On the physical regularities of the instability of charged spheroidal droplets

Full Text

1. Введение. Проблема изучения физических закономерностей реализации электростатической неустойчивости по отношению к собственному заряду осциллирующих заряженных капель электропроводной жидкости, сопровождающейся дроблением родительской капли на более мелкие, сильно заряженные дочерние капельки, занимает исследователей уже почти полтора столетия, начиная с конца 19 века [1$–$3]. Такой интерес вызван многочисленными приложениями явления в геофизике, технической физике, химической технологии и т.п. [4$–$9]. К этому примыкают и исследования деформаций осциллирующих капель, мицелл и сопутствующих им явлений [4, 10$–$12], в том числе и изучение физического механизма развития неустойчивости сильно заряженной плоской поверхности жидкости [13$–$14] и электростатические распады сильно заряженных капель, см., напр., [15$–$19].

Говоря о каплях и мицеллах, будем иметь в виду капли (мицеллы) простейших форм: сферические, сплюснутые или вытянутые сфероиды, тем более, что последние две формы капель реализуются при осцилляциях сферической капли на основной (легче всего возбуждаемой) моде [3, 5$–$7, 9$–$10]. Но, если электростатическая неустойчивость вытянутой сфероидальной капли исследована более-менее детально (см., напр., [3, 15$–$19] и указанные там работы), то про неустойчивость сплюснутых сфероидальных заряженных капель известно весьма мало [20]. В частности известно, что электростатическая устойчивость сплюснутой сфероидальной заряженной капли по отношению к осесимметричным осцилляциям только повышается с увеличением эксцентриситета, в то время как для вытянутой сфероидальной капли она снижается [3, 15$–$20]. В этой связи представляет интерес исследование электростатической устойчивости как вытянутой, так и сплюснутой сфероидальных заряженных капель электропроводной несжимаемой жидкости по отношению к осесимметричным осцилляциям, проведенное для обеих капель одинаковыми методами. Этому и посвящено настоящее рассмотрение.

2. Сплюснутый сфероид. Постановка задачи. Пусть имеется капля радиуса $R$, заряженная зарядом $Q$, несжимаемой идеальной (для простоты и сокращения объема математических выкладок) электропроводной жидкости с массовой плотностью ${\rho }_1$ в идеальной несжимаемой диэлектрической среде внешней среде с плотностью ${\rho }_2$ и коэффициентом межфазного натяжения $\sigma$, имеющая сплюснутую сфероидальную форму. Поверхность капли (границы раздела сред) будет возмущена капиллярным волновым движением весьма малой амплитуды, по порядку величины определяемой выражением: $\left|\xi \right|~\sqrt{\kappa T/\sigma }$, где $\kappa$ $–$ постоянная Больцмана, $T$ $–$ абсолютная температура [21]; т.к. в силу теплового движения молекул жидкости на границе раздела сред создается капиллярное волновое движение, не превышающая по амплитуде 0.1 нм. Все рассмотрение проведем в сферической системе координат с началом в центре капли (r, $\vartheta ,\phi$ ).

Волновые движения в капле и среде будем принимать потенциальными [22] с потенциалами скоростей ${\phi }_1(r,t)$ и ${\phi }_2(r,t)$, которые будут удовлетворять уравнениям Лапласа:

$\nabla {\phi }_i(r,t);$ $i=\mathrm{1,2,}$ (2.1)

где индекс «1» соответствует жидкости капли, «2» $–$ среде.

Уравнение возмущенной капиллярным волновым движением поверхности капли запишем в виде:

$r(\vartheta ,t)=r(\vartheta )+\xi (\vartheta ,t),$

где $r(\vartheta )$ $–$ уравнение сплюснутого сфероида:

$r(\vartheta )=R\frac{{(1-e^2)}^{1/3}}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\vartheta }},$ $e^2=1-\frac{c^2}{a^2}$, (2.2)

$\xi (\vartheta ,t)$ $–$ волновое возмущение поверхности.

