалось в [1].

Зависимость I (R, W) (см. рис. 10), построенная для второй моды осцилляций n = 2 по выражению [1]:

I=2πWσ2Mn2cρR2n1n+1n+22n+11Wn+2, (6.5)

указывает на качественные и количественные расхождения по сравнению с численными расчетами по формуле (6.4) при n = 2 в методике Н.А. Богатова. Из выражения (6.5) при амплитуде возмущения M2 = 0.1R и рис. 10 видно, что мощность излучения не зависит от размера капли и на 31–33 порядка величины выше (при изменении радиуса облачной капли от R = 3 мкм до R = 30 мкм).

 

Рис. 10. Зависимость интенсивности электромагнитного излучения I заряженной капли идеальной идеально проводящей жидкости от параметра Релея W, построенная по [1].

 

Следует отметить, что использование корректного асимптотического представления сферической функции Бесселя hn2 (z) (а именно: учет всех членов степенного ряда) приводит к качественному и количественному согласованию полученных результатов интенсивности излучения капли идеальной идеально проводящей жидкости, осциллирующей на основной (второй) моде n = 2, выполненных на основе физико-химической гидродинамики двумя методами: на основе закона сохранения энергии и в рамках теории излучения [11].

Ясно, что при снижении электропроводности жидкости уже сказывается конечность скорости переноса электрического заряда при деформациях равновесной формы капли. Данное обстоятельство приводит к снижению характеристик излучения, полученных без учета эффекта релаксации заряда. Примем для оценки γ = 1 · 106 СГСЭ, b = 300 СГСЭ. Так для наименьшей облачной капли R = 3 мкм с зарядом Q = 5 · 10−5 СГСЭ (~ 0.16Qкр), осциллирующей на частоте Reω22 = 4.56 · 106 рад/с, получена интенсивность излучения I ~ 8 · 10−40 эрг/с при добавке к декременту затухания капиллярных осцилляций, равной η22 = 1 · 10−33 рад/с. Для наиболее крупной внутриоблачной капли R = 30 мкм, несущей заряд Q = 1.1 · 10−3 СГСЭ (~ 0.11Qкр), интенсивность излучения составила I ~ 5 · 10−42 эрг/с при Reω22 = 146 · 103 рад/с, η22 = 7 · 10−38 рад/с.

Из проведенных численных расчетов, проиллюстрированных на рис. 11, для заряженной капли вязкой жидкости с конечной электропроводностью, осциллирующей на второй моде n = 2, выясняется, что интенсивность излучения I при изменении размера капли R снижается по закону ~ R−2. При этом зависимость мощности излучения  от величины параметра Релея W (рис. 11, а) качественно схожа с графиком зависимости малой поправки η22 (W) к декременту затухания, связанного с излучением электромагнитных волн (рис. 8, а).

 

Рис. 11. Зависимость интенсивности электромагнитного излучения I заряженной вязкой капли конечной электропроводности от параметра Релея W (а) и радиуса R (б).

Расчеты проведены при тех же значениях параметров, что на рис. 1.

 

Из сравнения рис. 9 и 11 можно сделать заключение, что учет конечности скорости переноса электрического заряда при капиллярных осцилляциях капли маловязкой жидкости приводит снижению (примерно на порядок величины или в пределах порядка величины в зависимости от параметра Релея W) интенсивности излучения.

Заключение. Согласно вышеизложенному, учет конечности скорости переноса заряда приводит к уменьшению интенсивности радиоизлучения от осциллирующей заряженной капли, и в первую очередь этому способствует вязкость жидкости, снижающая частоты осцилляций.

Работа выполнена в ИПМех РАН в рамках Государственного задания АААА-А20-120011690131-7.

