Integral Representations of Solution in the Problem on Skew Incidence of a Surface Wave on the Straight Shoreline Water Wedge

Full Text

1. Введение. Существуют различные механизмы возникновения прибрежных волновых процессов. Их достаточно подробный обзор можно найти во введении к недавней работе [1]. В данном контексте особую роль в изучении механизмов возникновения прибрежного волнения играют канонические модельные задачи, которые допускают эффективное исследование и использование для качественного и количественного описания соответствующих волновых процессов.

Одной из таких модельных задач является задача о наклонном падении поверхностной волны, бегущей из бесконечности к прямолинейному берегу водного клина (рис. 1). Такая задача рассматривается в литературе (см. [2] и подробные ссылки в ней). В связи с исследуемой задачей уместно упомянуть результаты Исааксона [3] в случае нормального падения, а также ссылки, которые приведены в [2], где также имеется подробный обзор примыкающих результатов. Задача ставится в линейном приближении поверхностных волн малой амплитуды [4], и соответствующая модель, хотя и не описывает адекватно сложные нелинейные процессы движения жидкости вблизи береговой линии, в целом может быть успешно использована для изучения результата отражения поверхностной гравитационной волны, падающей наклонно на береговую линию водного клина.

 

Рис. 1

 

Однако, постановка и решение данной задачи, предложенное в работе [2], не является, по нашему мнению, вполне физически обоснованным и математически удовлетворительным. Причина этого в следующем. Автор работы [2] строит решение задачи, в постановке которой предполагается его логарифмическая сингулярность на береговой линии водного клина. Тем самым, плотность кинетической энергии волнового движения жидкости не является локально интегрируемой: интеграл по окрестности вершины угла от квадрата градиента потенциала скорости расходится. Это обстоятельство вряд ли оправдано с физической точки зрения. Кроме того, скорость жидкости стремится к бесконечности при приближении к береговой линии. С другой стороны, к решению задачи с логарифмической сингулярностью можно добавить решение, ограниченное на береговой линии, то есть построенное в нашей работе. Получится новое решение о наклонном падении поверхностной волны на береговую линию с логарифмической сингулярностью. Тем самым, возникает вопрос о математической корректности постановки и физической интерпретации решения с сингулярностью. Ограниченное же на ребре решение существует и единственно, что здесь не доказывается, оно устойчиво при малых возмущениях данных задачи и, тем самым, корректно (по Адамару).

В настоящей работе строится решение рассматриваемой классической модельной задачи, предлагая новые интегральные представления для него, в следующей постановке. В трехмерном водном клине с углом раскрыва $\Phi$ $(0<\Phi \le \pi /2)$ в линейном приближении волн малой амплитуды потенциал скорости

$U(x,y,z,t)=\Re \left\{u(x,y)e^{i\kappa z}{e}^{-i\omega t}\right\}$ (1.1)

гармонически зависит от времени ($\omega$ – круговая частота) и удовлетворяет уравнению Лапласа

${\Delta }_{x,y,z}U=0$ (1.2)

в водном клине, рис. 1,а. Далее считаем, что бегущая из бесконечности поверхностная волна описывается потенциалом

$U_{\infty }(x,y,z,t)=\Re \left\{u_{\infty }\right(x,y\left)e^{i\kappa z-i\omega t}\right\}$,

где $u_{\infty }(x,y)=e^{-i{k}_{x}x+\delta y}$, $\delta >0$, $U_{\infty }$ удовлетворяет уравнению Лапласа, что эквивалентно равенству

${\kappa }^2+k_x^2={\delta }^2$

и краевому условию на свободной поверхности $F=\left\{\right(x,y,z){:}^{}x>\mathrm{0,}y=\mathrm{0,}|z|<\infty \}$.

${\left.\frac{\partial U}{\partial y}+g^{-1}\frac{{\partial }^{2}U}{\partial t^2}\right|}_F=0$, (1.3)

g – ускорение свободного падения. Отсюда находим подстановкой $U_{\infty }$ в (1.3) $\delta =\gamma$, где $\gamma :={\omega }^2\text{}/\text{}g>0$. Условие на дне имеет вид

${\left.\frac{\partial U}{\partial n}\right|}_B=\mathrm{0,}$ (1.4)

n – нормаль к B. Мы предположили периодическую зависимость от переменной z в выражении (1.1). Считая k и y заданными, находим

$k_x=\sqrt{{\gamma }^2-{\kappa }^2}>0$,

где $0<{\kappa }^2\le {\gamma }^2$.

Для физического анализа решения удобно ввести «угол скольжения» a набегающей волны в соответствии с равенством

${\left(\frac{\kappa }{{\gamma }^{}}\right)}^2+{\left(\frac{k_x}{{\gamma }^{}}\right)}^2=1$ или ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$,

где $\cos \alpha =\kappa \text{}/\text{}\gamma$. Выбирая указанные зависимости от времени и координаты z вдоль береговой линии, сведем задачу к вычислению u в выражении (1.1), т. е. рассмотрим двумерную задачу в угле (рис. 1,б). Точная постановка задачи для u будет изложена в следующем разделе. Кроме (1.1)–(1.3) потребуем ограниченность u для всех z при $(x,y)\to 0$, а также на бесконечности. Заметим, что при указанном выборе параметров k, y, $k_x$ выражение $u_{\infty }$ представляет собой поверхностную волну $u_{\infty }$, бегущую к берегу, как показано на рис. 1,а, которая экспоненциально убывает с глубиной,

$u_{\infty }(x,y)=e^{-i\sqrt{{\gamma }^2-{\kappa }^2}x+\gamma y}$ (1.5)

В следующем разделе ставится задача в классических терминах и устанавливается связь ее с полуограниченным самосопряженным оператором, спектр которого описан в литературе. По существу, построение решения задачи эквивалентно построению собственной функции такого оператора для отрицательной части непрерывного (точнее, существенного) спектра. В этой задаче существует и дискретный спектр, который конечен. Собственные функции дискретного спектра, которые были получены Урселом в элементарной форме, изучались в ряде работ (см. [5, 6]).

В разд. 3 с помощью интегрального представления решения интегралом Зоммерфельда задача сводится к построению решения некоторого функционального уравнения Малюжинца в классе мероморфных функций. Обсуждается поведение решения на больших расстояниях от берега. Старшие слагаемые в асимптотике являются суммой поверхностной падающей и отраженной волн. В окрестности береговой линии решение остается ограниченным. Это является физически и математически обоснованным поведением в отличие от результата работы Эренмарка [2], в которой решение имеет логарифмическую особенность на береговой линии.