Для нижеследующего качественного анализа на границе раздела сред (2.2) в первом приближении по малым параметрам $e^2\ll 1$ и $\left(\left|\xi (\vartheta ,t)\right|/R\right)\ll 1$ потребуем выполнения стандартных гидродинамических условий к уравнениям Лапласа (2.1):

кинематического:

$\frac{\partial \xi (\vartheta ,t)}{\partial t}\approx \frac{\partial {\phi }_1(r,t)}{\partial n_1}=\frac{\partial {\phi }_2(r,t)}{\partial n_2}\equiv \frac{\partial \phi (r,t)}{\partial n}$  (2.3)

и динамического:

$\Delta p={\rho }_2\frac{\partial {\phi }_2(r,t)}{\partial t}-{\rho }_1\frac{\partial {\phi }_1(r,t)}{\partial t}+p_{\sigma }+p_e$,  (2,4)

где ${\overrightarrow{n}}_i-$ вектор положительной нормали к границе раздела сред для капли и среды; $\Delta p$ $–$ перепад давлений на границе раздела сред; $p_{\sigma }$ $–$ капиллярное давление; $p_e$ $–$ электрическое давление собственного заряда на каплю.

В используемом приближении: $e^2\ll 1$ и $\left(\left|\xi (\vartheta ,t)\right|/R\right)\ll 1$, производные по нормали в кинематическом граничном условии (2.3) отнесем к поверхности $r=R$, в итоге производные по нормалям заменятся на производные по радиусу:

$\frac{\partial {\phi }_1(r,t)}{\partial n_1}\to \frac{\partial {\phi }_1(r,t)}{\partial r},\frac{\partial {\phi }_2(r,t)}{\partial n_2}\to -\frac{\partial {\phi }_2(r,t)}{\partial r}$

Гидродинамические потенциалы ${\phi }_1(r,t)$ и ${\phi }_2(r,t)$ должны быть гармоническими функциями, и их можно записать в виде:

${\phi }_1(r,t)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{B}_n(t)r^n{P}_n}(\mu ),{\phi }_2(r,t)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{C}_n(t)r^{-(n+1)}{P}_n}(\mu );$ $\mu \equiv \cos \vartheta$, (2.5)

где $P_n(\cos \vartheta )$ $–$ полиномы Лежандра; $B_n(t)$ и $C_n(t)$ $–$ неопределенные коэффициенты, зависимость, которых от времени для капиллярного волнового движения в идеальной жидкости определяется как: ${\phi }_i(r,t)\sim \exp (\omega t)$, где $\omega$ $–$ частота. В силу (2.3) следует записать в виде разложения и возмущение границы раздела:

$\xi (\vartheta ,t)={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{D}_n(t)P_n}(\mu )$ (2.6)

Кроме граничных условий потребуем также выполнения интегральных условий условия неизменности при осцилляциях объема капли, неподвижности ее центра масс и постоянства заряда капли:

${\displaystyle \underset{V}{\int }{r}^2\sin \vartheta drd\vartheta d\phi =\frac{4}{3}\pi }{R}^3$, ${\displaystyle \underset{V}{\int }\overrightarrow{r}{r}^2\sin \vartheta drd\vartheta d\phi =0}$

$V=[0\le r\le R+\xi (\theta ,t),0\le \theta \le \pi ,0\le \phi \le 2\pi ]$

$S=[r=R+\xi (\theta ,t),0\le \theta \le \pi ,0\le \phi \le 2\pi \text{}]$ (2.7)

Подставляя (2.5), (2.6), (2.7) в (2.2) $–$ (2.4) после простых, но громоздких вычислений, как это делалось, например, в [3, 20, 21], найдем дисперсионное уравнение задачи в линейном приближении по $e^2$, в виде:

${\Omega }^2=\frac{1}{{\rm M}(n,e^2,{\rho }_1,{\rho }_2)}\left\{4W\left[(n-1)-e^2(n-4){\kappa }_n\right]-\left[(n+2)(n-1)+2e^2(n^2+n+4){\kappa }_n)\right]\right\}$, (2.8)

где

${\rm M}(n,e^2,{\rho }_1,{\rho }_2)\equiv \frac{1}{n}\left(1-e^2\frac{n+3}{n}{\kappa }_n\right)+\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1(n+1)}\left(1-e^2\frac{n-2}{n+1}{\kappa }_n\right)$

${\Omega }^2\equiv \left({\omega }^2{\rho }_1{R}^3/\sigma \right),W\equiv \left(Q^2/16\pi \sigma R^3\right),{\kappa }_n\equiv \frac{2n}{3(2n-1)(2n+3)}$

Следует отметить, что безразмерный параметр $W$ характеризует устойчивость капли по отношению к собственному заряду капли [1$–$3].

Приравнивая в дисперсионном уравнении (2.8) квадрат безразмерной частоты ${\Omega }^2$ нулю, можно найти условия реализации электростатической неустойчивости заряженной капли в форме сплюснутого сфероида в линейном же приближении по $e^2$ в виде зависимости зарядового параметра $W$ от номера моды осцилляций $n$:

$W_{cr}\equiv \frac{n+2}{4}\left(1+e^2\frac{n^3(n+1)}{(n-1)(n+2)(2n-1)(2n+3)}\right);n\ge 2$ (2.9)

Несложно видеть, что с увеличением $e^2$ критическое значение параметра $W$ увеличивается пропорционально первой степени квадрата эксцентриситета, поскольку именно в этом приближении проводились расчеты. Но, тем не менее, встает вопрос: в каком месте сплюснутого сфероида, на поверхности которого плотность поверхностного заряда распределена неравномерно, реализуется неустойчивость. В монографии [23] приведено аналитическое выражение для распределения заряда по поверхности заряженного электропроводного сфероида, но сделано это в декартовых координатах, не наглядных в рассматриваемой ситуации. В Приложении 1 эта зависимость приводится в сферических координатах с началом в центре капли. Эта выражение имеет вид:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{{(1-e^2)}^{1/3}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\vartheta }}{\sqrt{(-2e^2+e^4){\sin }^2\vartheta +1}}$ (2.10)

Видно, что при $e=0$ получается плотность заряда, характерная для электропроводной сферы.

Для сплюснутого сфероида при $\vartheta =0$ получим на вершинах сфероида:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}{(1-e^2)}^{1/3}$,

что несколько ниже, на множитель ${(1-e^2)}^{1/3}$, заряда на сфере, и чем больше эксцентриситет, тем меньше поверхностная плотность заряда.

Для сплюснутого сфероида при $\vartheta =\pi /2$ получим на экваторе сфероида:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{1}{{(1-e^2)}^{1/6}}$

Это больше плотности поверхностного заряда на сфере, на множитель ${(1-e^2)}^{-1/6}$. Таким образом, при сплющивании сильно заряженной капли в сфероид увеличивается плотность заряда на экваторе.

На рис. 1 приведен построенный по (2.10) трехмерный график зависимости безразмерной поверхностной плотности собственного электрического заряда $\Xi$ на сплюснутой сфероидальной капле несжимаемой электропроводной жидкости,

$\mathrm{\Xi }\equiv \frac{4\pi R^2\sigma }{Q}=\frac{{(1-e^2)}^{1/3}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\vartheta }}{\sqrt{(-2e^2+e^4){\sin }^2\vartheta +1}}$,

от величины ее эксцентриситета $e$ и ее полярного угла $\vartheta$, который отсчитывается от вертикальной оси в сферической системе координат с началом в центре капли. Обезразмеривание поверхностной плотности заряда проведено на плотность поверхностного заряда равновеликой сферической капли.

