Minimization of quadratic functionals ratio in eigenvalue problems for the Orr-Sommerfeld equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In eigenvalue problems for the Orr–Sommerfeld equation, in cases of no-slip conditions or the assignment of shear stress on one of the boundaries, upper estimates for the real parts of the eigenvalues responsible for stability are analytically obtained. To evaluate more accurate estimates than the known ones, it is necessary to minimize the ratios of certain combinations of quadratic functionals arising from the application of the integral relations method. The exact minima of the ratios are calculated and compared with the estimated minima obtained based on well-known Friedrichs inequalities.

About the authors

D. V. Georgievskii

Lomonosov Moscow State University; Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: georgiev@mech.math.msu.su
Moscow, Russia; Moscow, Russia; Moscow, Russia

References

  1. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr–Sommerfeld equation. Pt. 1 // J. Fluid Mech., 1968, vol. 33, no. 3, pp. 617–621. https://doi.org/10.1017/S0022112068001552
  2. Joseph D.D. Eigenvalue bounds for the Orr–Sommerfeld equation. Pt. 2 // J. Fluid Mech., 1969, vol. 36, no. 4, pp. 721–734. https://doi.org/10.1017/S0022112069001959
  3. Synge J.L. Hydrodynamical stability // Semicentenn. Publ. Amer. Math. Soc., 1938, vol. 2, pp. 227–269.
  4. Lin C.C. The Theory of Hydrodynamic Stability. Cambridge: Univ. Press, 1955.
  5. Rektorys K. Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering. Dordrect — Boston: Reidel, 1980. https://doi.org/10.1007/978-94-011-6450-4
  6. Collatz L. Eigenwertaufgaben mit Technischen Anwendungen. Leipzig: Academische Verlag., 1963.
  7. Mikhlin S.G. Variational Methods in Mathematical Physics. Moscow: Nauka, 1970. (In Russian).
  8. Yih C.-S. Note on eigenvalue bounds for the Orr –Sommerfeld equation. // J. Fluid Mech., 1969, vol. 38, no. 2, pp. 273–278. https://doi.org/10.1017/S0022112069000164
  9. Georgescu A. Note on Joseph’s inequalities in stability theory // ZAMP, 1970, vol. 21, no. 1, pp. 258–260. https://doi.org/10.1007/BF01590652
  10. Miklavčič M. Eigenvalues of the Orr– Sommerfeld equation in an unbounded domain // Arch. Rat. Mech.&Analysis, 1983, vol. 83, pp. 221–228. https://doi.org/10.1007/BF00251509
  11. Banerjee M.B., Shandil R.G., Gourla M.G.et al. Eigenvalue bounds for the Orr–Sommerfeld equation and their relevance to the existence of backward wave motion // Studies in Appl. Math., 1999, vol. 103, no. 1, pp. 43–50. http://dx.doi.org/10.1111/1467-9590.00119
  12. Banerjee M.B., Shandil R.G., Chauhan S.S. et al. Eigenvalue bounds for the Orr–Sommerfeld equation and their relevance to the existence of backward wave motion. Pt. II // Studies in Appl. Math., 2000, vol. 105, no. 1, pp. 31–34. http://dx.doi.org/10.1111/1467-9590.00140
  13. Puri P. Stability and eigenvalues bounds of the flow of a dipolar fluid between two parallel plates // Proc. Roy. Soc. A., 2005, vol. 461, pp. 1401–1421. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.2004.1434
  14. Watanabe Y., Plum M., Nakao M.T. A computer-assisted instability proof for the Orr — Sommerfeld problem with Poiseuille flow // ZAMM, 2009, vol. 89, no. 1, pp. 5–18. http://dx.doi.org/10.1002/zamm.200700158
  15. Ding S., Lin Z. Stability for two-dimensional plane Couette flow to the incompressible Navier–Stokes equations with Navier boundary conditions // Commun. Math. Sci., 2020, vol. 18, no. 5, pp. 1233–1258. https://doi.org/10.48550/arXiv.1710.04855
  16. Bras e Silva P., Carvalho J. Stability and eigenvalue bounds for micropolar shear flows // ZAMM, 2024, vol. 104, no. 12, pp. 1–10. https://doi.org/10.48550/arXiv.2409.11584
  17. Kozyrev O.R., Stepanyants Yu.A. The method of integral relations in the linear theory of hydrodynamic stability // Advances in Science and Technology. Ser. Fluid Mechanics. Moscow.: VINITI, 1991, vol. 25, pp. 3–89. (in Russian)
  18. Georgievskii D.V. Selected Problems of Continuum Mechanics. 2-nd ed. Moscow: URSS, 2020. (in Russian)
  19. Georgievskii D.V. New estimates of the stability of one-dimensional planeparallel flows of a viscous incompressible fluid // J. Appl. Math.&Mech., 2010, vol. 74, no. 4, pp. 452–459. http://dx.doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2010.09.011
  20. Georgievskii D.V. Friedrichs inequalities and sharpened sufficient stability conditions of plane-parallel flows // Moscow Univ. Mech. Bull., 2022, vol. 77, no. 3, pp. 61–65. https://doi.org/10.3103/S0027133022030049

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».