В разд. 4 обсуждается альтернативное представление для решения в виде интеграла Ватсона–Бесселя [8]. В отличие от собственных функций дискретного спектра, для которых могут быть использованы интегральные представления Конторовича–Лебедева [9], так как соответствующие подынтегральные выражения быстро убывают, для обобщенных собственных функций существенного спектра представления Конторовича – Лебедева должны быть заменены на интегралы Ватсона–Бесселя. Неизвестная подынтегральная функция удовлетворяет функционально-разностному уравнению второго порядка, которое, как показано далее, эквивалентно функциональному уравнению Малюжинца из предыдущего раздела.

2. Постановка задачи. Для того, чтобы найти потенциал (1.1) в нашей задаче, необходимо найти решение $u(x,y)$ и, значит, сформулировать задачу для $u=u(x,y)$ в угле (рис. 1,б). Остановимся на классической постановке.

Прямой подстановкой в уравнение Лапласа (1.2) находим, что ($0<{\kappa }^2\le {\gamma }^2$)

$-\Delta u=-{\kappa }^{2}u$ в $W$, (2.1)

$E=-{\kappa }^2$ спектральный параметр, из условия (1.3) на свободной поверхности имеем краевое условие Робена–Стеклова

${\left.\left(\frac{\partial u}{\partial y}-\gamma u\right)\right|}_F=0;\gamma ={\omega }^2\text{}/\text{}g$ (2.2)

и, аналогично, на дне B

${\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|}_B=0$ (2.3)

Решение должно удовлетворять условию Мейкснера вблизи угловой точки, (см. разд. 2.2 в книге [10], где подробно обсуждается условие Мейкснера)

$u=C+O\left(r^{{\delta }_1}\right)$; ${\delta }_1>0$, (2.4)

C – константа. Здесь и в дальнейшем будут использоваться полярные координаты $(r,\phi )$: $x=r\cos (\phi -\Phi )$, $y=r\sin (\phi -\Phi )$, связанные с линией B, $\phi =0$, $r>0$, $\Phi <\pi \text{}/\text{}2$ (рис. 1,в).

Обратимся к условию на бесконечности, $r\to \infty$. Асимптотика решения имеет вид

$u(x,y)=e^{-i\sqrt{{\gamma }^2-{\kappa }^2}x+\gamma y}+u_{*}(x,y)$, (2.5)

где $u_{*}(x,y)$ определяется отраженной волной $u_r$, которая ограничена при $r\to \infty$ (а, значит, везде) и локализована в окрестности свободной поверхности F, см. [6]. Далее будут уточнены оценки $u_{*}$ при $r\to \infty$.

Нетривиальность решения задачи (2.1)–(2.5) определяется заданием $u_{\infty }(x,y;\kappa )=e^{-i{k}_x+\gamma y}$, $k_x=\sqrt{{\gamma }^2-{\kappa }^2}$ в асимптотике (2.5) и свойствами спектра оператора, отвечающего задаче, что обсуждается ниже. Решение u дважды непрерывно дифференцируемо в W и имеет непрерывные производные на границе F и B.

С задачей (2.1)–(2.5) связан полуограниченный самосопряженный оператор $A_{\gamma }=A_{\gamma }^{*}$, который определяется полуторалинейной полуограниченной формой $a_{\gamma }$,

$a_{\gamma }[u,u]=\underset{W}{\overset{}{\int }}|\nabla u{|}^{2}dxdy-\gamma \underset{\partial W}{\overset{}{\int }}|u{|}^{2}ds$; $u\in H^1\left(W\right)$

Эта форма замыкаема и однозначно порождает полуограниченный самосопряженный оператор $A_{\gamma }$ (см. [7] и ссылки в ней). Спектр этого оператора $\sigma \left(A_{\gamma }\right)$ состоит из конечного числа $N_{\Phi }$ собственных чисел, расположенных левее $-{\gamma }^2$, $E_m=-{\kappa }_m^2=-\frac{{\gamma }^2}{{\sin }^2\left(\Phi \right[2m-1\left]\right)}$; $m=\mathrm{1,2,...,}{N}_{\varphi }$, и существенного спектра ${\sigma }_e\left(A_{\gamma }\right)=[-{\gamma }^2,\infty )$. Собственные функции находятся в элементарной форме (волны Урсела, см., напр., [5]). В настоящей работе фактически строятся интегральные представления для обобщенных собственных функций непрерывного (существенного) спектра для отрезка спектра $-{\gamma }^2\le -{\kappa }^2<0$, $E=-{\kappa }^2$. В соответствии с их асимптотикой при $r\to \infty$ эти решения связываются с рассеянием поверхностной волны, бегущей наклонно к береговой линии и отражающейся от нее в виде уходящей поверхностной волны. Вычисляется соответствующий коэффициент отражения.

3. Интегральное представление Зоммерфельда и функциональные уравнения Малюжинца. Решение задачи (2.1)–(2.5) ищется в виде интеграла Зоммерфельда

$u(r,\phi ;\kappa )=\frac{1}{2\pi i}\underset{\Gamma }{\int }{e}^{\kappa r\cos z}f(z+\phi )dz$, (3.1)

где контур $\Gamma$ состоит из двух петель ${\Gamma }_{+}$ и ${\Gamma }_{-}$ и показан на рис. 2.

Неизвестная пока функция f (в интеграле Зоммерфельда ее называют еще трансформантой Зоммерфельда) принадлежит классу M мероморфных функций, т. е. таких, что

• f голоморфна в полосе $\Pi \left(-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi \right)=\left\{z\in ℂ:\underset{}{}\left|\Re z\right|<\frac{\pi }{2}+\Phi \right\}$,
• f не имеет особенностей вне полосы $\left|\Im z\right|<b_{*}$ для некоторого $b_{*}>0$,
• $f(\pm i\infty )$ существуют и $f(i\infty )=-f(-i\infty )$, справедлива оценка

$\left|f\left(z\right)-f(\pm i\infty )\right|<C{e}^{-\delta \left|\Im z\right|}$, $\delta >0$, $z\in \Pi \left(-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi \right)$, $z\to \pm i\infty$,

f имеет полюсы в $z=\pm z_0$, $z_0=\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0$, ${\tau }_0=\mathrm{arcch}({\omega }^2\text{}/\text{}g\kappa )$, $\mathrm{ch}\left({\tau }_0\right)=\gamma \text{}/\text{}\kappa >1$, т. е. $f\left(z\right)-\frac{\beta \text{}/\text{}2}{z\mp z_0}$ голоморфны в проколотой окрестности точек $z=\pm z_0$ и не имеет других особенностей на границе полосы. Постоянная $\beta$ будет выбрана далее.