 

Рис. 1. График зависимости безразмерной поверхностной плотности собственного электрического заряда $\mathrm{\Xi }$ на сфероидальной капле несжимаемой электропроводной жидкости от величины ее эксцентриситета e и ее полярного угла $\vartheta$: а $–$ сплюснутая капля; б $–$ вытянутая капля.

 

Видно, что неустойчивость осесимметричных осцилляций капли может реализоваться только при больших значениях эксцентриситета $e\ge 0.95$ и значениях полярного угла $\vartheta \to \pi /2$, т.е. на экваторе сплюснутой сфероидальной капли. Это экспериментально подтвердилось несколько десятков лет назад при разработке устройств для электрокаплеструйной печати [24]. Капли чернил, с которыми экспериментировали, были электропроводны и сильно заряжены, чтобы ими можно было управлять с помощью внешних электрических полей. Но оказалось, что такие капли, сталкиваясь с бумагой, претерпевали электростатическую неустойчивость и распадались, образуя чернильный ореол вокруг каждой из букв. В итоге, от указанного метода пришлось отказаться.

3. Вытянутый сфероид. Что касается вытянутой сфероидальной капли электропроводной жидкости, то механизм реализации ее электростатической неустойчивости детально описан в [3].

Уравнение вытянутого сфероида в сферической системе координат с началом в центре капли имеет вид:

$r(\vartheta )=\frac{R{(1-e^2)}^{1/6}}{\sqrt{1-e^2{\text{cos}}^2\vartheta }}$; $e^2=1-\frac{a^2}{c^2}$ (3.1)

Повторяя все рассуждения, предпринятые во втором разделе, получим аналитическое выражение для критических условий реализации электростатической неустойчивости заряженной капли в форме вытянутого сфероида в линейном приближении по $e^2$ в виде зависимости зарядового параметра $W$ от номера моды осцилляций $n$:

$W_{cr}\equiv \frac{n+2}{4}\left(1-e^2\frac{n^3(n+1)}{(n-1)(n+2)(2n-1)(2n+3)}\right);n\ge 2$ (3.2)

Несложно видеть, что с увеличением эксцентриситета вытянутой сфероидальной капли критическое значение зарядового параметра только снижается.

Аналитическое выражение для распределения заряда по поверхности заряженной вытянутой электропроводной сфероидальной капли, приведено в Приложении 2 в сферических координатах с началом в ее центре:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{{(1-e^2)}^{1/6}\sqrt{1-e^2{\text{cos}}^2\vartheta }}{\sqrt{1+e^2(-2+e^2){\cos }^2\vartheta }}$ (3.3)

Видно, что при $e=0$ получается стандартная для электропроводной сферы плотность заряда.

Для вытянутого сфероида при $\vartheta =0$ получим на вершинах сфероида:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{{(1-e^2)}^{1/6}\sqrt{1-e^2}}{\sqrt{{\left(1-e^2\right)}^2}}=\frac{Q}{4\pi R^2}{(1-e^2)}^{-1/3}$,

что на множитель ${(1-e^2)}^{-1/3}$, больше плотности заряда на сфере, и чем больше эксцентриситет, тем больше поверхностная плотность заряда. То есть при критическом для сферы заряде на капле она сбросит избыточный заряд.

Для вытянутого сфероида при $\vartheta =\pi /2$ получим на экваторе сфероида:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}{(1-e^2)}^{1/6}$

Это на множитель ${(1-e^2)}^{1/6}$ меньше плотности заряда на сфере, и при критическом заряде на сфере вытянутая сфероидальная капля при $\vartheta =\pi /2$ устойчива.

На рис. 1,б приведен график зависимости безразмерной поверхностной плотности собственного электрического заряда $\Xi$ на вытянутой сфероидальной капле несжимаемой электропроводной жидкости:

$\Xi \equiv \frac{4\pi R^2\sigma }{Q}=\frac{{(1-e^2)}^{1/6}\sqrt{1-e^2{\text{cos}}^2\vartheta }}{\sqrt{1+e^2(-2+e^2){\cos }^2\vartheta }}$

от величины ее эксцентриситета $e$ и ее полярного угла $\vartheta$, который отсчитывается от вертикальной оси в сферической системе координат с началом в центре капли. Обезразмеривание поверхностной плотности заряда проведено на плотность поверхностного заряда равновеликой сферической капли.