×

About the authors

A. I. Grigoryev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the RAS

Author for correspondence.
Email: grigorai@mail.ru
Russian Federation, Moscow

N. Yu. Kolbneva

Demidov Yaroslavl State University

Email: kolbneva-nata@yandex.ru
Russian Federation, Yaroslavl

S. O. Shiryaeva

Demidov Yaroslavl State University

Email: shir@uniyar.ac.ru
Russian Federation, Yaroslavl

References

  1. Kalechits V.I., Nakhutin IE, Poluektov P.P. On the possible mechanism of radio emission of convective clouds // Dokl. AN USSR, 1982, vol. 262, no.6, pp. 1344–1347.
  2. Shiryaeva S.O., Grigoriev A.I., Golovanov A.S., Rybakova M.V. Electromagnetic radiation generated by linear vibrations of a charged drop // ZhTF, 2002, vol.72, no. 1S, pp. 8–14.
  3. Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O. Electromagnetic radiation of an oscillating charged drop of finite conductivity // Izv. RAS. Fluid&Gas Mech., 2002, no. 5, pp.74–80.
  4. Shiryaeva S.O., Grigoriev A.I., Kryuchkov O.S. On oscillations of a charged drop of viscous liquid with final conductivity // ZHTF, 2007, vol. 77, no.6, pp.13–21.
  5. Bogatov N.A. Electromagnetic field generated by capillary oscillations of drops // VI Int. Conf. “Solar-Earth Connections and Physics of Earthquake Precursors.” Petropavlovsk-Kamchatsky, FEB RAS. Abstracts. 2013. pp.22–26.
  6. Belonozhko D.F., Grigoriev A.I. On the correct form of recording the law of preserving the amount of matter at the moving interface of two liquid media // ZHTF, 2004, vol.74, no. 11, pp. 22–27.
  7. Belotserkovsky A.V., Divinsky L.I. Active-Passive Radar of Thunderstorm and Menacing Foci in the Clouds. St. Petersburg: Hydrometeoizdat, 1992. 286 p.
  8. Kachurin L.G. Physical Basis of Impact on Atmospheric Processes. Leningrad: Hydrometeoizdat, 1990. 463 p.
  9. Gorelik AG, Kozlov A.I., Sterlyadkin V.V. Scattering of radio waves on non-spherical and oscillating rain drops // Sci. Vest. MSTU GA, 2012, no. 176, pp. 25–30.
  10. Zhukov V.Yu., Shchukin G.G. Recognition of weather hazards in modern meteorological radar // Problems of Prisoner of War Geophysics and Monitoring of the State of the Natural Environment: Materials All Russian Sci. Conf. SPb.: 2020. pp. 40–50.
  11. Grigoriev A.I., Shiryaeva S.O. Etudy about a Thunderstorm. Lights of St. Elm, the Glow of Tornadoes, Different Lightning. Moscow;Berlin: Durect-MEDIA. 223 p.
  12. Sterlyadkin V.V. Full-scale measurements of precipitation drop oscillations // Izv. USSR AS. FAO, 1988, vol.24, no.6, pp. 613–621.
  13. Beard K.V., Tokay А. A field study of small raindrop oscillations // Geophys. Res. Lett., 1991, vol.18, no.12, pp. 2257–2260.
  14. Naife A.H. Methods of Perturbation. Moscow: Mir, 1976. 455 p.
  15. Lazaryants A.E., Shiryaeva SO, Grigoriev A.I. Scalarization of Vector Boundary Problems. Moscow: Russines, 2020. 140 p.
  16. Arfken G. Mathematical Methods in Physics. Moscow: Atomizdat, 1970. 712 p.
  17. Varshalovich D.A., Moskalev A.N., Kherson V.K. Quantum Theory of Angular Momentum. Leningrad: Nauka, 1975. 436 p.
  18. Abramowitz M, Steegan I. Handbook of Mathematical Functions. Moscow: Nauka, 1979. 830 p.
  19. Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag., 1882, vol.14, pp.184–186.
  20. Grigor’ev A.I. On some regularities of the implementation of instability of a highly charged viscous drop // ZHTF, 2001, vol.71, no.10, pp.1–7.
  21. Mazin I.P., Hrgian AH, Imyanitov I.M. Clouds and Cloud Atmosphere. Leningrad: Hydrometeoizdat, 1989. 647 p.
  22. Grigor’ev A.I., Kolbneva N.Yu., Shiryaeva S.O. On the effect of the liquid viscosity relaxation effect on the electromagnetic radiation intensity of an oscillating charged drop // Colloid J., 2023, vol.85, no. 4, pp. 483–501.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
2. Fig. 1. Dependence of the natural frequency of capillary oscillations of a viscous charged cloud droplet: a: on its radius R; curves 1-4 correspond to values W = 0.1, 2, 3, 3.9; b: on the value of the Rayleigh parameter W; curves 1-4 correspond to values R = 5, 10, 15, 20 μm. The calculations were carried out using formula (5.2) at n = 2, σ = 73 dyne/cm, ρ = 1 g/cm3, ν = 0.01 cm2/s, ε1 = 80, γ = 1 - 106 SGSE, b = 300 SGSE.