Последние два условия нуждаются в комментариях. Ограниченность f на $\pm i\infty$ и соответствующая оценка эквивалентны условию Мейкснера (2.4), а наличие полюсов f в точках $z=\pm z_0$ с заданными вычетами связано с необходимостью присутствия в асимптотике (2.5) (при $r\to \infty$) падающей поверхностной волны $u_{\infty }$. Как будет видно далее, при вычислении асимптотики интеграла (3.1) по методу перевала приходится деформировать контур $\Gamma$ в перевальные $\Gamma \to {\Gamma }_{+\pi }\cup {\Gamma }_{-\pi }$, пересекая полюсы трансформанты Зоммерфельда f. В частности, $z+\phi =\pm z_0$ дают вклад в асимптотику и определяют бегущую наклонно к берегу падающую волну под углом скольжения $\alpha$. Вычеты f в этих полюсах пропорциональны неизвестной постоянной $\beta$, которая находится из условия того, что вклад этих вычетов должен совпасть с единичной амплитудой падающей волны.

Если $f\in M$, то интеграл Зоммерфельда быстро и равномерно по $(r,\phi )$ сходится, и прямой подстановкой проверяется, что он удовлетворяет уравнению (2.1), см. также [10]. Краевое условие (2.3) на дне выполнено, если

$f\left(z\right)+f(-z)=0$,

т. е. f нечетна. Действительно, пользуясь симметрией контура $\Gamma$ интеграл (3.1) записывается в виде

$u(r,\phi ;\kappa )=\frac{1}{2\pi i}\underset{\Gamma }{\int }d{z}_{}{e}^{\kappa r\cos z}\frac{1}{2}\left\{f(z+\phi )-f(-z+\phi )\right\}dz$,

или, учитывая, что $f\left(z\right)=-f(-z)$, имеем

$u(r,\phi ;\kappa )=\frac{1}{2\pi i}\underset{\Gamma }{\int }d{z}_{}{e}^{\kappa r\cos z}\frac{1}{2}\left\{f(z+\phi )+f(z-\phi )\right\}dz$ (3.2)

Из представления (3.2) и дифференцирования под знаком интеграла следует краевое условие (2.3), $\phi =0$.

Обратимся к краевому условию (2.2) на свободной поверхности, $\phi =\Phi$. Прямая подстановка интеграла (3.1) в краевое условие и интегрирование по частям приводит к соотношению

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\Gamma }{\int }dz\frac{e^{\kappa r\cos z}}{\kappa r}\left(f^{\text{'}}(z+\phi )-\frac{\gamma }{\kappa }\kappa r_{}f(z+\phi )\right)=$

$=\frac{1}{2\pi i}\underset{\Gamma }{\int }dz{e}^{\kappa r\cos z}\left(\sin z{}^{}f(z+\phi )-\frac{\gamma }{\kappa }f(z+\phi )\right)=0$

Используем теорему Малюжинца об обращении интеграла Зоммерфельда в ноль для $f\in M$ (см. [11, § 3.4], получим функциональное уравнение (Малюжинца)

$\left(\sin z-\frac{\gamma }{\kappa }\right)f(z+\Phi )-\left(-\sin z-\frac{\gamma }{\kappa }\right)f(-z+\Phi )=0$ (3.3)

Тем самым, можно утверждать, что справедлива

Лемма 1. Если нечетная мероморфная функция $f\in M$ является решением функционального уравнения (3.3), то интеграл Зоммерфельда (3.1) (или (3.2)) удовлетворяет уравнению (2.1) и краевым условиям (2.2), (2.3) в классическом смысле.

Как следует из этого утверждения, ключевым обстоятельством построения решения является вычисление решения f уравнения (3.3), такого, что $f\in M$ и является нечетным. Именно этому посвящена оставшаяся часть данного раздела, а также обсуждению условий (2.4), (2.5).

Обратимся к построению подходящего решения f функционального уравнения (3.3). Представим искомую трансформанту в виде

$f\left(z\right)=F\left(z\right)+{\psi }_i\left(z\right),F\left(z\right)=f_0\left(z\right)S\left(z\right),$ (3.4)

где

${\psi }_i\left(z\right)=\frac{\beta }{2}\left\{\frac{1}{\sin \frac{z+z_0}{2}}+\frac{1}{\sin \frac{z-z_0}{2}}\right\}$

имеет полюсы в двух точках $z=\pm z_0$. Напомним, что вклад этих полюсов в асимптотику при вычислении ее из интеграла Зоммерфельда обеспечит присутствие выражения падающей поверхностной волны в асимптотике. Неизвестная функция $F\left(z\right)$ в (3.4) представлена произведением двух мероморфных вспомогательных функций $f_0\left(z\right)$ и $S\left(z\right)$. Их роль в построении решения уравнения (3.3) описывается следующей леммой.

Лемма 2. Пусть $f_0\left(z\right)$ является четным мероморфным решением уравнения

$\left(\sin z-\sin \theta \right)f_0(z+\Phi )-\left(-\sin z-\sin \theta \right)f_0(-z+\Phi )=0$, (3.5)

где $\sin \theta =\frac{\gamma }{\kappa }$, $\theta =\frac{\pi }{2}+i\tau {}_0$, $\mathrm{ch}{\tau }_0=\frac{\gamma }{\kappa }>1$. Кроме того, $f_0$ не имеет полюсов внутри полосы $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$ и $f_0\left(z\right)=O\left(\cos \frac{\pi z}{2\Phi }\right)$ при $z\to \pm i\infty$ в этой полосе. Предположим также, что $S\left(z\right)$ это нечетное мероморфное решение уравнения

$S(z+\Phi )-S(-z+\Phi )=(-1)\left\{\frac{{\psi }_i(z+\Phi )}{f_0(z+\Phi )}-\frac{{\psi }_i(-z+\Phi )}{f_0(-z+\Phi )}\right\}$, (3.6)

причем, $F\left(z\right)=f_0\left(z\right)S\left(z\right)=O\left(1\right)$ при $z\to \pm i\infty$ в $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$, $S(\cdot )$ голоморфна в этой полосе. Тогда искомая трансформанта $f\in M$ задается выражениями (3.4) и обеспечивает требуемые свойства интеграла Зоммерфельда (3.2) как решения задачи (2.1)–(2.5).