Видно, что неустойчивость осесимметричных осцилляций вытянутой сфероидальной капли может реализоваться только при значениях эксцентриситета $e\ge 0.7$ и малых значениях полярного угла $\vartheta \to 0$.

В заключение хотелось бы отметить, почему вытянутый и сплюснутый сфероиды рассмотрены по отдельности. Дело в том, что чисто математические определения эксцентриситетов сплюснутого и вытянутого сфероидов, например, в [3], не описываются одной непрерывной функцией. Для сплюснутого сфероида величина его эксцентриситета изменяется в диапазоне от 1 до 0, и эксцентриситет описывается одной функцией, а для вытянутого $–$ величина эксцентриситета меняется от 0 до 1, и описывается другой функцией.

Во всех ситуациях истинный эксцентриситет это корень квадратный из разницы единицы и квадрата отношения меньшей полуоси к большей. При переходе от сплюснутого сфероида к вытянутому меньшая полуось при переходе величины эксцентриситета через ноль становится большей и наоборот.

Вообще-то есть другое определение (см. [25, стр. 47]), данное для эллипса, но подходящее для сфероида эксцентриситет есть отношение межфокусного расстояния к высоте сфероида вдоль оси симметрии. Но поскольку мы исходили из аналитических формул, приведенных в [23], то остановились на изложенном варианте.

Заключение. Исследованы физические закономерности реализации электростатической неустойчивости сильно заряженных капель, имеющих сфероидальные формы, как сплюснутые, так и вытянутые. Выяснилось, что неустойчивость осесимметричных сплюснутых капель имеет место на экваторе капли, не смотря на его протяженность $–$ что и приводит к повышению их электростатической устойчивости при увеличении эксцентрисетета, неустойчивость же осесимметричных вытянутых капель реализуется на вершинах капли, $–$ что и приводит к уменьшению их электростатической устойчивости при увеличении эксцентрисетета.

Приложение 1. Поверхностная плотность $\sigma (\vartheta )$ собственного заряда на электропроводном сплюснутом сфероиде в сферической системе координат с началом в центре сфероида

Примем для определенности, как в [23, стр. 40], что сфероид сплюснут вдоль оси ОZ (чтобы удобнее было ссылаться на формулы).

Поверхностная плотность $\sigma (\vartheta )$ собственного электрического заряда на сплюснутом сфероиде $c<a=b$ с началом в центре капли (в [23, стр. 42]), формула (4.16):

$\sigma =\frac{Q}{4\pi a^{2}c}{\left(\frac{x^2+y^2}{a^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

Подставляя сюда выражения декартовых координат через сферические:

$x=r\sin \vartheta \cos \phi ,y=r\sin \vartheta sin\phi ,z=r\text{co}\mathrm{s}\vartheta$,

получим:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi a^{2}c}{\left(\frac{r{(\vartheta )}^2{\sin }^2\vartheta }{a^4}+\frac{r{(\vartheta )}^2{\cos }^2\vartheta }{c^4}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{Q}{4\pi a^{2}cr(\vartheta )}\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sin }^2\vartheta }{a^4}+\frac{{\cos }^2\vartheta }{c^4}}}$, (П1.1)

$r(\vartheta )$ $–$ выражение для уравнения сплюснутого сфероида, выписанного в сферических координатах с началом в центре капли:

$r(\vartheta )=\frac{R{(1-e^2)}^{1/3}}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\vartheta }}$, (П1.2)

где $R$ $–$ радиус равновеликой сферической капли.