Download (19KB)
3. Fig. 2. Dependence of the decrement of attenuation of capillary oscillations of a viscous cloud droplet with charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.06Qkr at R = 3 μm and ~ 0.002Qkr at R = 30 µm) from: a: radius R (a) curves 1-4 correspond to values ν = 0.01, 0.03, 0.05, 0.1 cm2/s; b: kinematic viscosity coefficient ν, curves 1-4 correspond to values R = 5, 10, 15, 20 µm. Calculations were carried out by formula (5.14) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (17KB)
4. Fig. 3. Dependence of Mn (t) amplitudes of different modes of perturbation of the equilibrium shape of a viscous cloud droplet with charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.06Qkr at R = 3 μm and ~ 0.03Qkr at R = 5 μm) on time t. a - n = 2, b - n = 5. Curves 1-3 correspond to values R = 3, 4, 5 μm. Calculations were carried out by formula (5.16) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (16KB)
5. Fig. 4. Dependence of the decrement of attenuation of capillary oscillations of a drop of radius R = 5 μm with charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.03Qkr) on the mode number n. The calculations were carried out by formula (5.14) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (10KB)
6. Fig. 5. Temporal evolution of the amplitude M2 (t) of the main mode of the n = 2 perturbation of the equilibrium shape of a drop of radius R = 5 μm with charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.03Qcr), corresponding to the charge-relaxation aperiodic motion of the liquid. Calculations were carried out by formula (5.17) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (9KB)
7. Fig. 6. Dependence of the magnitude of the capillary oscillation attenuation decrement correction associated with the emission of electromagnetic waves of a drop of radius R = 10 μm and charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.01Qcr) on the specific conductivity γ. Calculations were carried out by formula (5.15) at the same parameter values as in Fig. 1.

Download (10KB)
8. Fig. 7. Dependence of the magnitude of the capillary oscillation attenuation decrement correction associated with the emission of electromagnetic waves of a drop of radius R = 10 μm and charge Q = 2 - 10-5 SGSE (~ 0.01Qcr) on the charge carrier mobility b. Calculations were carried out by formula (5.15) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (11KB)
9. Fig. 8. Dependence of the correction of the decrement of the capillary oscillation attenuation decrement associated with the emission of electromagnetic waves of a charged cloud droplet on the value of the Rayleigh parameter W. a - ε1 = 80, b - ε1 = ∞, c - ε1 = 0; curves 1-3 correspond to the values of R = 26, 28, 30 μm. The calculations were carried out by formula (5.15) at the same values of parameters as in Fig. 1.

Download (27KB)
10. Fig. 9. Dependence of the intensity of electromagnetic radiation I of a charged drop of an ideally conducting liquid on the Rayleigh parameter W (a) and radius R (b). a: Curves 1-3 correspond to values R = 26, 28, 30 µm. b: Curves 1-3 correspond to values W = 2, 2.5, 3. Calculations were performed using formula (5.4) at n = 2, σ = 73 dyne/cm, ρ = 1 g/cm3.

Download (15KB)
11. Fig. 10. Dependence of the intensity of electromagnetic radiation I of a charged drop of an ideally conducting liquid on the Rayleigh parameter W, plotted according to [1].

Download (11KB)
12. Fig. 11. Dependence of the electromagnetic radiation intensity I of a charged viscous drop of finite electrical conductivity on the Rayleigh parameter W (a) and radius R (b). The calculations were carried out at the same parameter values as in Fig. 1.

Download (15KB)

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».