Отметим, что $f_0$ не принадлежит классу M мероморфных функций, тогда как f после ее построения будет принадлежать. Проверка этого утверждения проводится прямой подстановкой выражения (3.4) в уравнение (3.3) и использованием уравнений (3.5) и (3.6). Напомним, что $f_0(z+\Phi )=-\frac{\sin z+\sin \theta }{\sin z-\sin \theta }{f}_0(z-\Phi )$.

Лемма 3. Существует четное мероморфное решение $f_0$ уравнения (3.5), которое голоморфно в полосе $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$ и в этой полосе задается выражением

$f_0\left(z\right)=\exp \left\{\frac{1}{4\pi i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\zeta \log {\left(\frac{\cos \frac{\pi z}{\Phi }+\cos \frac{\pi \varsigma }{\Phi }}{1+\cos \frac{\pi \varsigma }{\Phi }}\right)}_{}{W}_0\left(\zeta \right)\right\}$,

где

$W_0\left(\zeta \right)=\frac{d}{d\zeta }\log \left(-R(\zeta ,\theta )\right)=W_0(-\zeta )$, $W_0\left(\zeta \right)=O\left(\frac{1}{\cos \zeta }\right)$,  $\zeta \to \pm i\infty$ $R(\zeta ,\theta )=\frac{\sin \zeta +\sin \theta }{\sin \zeta -\sin \theta }$

Ветвь $\log (-R(z,\theta \left)\right)$ выделена условием $\log (-R(z,\theta \left)\right)$ ${|}_{z=i\infty }=-i\pi$, а разрезы проведены из точек $\frac{\pi }{2}+i{\tau }_0$, $\frac{\pi }{2}-i{\tau }_0$, $-\frac{\pi }{2}+i{\tau }_0$, $-\frac{\pi }{2}-i{\tau }_0$ на $+\infty$ или $-\infty$ параллельно вещественной оси, не пересекая полосу $\Pi \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$, из каждой точки. Мероморфное продолжение $f_0$ из полосы голоморфности проводится с помощью уравнения (3.5).

Проведем вычисление, приводящее к утверждению Леммы 3. Из уравнения (3.5) для логарифмической производной $f_0$,

${\chi }_0\left(z\right)=\frac{d}{dz}\log f_0\left(z\right)$, $z\in \Pi \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$,

получаем уравнение

${\chi }_0(z+\Phi )-{\chi }_0(z-\Phi )=W_0\left(z\right)$, (3.7)

причем ${\chi }_0\left(z\right)=-{\chi }_0(-z)$. Воспользуемся преобразованием Фурье по мнимой оси

${\chi }_0\left(z\right)=-\frac{v.p.}{2\pi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-izt}W\left(t\right)dt$, $W\left(t\right)=\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{it\zeta }{\chi }_0\left(\zeta \right)d\zeta$

Аналогично имеем

$W_0\left(z\right)=-\frac{v.p.}{2\pi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-izt}{r}_0\left(t\right)dt$, $r_0\left(t\right)=\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{it\zeta }{W}_0\left(\zeta \right)d\zeta$

Из уравнения (3.7) следует

$-\frac{1}{2\pi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e^{-izt}}_{}W\left(t\right)(-2i)\frac{\left[e^{-i\Phi t}-e^{i\Phi t}\right]}{(-2i)}dt=-\frac{1}{2\pi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-izt}{r}_0\left(t\right)dt$,

откуда получаем

$W\left(t\right)=\frac{i{r}_0\left(t\right)}{2\sin \left(\Phi t\right)}$,

${\chi }_0\left(z\right)$ восстанавливается обратным преобразованием, $\left|\Re z\right|<\Phi$,

${\chi }_0\left(z\right)=-\frac{v.p.}{2\pi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-izt}\frac{i{r}_0\left(t\right)}{2\sin \left(\Phi t\right)}dt=-\frac{i}{4\pi }v.p.\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}dt\frac{e^{-izt}}{\sin \left(\Phi t\right)}\left(\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{it\tau }{W}_0\left(\tau \right)d\tau \right)=$

$=\left(-\frac{i}{4\pi }\right)\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\left\{v.p.\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}dt\frac{e^{it(\tau -z)}}{\sin \left(\Phi t\right)}\right\}=\frac{1}{4\pi i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\left(\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}\frac{i\sin \left(t\right(\tau -z\left)\right)}{\sin \left(\Phi t\right)}dt\right)=$,

$=\frac{1}{4\Phi i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2\Phi }[z-\tau ]\right)=\frac{1}{4\Phi i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\frac{1}{2}\left\{\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2\Phi }[z-\tau ]\right)+\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2\Phi }[z+\tau ]\right)\right\}$

где переставлен порядок интегрирований и использована формула 3.981 из [12]. Дополнительным интегрированием восстановим вспомогательное решение $f_0,$

$f_0\left(z\right)=\exp \left\{\underset{0}{\overset{z}{\int }}{\chi }_0\left(\zeta \right)d\zeta \right\}=\exp \left\{\underset{0}{\overset{z}{\int }}d\zeta \left[\frac{-i}{4\Phi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\frac{\sin \left(\frac{\pi }{\Phi }\zeta \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{\Phi }\tau \right)+\cos \left(\frac{\pi }{\Phi }\zeta \right)}\right]\right\}=$

$=\exp \left\{\frac{1}{4\pi i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau W_0\left(\tau \right)\log \left(\frac{1+\cos \left(\frac{\pi }{\Phi }\tau \right)}{\cos \left(\frac{\pi }{\Phi }z\right)+\cos \left(\frac{\pi }{\Phi }\tau \right)}\right)\right\}$; $\left|\Re z\right|<\frac{\pi }{2}+\Phi$,

где ${\left.\log (\dots )\right|}_{z=0}=0$.

Пояснения требует голоморфность функции $f_0(\cdot )$ в полосе $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$, тогда как голоморфность при $\left|\Re z\right|<\Phi$ очевидна (знаменатель $\cos \frac{\pi }{\Phi }z+\cos \frac{\pi }{\Phi }\tau$ не обращается в ноль в этой полосе, если $\tau \in iℝ$). Оказывается, что можно продеформировать контур интегрирования $iℝ$ в последнем интеграле вправо $iℝ\to iℝ+h$, $0<h<\frac{\pi }{2}$, так как $W_0(\cdot )$ голоморфна в полосе $\Pi (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$. Тогда $f_0(\cdot )$ голоморфна в полосе $\Pi (\mathrm{0,}\Phi +h)$ и по четности в полосе $\Pi (-h-\Phi ,\Phi +h)$, $0<h<\frac{\pi }{2}$. Используя принцип аналитического продолжения, получаем голоморфность в полосе $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$.