Из (П1.2) меньшая полуось сфероида найдется при $\vartheta =0:$

$c=r{(\vartheta )}_{\vartheta =0}=R{(1-e^2)}^{1/3}$, (П1.3)

а большая при $\vartheta =\pi /2:$

$a=r{(\vartheta )}_{\vartheta =\pi /2}=R{(1-e^2)}^{-1/6}=\frac{R}{{(1-e^2)}^{1/6}}$ (П1.4)

Подставляя (П1.2)$–$(П1.4) в (П1.1) найдем аналитическое выражение для распределения по поверхности сплюснутого электропроводного сфероида поверхностной плотности собственного заряда $Q$:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{{(1-e^2)}^{1/3}\sqrt{1-e^2{\sin }^2\vartheta }}{\sqrt{(-2e^2+e^4){\sin }^2\vartheta +1}}$

Видно, что неустойчивость осесимметричных осцилляций капли может реализоваться только при больших значениях эксцентриситета $e\ge 0.95$ и значениях полярного угла $\vartheta \to \pi /2$.

Приложение 2. Поверхностная плотность $\sigma (\vartheta )$ собственного заряда на поверхности вытянутого электропроводного сфероида в сферической системе координат с началом в центре сфероида

Примем для определенности, как в разд. 4 в [23, стр. 40], что сфероид вытянут вдоль оси ОZ (чтобы удобнее было ссылаться на формулы). Принято, что $c>a=b$.

Поверхностная плотность $\sigma (\vartheta )$ собственного электрического заряда на сфероиде (в [23, стр. 42]), формула (4.16):

$\sigma =\frac{Q}{4\pi a^{2}c}{\left(\frac{x^2+y^2}{a^4}+\frac{z^2}{c^4}\right)}^{-\frac{1}{2}}$

Учитывая, что

$x=r\sin \vartheta \cos \phi ,y=r\sin \vartheta sin\phi ,z=r\text{co}\mathrm{s}\vartheta$

В сферических координатах получим:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi a^{2}c}{\left(\frac{r{(\vartheta )}^2{\sin }^2\vartheta }{a^4}+\frac{r{(\vartheta )}^2{\cos }^2\vartheta }{c^4}\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{Q}{4\pi a^{2}cr(\vartheta )}\frac{1}{\sqrt{\frac{{\sin }^2\vartheta }{a^4}+\frac{{\cos }^2\vartheta }{c^4}}}$, (П2.1)

$r(\vartheta )$ $–$ определяется уравнением вытянутого сфероида с началом системы координат в центре капли

$r(\vartheta )=\frac{R{(1-e^2)}^{1/6}}{\sqrt{1-e^2{\text{cos}}^2\vartheta }},$ (П2.2)

где $R$ $–$ радиус равновеликой сферической капли, а эксцентриситет e выражается через полуоси сфероида как:

$e^2=1-\frac{a^2}{c^2}$, $c=R{(1-e^2)}^{-1/3},a=R{(1-e^2)}^{1/6}$ (П2.3)

Подставляя (П2.2)$–$(П2.3) в (П2.1) получим окончательное аналитическое выражение для поверхностной плотности заряда на вытянутом электропроводном заряженном сфероиде:

$\sigma (\vartheta )=\frac{Q}{4\pi R^2}\frac{{(1-e^2)}^{1/6}\sqrt{1-e^2{\text{cos}}^2\vartheta }}{\sqrt{1+e^2(-2+e^2){\cos }^2\vartheta }}$

Видно, что неустойчивость осесимметричных осцилляций капли может реализоваться только при значениях эксцентриситета $e\ge 0.7$ и малых значениях полярного угла $\vartheta \to 0$.

Работа, выполнена в ИПМех РАН в рамках Государственного задания $№$ госрегистрации 124012500442-3.

About the authors

A. I. Grigoriev

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics of the RAS

Author for correspondence.
Email: grigorai@mail.ru
Russian Federation, Moscow

S. O. Shiryaeva

Yaroslavl State University named after P.G. Demidov

Email: shir@uniyar.ac.ru
Russian Federation, Yaroslavl

References

Supplementary files