Совершенно аналогично строится частное решение уравнения (3.6), (см. [10, §7.3.2])

$\begin{array}{l}S\left(z\right)=\frac{i}{8\Phi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau \chi \left(\tau \right)\frac{\sin \frac{\pi }{2\Phi }\tau }{\cos \frac{\pi }{2\Phi }\tau -\sin \frac{\pi }{2\Phi }z}-\frac{i}{8\Phi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau \chi \left(\tau \right)\frac{\sin \frac{\pi }{2\Phi }\tau }{\cos \frac{\pi }{2\Phi }\tau +\sin \frac{\pi }{2\Phi }z}=\\ =\frac{i}{2\Phi }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\tau \chi \left(\tau \right)\frac{\sin \frac{\pi }{2\Phi }\tau \sin \frac{\pi }{2\Phi }z}{\cos \frac{\pi }{\Phi }\tau +\cos \frac{\pi }{\Phi }z},\end{array}$

где

$\chi \left(z\right)=-\left\{\frac{{\psi }_i(z+\Phi )}{f_0(z+\Phi )}-\frac{{\psi }_i(-z+\Phi )}{f_0(-z+\Phi )}\right\}$ и $\left|\Re z\right|<\frac{\pi }{2}+\Phi$

Мероморфное продолжение S на комплексную плоскость осуществляется с помощью функционального уравнения (3.6). Отметим, что $S\left(z\right)=-S(-z)$ и $S\left(z\right)=O\left(\frac{1}{\sin \frac{\pi }{2\Phi }z}\right)$ при $z\to \pm i\infty$ в полосе $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$. Вместе с асимптотикой для $f_0\left(z\right)$ при $z\to \pm i\infty$ последняя оценка означает, что

$f\left(z\right)=f(\pm i\infty )+O\left(e^{\pm i\delta z}\right)$; $z\to \pm i\infty$, $\delta >0$,

что эквивалентно условиям Мейкснера (2.4).

Остается убедиться в справедливости условия на бесконечности (2.5) и конкретизировать выражение $u_{*}$. Для этого обратимся к вычислению асимптотики интеграла Зоммерфельда (3.1). Асимптотика $u(r,\phi ;\kappa )$ при $r\to \infty$ вычисляется применением метода перевала к интегралу Зоммерфельда (3.2). Точки перевала $z=\pm \pi$ удовлетворяют уравнению $(\cos z{)}^{\text{'}}=0$, а перевальные контуры совпадают с ${\Gamma }_{+\pi }$ и ${\Gamma }_{-\pi }$ на рис. 2. При деформации $\Gamma$ в перевальные контуры ${\Gamma }_{\pm \pi }$ захватываются полюсы $f(z+\phi )$ мероморфной трансформанты Зоммерфельда. Как установлено при построении $f(\cdot )$, трансформанта не имеет полюсов внутри полосы $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$. Ближайшие к мнимой оси полюсы расположены на границе полосы и дают основной вклад в асимптотику, тогда как остальные полюсы вносят экспоненциально малый вклад при $r\to \infty$, а вклад точек перевала имеет порядок $O\left(\frac{e^{-\kappa r}}{\sqrt{r}}\right)$. Тем самым, для вычисления ограниченного старшего члена асимптотики необходимо найти все полюсы на границе полосы $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$. Два симметричных относительно начала полюса определяют заданную падающую волну в (3.1),

$z+\phi =z_0$, $z+\phi =-z_0$; $z_0=\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0$

и, тем самым, постоянную $\beta$ в выражении (3.4) для f. При деформации $\Gamma$ в перевальные эти полюсы пересекаются и дают вклад в асимптотику по теореме о вычетах. С изменением $\phi \in \left[\mathrm{0,}\Phi \right]$ эти полюсы мигрируют, и их вклад ограничен лишь для $\phi =\Phi$. Для остальных направлений он экспоненциально мал, $r\to \infty$. Оказывается, что помимо этих полюсов, отвечающих падающей поверхностной волне, существуют два полюса, которые также дают ограниченный вклад в асимптотику при $\phi =\Phi$. Найдем эти полюсы и вычеты в них. Для этого рассмотрим функциональное уравнение (3.3), записанное в виде ($\theta =\frac{\pi }{2}+i{\tau }_0$)

$f\left(\zeta \right)=\frac{\sin (\zeta -\Phi )+\sin \theta }{\sin (\zeta -\Phi )-\sin \theta }f(\zeta -2\Phi )$

 

Рис. 2

 

Из-за нечетности $f(\cdot )$ достаточно рассмотреть $\Re z>0$. Если $\zeta$ принадлежит малой окрестности $\Re z=\frac{\pi }{2}+\Phi$, то $\zeta -2\Phi$ находится в области голоморфности $f(\cdot )$. Поэтому все особенности правой части (полюсы) определяются решениями уравнения $\sin (\zeta -\Phi )-\sin \theta =0$, которые лежат в малой окрестности $\Re z=\frac{\pi }{2}+\Phi$. Это полюс $\zeta =\pi -\theta +\Phi =\frac{\pi }{2}+\Phi -i{\tau }_0$. Симметричный полюс находится в $\zeta =-(\frac{\pi }{2}+\Phi -i{\tau }_0)$. Соответствующий вычет $f(\cdot )$ имеет вид

$\underset{z=\zeta }{\mathrm{res}}f\left(z\right)=2\mathrm{tg}\theta f(\frac{\pi }{2}-\Phi -i{\tau }_0)$, $\zeta =\frac{\pi }{2}+\Phi -i{\tau }_0$

Вычет f в полюсах $\zeta =\pm (\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0)$, отвечающих падающей волне, пропорционален постоянной $\beta$. Вклад этих полюсов в асимптотику определяется величиной $4\mathrm{tg}\theta f(\pi \text{}/\text{}2-\Phi +i{\tau }_0)$, которую надо приравнять единице, т. е. амплитуде падающей волны, $\exp \left(\kappa r\cos (\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0-\phi )\right)=u_{\infty }$. Это определяет постоянную $\beta$.

Учитывая сказанное выше, приходим к асимптотике при $r\to \infty$

$\begin{array}{c}u(r,\phi )=\exp \left(\kappa r\cos (\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0-\phi )\right)+R\exp \left(\kappa r\cos (\frac{\pi }{2}+\Phi -i{\tau }_0-\phi )\right)+\delta u\\ R=4\mathrm{tg}\theta f(\frac{\pi }{2}-\Phi -i{\tau }_0),\end{array}$ (3.8)

где $\delta u$ экспоненциально мало равномерно по $\phi$ при $\phi \in \left[\mathrm{0,}\Phi \right]$ по сравнению с первыми двумя слагаемыми. Второе слагаемое – это отраженная поверхностная волна с коэффициентом отражения R. Первое слагаемое в (3.8) падающая поверхностная волна

$u_{\infty }=\exp \left(\kappa r\cos \left(\frac{\pi }{2}+\Phi +i{\tau }_0-\phi \right)\right)=\exp \left(-i{k}_{x}x+\gamma y\right)$; $k_x=\sqrt{{\gamma }^2-{\kappa }^2}$,

а второе слагаемое

$u_r=R\exp \left(\kappa r\cos \left(\frac{\pi }{2}+\Phi -i{\tau }_0-\phi \right)\right)=R\exp \left(i{k}_{x}x+\gamma y\right)$

– отраженная от берега поверхностная волна. Отметим, что бегущая к берегу поверхностная волна отражается от него по закону геометрической оптики: угол падения равен углу отражения. Поправочный член $\delta u$ имеет порядок $O\left(\exp \left(-\kappa r\right)\text{}/\text{}\sqrt{r}\right)$, если не захватываются другие полюсы, лежащие в полосах $\frac{\pi }{2}<\left|\Re (z+\phi )\right|<\pi$. В противном случае поправочный член $\delta u$ имеет порядок $O\left(\exp \left(-hr\right)\right)$, где h – это модуль вещественной части полюса, лежащего в полосах $\frac{\pi }{2}<\left|\Re (z+\phi )\right|<\pi$, ближайшего к мнимой оси.

Основной результат данного раздела сформулируем в виде следующего Предложения.

Предложение 1. Существует классическое решение задачи (2.1)–(2.5), представимое интегралом Зоммерфельда (3.1) и имеющее в старшем порядке по $r\to \infty$ асимптотику $u_{\infty }+u_r$ в виде суммы падающей и отраженной волн.

Авторы статьи убеждены, что решение единственно, хотя доказательство этого факта требует отдельного обсуждения.

4. Интегральное представление Ватсона–Бесселя и функционально-разностное уравнение второго порядка. Связь с интегралом Зоммерфельда. В этом разделе рассматривается альтернативное представление для решения задачи (2.1)–(2.5), а именно представление Ватсона–Бесселя (ВБ), и проясняется его связь с интегралом Зоммерфельда (3.1). Представление ВБ является естественной заменой интегральному представлению Конторовича–Лебедева (КЛ), которое было успешно использовано при построении собственных функций дискретного спектра [8]. Однако, в нашем случае построение решения для существенного (непрерывного) спектра ($-{\gamma }^2\le E=-{\kappa }^2<0$) представление КЛ не подходит ввиду проблем со сходимостью интеграла КЛ и возможностью подставлять это представление в краевое условие на F. Этого недостатка лишено представление ВБ. С этой проблемой сталкивается и автор работы [2] при проверке условия на свободной поверхности ([2, Appendix D]), причем, его мотивировка не выглядит достаточно прозрачной и убедительной.

Второе обстоятельство, которое стоит здесь прокомментировать, состоит в том, что как представление ВБ, так и представление КЛ не приспособлены для вычисления асимптотики при $r\to \infty$. Однако, эта задача решена с помощью интеграла Зоммерфельда в предыдущем разделе. Отметим, что представление ВБ для решения позволяет построить асимптотическое разложение при $r\to 0$ довольно просто и эффективно, хотя этот анализ здесь опускается.

Представление ВБ имеет вид

$u(r,\phi )=iv.p.\underset{C_0^b}{\int }{e}^{-i\pi \nu /2}{J}_{\nu }\left(i\kappa r\right)\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \phi \right)}H\left(\nu \right)d\nu$, (4.1)

где $H(\cdot )$ неизвестная мероморфная функция, принадлежащая специальному классу H, описанному ниже, и такая, что интеграл ВБ в (4.1) быстро сходится на контуре $C_0^b$, рис. 3. Представление (4.1) удовлетворяет уравнению (2.1) и краевому условию (2.3), если, в частности, неизвестная функция H принадлежит классу H, который задается условиями

1. H мероморфная четная функция, $H\left(\nu \right)=H(-\nu )$.
2. H голоморфна в ${\Pi }_{\delta }=\left\{\nu \in ℂ{:}_{}-\delta <\Re \nu <\delta \right\}$ для некоторого $\delta >0$.
3. Все полюсы H находятся внутри полосы $\left|\Im \nu \right|<b$ для некоторого $b>0$.
4. $\left|H\left(\nu \right)\right|<\mathrm{Constexp}\left(-\left|\nu \right|\sin \left|\psi \right|\frac{\pi }{2}\right)$, $\left|\nu \right|\to \infty$, $\pm \psi \in \left[\mathrm{0,}\pi /2\right]$ при $\nu =\left|\nu \right|\exp \left(i\psi \right)$ вне полосы $\left|\Im \nu \right|<b$.
5. $H(\nu +1)$ голоморфна в полосе $\Pi (-\mathrm{1,0})$, $H(\nu -1)$ голоморфна в полосе $\Pi \left(\mathrm{0,1}\right)$.

Прямой подстановкой интеграла (4.1) в уравнение (2.1) и краевое условие (2.4) можно убедиться в их выполнении. Учтем, что

$\left\{\frac{d^2}{d{z}^2}+\frac{1}{z}\frac{d}{dz}-\left(1+\frac{{\nu }^2}{z^2}\right)\right\}{J}_{\nu }\left(iz\right)=0$ и $\left(\frac{d^2}{d{\phi }^2}+{\nu }^2\right)\cos \left(\nu \phi \right)=0$

 

Рис. 3

 

Возможность подстановки и дифференцирования под знаком интеграла обеспечивается быстрой сходимостью интеграла ввиду оценки на $C_{\psi }^b$ и $\left|\nu \right|\gg \mathrm{1,}$ $\psi \in \left[\mathrm{0,}\pi \text{}/\text{}2\right]$,

$\left|e^{-i\pi \nu /2}{J}_{\nu }\left(i\kappa \tau \right)\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \phi \right)}H\left(\nu \right)\right|\le \frac{C}{\sqrt{\left|\nu \right|}}\left|e^{-i\pi \nu /2}\frac{\exp \left\{-\nu (\log \nu -1)+\nu \log \frac{i\kappa r}{2}\right\}}{\exp \left\{\frac{\pi \nu }{2}\sin \left|\psi \right|\right\}}\right|\le$

$\le \frac{C}{\sqrt{\left|\nu \right|}}\exp \left\{-\left|\nu \right|\left(\left[\log \left|\nu \right|-1\right]-\log \frac{\kappa r}{2}\right)\cos \psi +\left|\nu \right|\left[\psi \sin \left|\psi \right|-\frac{\pi }{2}\sin \left|\psi \right|\right]\right\},$

где использованы асимптотики $J_{\nu }\left(z\right)~{\left(z\text{}/\text{}2\right)}^{\nu }\text{}/\text{}\Gamma (\nu +1)$, $\nu \to \infty$, $\nu \in C_{\psi }^b$, а также формулу Стирлинга для гамма-функции.

Подстановка интеграла ВБ в краевое условие (2.2) позволяет получить функционально разностные уравнения второго порядка для H, которое ему эквивалентно (см. [9, 13]). Однако, здесь используется немного иной путь. Устанавливается связь между интегралом ВБ в (4.1) и представлением Зоммерфельда (3.1), а затем проверяется “равносильность” функционального уравнения Малюжинца (3.3) и функционально разностного уравнения для его решения H как результат установленной связи.

Стоит прокомментировать сходимость при $\nu =0$ в смысле главного значения в (4.1). Интеграл в (4.1) может быть представлен суммой интегралов по отрезку $[-ib,ib]$ мнимой оси и по $C_0^b\text{}\backslash [-ib,ib]$ (см. рис. 3). Воспользуемся симметрией отрезка интегрирования $[-ib,ib]$ относительно начала координат и преобразуем интеграл по нему с целью его регуляризации при $\nu =0$,

$iv.p.\underset{-ib}{\overset{ib}{\int }}\frac{e^{-i\pi \nu /2}{J}_{\nu }\left(i\kappa r\right)+e^{-i\pi \nu /2}{J}_{\nu }\left(i\kappa r\right)}{2}\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \phi \right)}H\left(\nu \right)d\nu =$

$=\frac{i}{\pi }v.p.\underset{-ib}{\overset{ib}{\int }}\frac{\pi \left(e^{-i\pi \nu /2}{J}_{\nu }\left(i\kappa r\right)-e^{i\pi \nu /2}{J}_{-\nu }\left(i\kappa r\right)\right)}{2\sin \left(\pi \nu \right)}\frac{\sin \left(\pi \nu \right)}{\sin \left(\Phi \nu \right)}\cos \left(\nu \phi \right)H\left(\nu \right)d\nu =$

$=\frac{i}{\pi }\underset{-ib}{\overset{ib}{\int }}{K}_{\nu }\left(\kappa r\right)\frac{\sin \left(\pi \nu \right)\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \Phi \right)}H\left(\nu \right)d\nu$,

где для функции Макдональда $K_{\nu }\left(z\right)$ использована формула 8.485 [12]. В последнем интеграле очевидно, что $\nu =0$ является устранимой особенностью, и интеграл (4.1) допускает регуляризацию при $\nu =0$.

Обратимся теперь к связи интеграла ВБ в (4.1) c интегралом Зоммерфельда. Воспользуемся интегральным представлением

$J_{\nu }\left(i\kappa r\right)=-\frac{1}{2\pi }\underset{{\Gamma }_{-}}{\int }{e}^{\kappa r\cos z}{e}^{i\pi \nu /2-iz\nu }dz$,

которое следует из 8.412(4) в [12], подставим в (4.1) и поменяем порядки интегрирования, что оправдано при $H\in H$,

$\begin{array}{c}u(r,\phi ;\kappa )=\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_{-}}{\int }dz{e}^{\kappa r\cos z}2\left\{\frac{v.p.}{2}\underset{C_0^b}{\overset{}{\int }}{e}^{-iz\nu }\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \Phi \right)}H\left(\nu \right)d\nu \right\}=\\ =\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_{-}}{\int }d{z}_{}{e}^{i\kappa r\cos z}2F_1(z,\phi ),\end{array}$ (4.2)

где $\Im z<0$, $z\in \Pi (-\pi -\delta ,\pi +\delta )$, $\delta >0$,

$F_1(z,\phi )=\frac{v.p.}{2}\underset{C_0^b}{\overset{}{\int }}{e}^{-iz\nu }\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\nu \Phi \right)}H\left(\nu \right)d\nu$

Функция $F_1(z,\phi )$ допускает аналитическое продолжение из области $\left\{z{:}_{}\text{E}z<0\right\}\cap \left\{z{:}_{}-\pi -\delta <\Re z<\pi +\delta \right\}$ в полосу $\Pi (-\pi -\delta ,\pi +\delta )$. Для этого необходимо воспользоваться оценкой $\left|H\left(\nu \right)\right|<C\exp \left\{-\frac{\pi }{2}\left|\nu \right|\sin \psi \right\}$, $\psi \in \left[\mathrm{0,}\pi \text{}/\text{}2\right]$, так как $H\in H$. В действительности, справедлива асимптотика $H\left(\nu \right)=O\left(\frac{1}{\cos \left(\nu [\frac{\pi }{2}+i{\tau }_0]\right)}\right)$, $\left|\nu \right|\to \pm \infty$ на $C_{\psi }^b$ (см. [9]) в аналогичной задаче. Деформируем контур $C_0^b\to C_{\psi }^b\to C_{\frac{\pi }{2}}^b$, имеем

$F_1(z,\phi )=v.p.\frac{1}{2}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu \frac{e^{-iz\nu }}{2}\frac{\cos \left(\nu \phi \right)}{\sin \left(\Phi \nu \right)}H\left(\nu \right)$,

и, учитывая четность H, $\phi \in \left[\mathrm{0,}\Phi \right]$,

$F_1(z,\phi )=\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu \sin \left(\nu z\right)\frac{\cos \left(\nu z\right)}{\sin \left(\Phi \nu \right)}H\left(\nu \right)$; $\left|\Re z\right|<\frac{\pi }{2}$ (4.3)

Далее имеем

$\begin{array}{c}{F}_1(z,\phi )=\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu \frac{1}{2}\left\{\frac{\sin \left(\nu \left[z+\phi \right]\right)+\sin \left(\nu \left[z-\phi \right]\right)}{\sin \left(\Phi \nu \right)}\right\}H\left(\nu \right)=\\ =\frac{1}{2}\left\{f(z+\phi )+f(z-\phi )\right\},\end{array}$

где

$f\left(z\right)=\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu \frac{\sin \left(z\nu \right)}{\sin \left(\nu \Phi \right)}H\left(\nu \right)$ (4.4)

или

$f\left(z\right)=v.p.\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-i\nu z}\frac{H\left(\nu \right)}{2\sin \left(\nu \Phi \right)}d\nu$, $\left|\Re z\right|<\frac{\pi }{2}+\Phi$, (4.5)

причем, $f(\cdot )$ голоморфна в этой полосе. Из представлений (4.2) и (4.3), с учетом того, что $F_1(z,\phi )=\frac{1}{2}\left\{f(z+\phi )+f(z-\phi )\right\}$, получается интегральное представление Зоммерфельда (3.2).

В предыдущем разделе найдена трансформанта Зоммерфельда $f(\cdot )$ в замкнутой форме. Естественно, что по $f(\cdot )$ можно восстановить H в представлении ВБ (4.1) с использованием (4.4), (4.5). Отметим, что $f\left(z\right)\to \mathrm{const}$, $z\to i\infty$ в полосе голоморфности $\Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$. Продифференцируем (4.5) при $z\in \Pi (-\frac{\pi }{2}-\Phi ,\frac{\pi }{2}+\Phi )$, заметим, что $f^{\text{'}}\left(z\right)$ убывает экспоненциально при $z\to \pm i\infty$

$\frac{df\left(z\right)}{dz}=v.p.\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{-i\nu z}\frac{\nu H\left(\nu \right)}{2i\sin \left(\Phi \nu \right)}d\nu =\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}\frac{\cos \left(\nu z\right)}{\sin \left(\nu \Phi \right)}\nu H\left(\nu \right)d\nu$,

и применим формулы обращения преобразования Фурье

$H\left(\nu \right)=\frac{\sin \left(\Phi \nu \right)}{i\pi \nu }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}{e}^{i\nu z}\frac{df\left(\zeta \right)}{d\zeta }d\zeta =\frac{\sin \left(\nu \Phi \right)}{i\pi \nu }\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\zeta \cos \left(\zeta \nu \right)\frac{df\left(\zeta \right)}{d\zeta }d\zeta$ (4.6)

$H(\cdot )$ голоморфна в окрестности мнимой оси, можно проверить, что $H\in H$ (см. [9]).

Справедливо утверждение

Лемма 4. Если $H\in H$ является решением функционально-разностного уравнения второго порядка

$H(\nu +1)-H(\nu -1)-2i\frac{\gamma }{\kappa }\left\{\frac{\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)}{(-i)}\right\}H\left(\nu \right)=0$; $\nu \in ℂ$, (4.7)

то $f\in M$ в (4.5) является решением уравнения Малюжинца (3.3) из класса M. Справедливо и обратное утверждение.

Доказательство Леммы 4 основано на формуле (4.5), имеем

$-\frac{\gamma }{\kappa }\left[f(z+\Phi )+f(z-\Phi )\right]=-\frac{\gamma }{\kappa }\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}2\sin \left(\nu z\right)\frac{\cos \left(\Phi \nu \right)}{\sin \left(\Phi \nu \right)}H\left(\nu \right)d\nu$

и

$\sin z\left[f(z+\Phi )-f(z-\Phi )\right]=\frac{1}{2}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu H\left(\nu \right)\left\{\sin \left(z\left[\nu +1\right]\right)-\sin \left(z\left[\nu -1\right]\right)\right\}$

Складывая эти равенства, получим

$=\frac{1}{2i}\underset{-i\infty }{\overset{i\infty }{\int }}d\nu \left\{H\left(\nu \right)\sin \left(z\left[\nu +1\right]\right)-H\left(\nu \right)\sin \left(z\left[\nu -1\right]\right)-\frac{\gamma }{\kappa }2\sin \left(\nu z\right)\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)H\left(\nu \right)\right\}=$

$\begin{array}{c}=\frac{1}{2i}\underset{iℝ+1}{\overset{}{\int }}d\nu \left\{H(\nu -1)\sin \left(z\nu \right)\right\}-\frac{1}{2i}\underset{iℝ}{\overset{}{\int }}d\nu \left\{H(\nu +1)\sin \left(z\nu \right)\right\}-\\ -\frac{1}{2i}\underset{iℝ}{\overset{}{\int }}d\nu \frac{2\gamma }{\kappa }H\left(\nu \right)\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)=\frac{(-1)}{2i}\underset{iℝ+1}{\overset{}{\int }}d\nu \sin \left(\nu z\right)\left\{H(\nu +1)-H(\nu -1)+\frac{2\gamma }{\kappa }\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)H\left(\nu \right)\right\},\end{array}$

где была использована деформация контуров $iℝ\pm 1$ в мнимую ось $iℝ$, а также учтено, что $H\in H$, т. е. $H(\nu +1)$ голоморфна в $\Pi (-\mathrm{1,0})$ и $H(\nu -1)$ голоморфна в $\Pi \left(\mathrm{0,1}\right)$. Из полученного равенства следует утверждение Леммы 4. Обратное утверждение – это следствие обращения преобразования Фурье по мнимой оси.

Уравнение (4.7) нуждается в комментарии. Его решение из H при $\gamma \text{}/\text{}\kappa \ge 1$ дается выражением (4.6), где $f(\cdot )$ вычислена в квадратурах. Коэффициент $V\left(\nu \right)=\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)\text{}/\text{}(-i)$ называется мероморфным потенциалом в уравнении. Этот потенциал специального вида, который допускает применение процедуры решения аналогичной той, которая используется для линейных дифференциальных уравнений с линейными коэффициентами, т. е. решения посредством интегрального представления Лапласа. Аналогичный прием, применяемый к уравнению (4.7), сводит его к разностному уравнению первого порядка, которое уже допускает решение в квадратурах. В данной работе такой подход не используется, так как уже получено решение уравнения (4.7) в форме интеграла (4.6).

В работе [13] предложен общий подход к изучению спектральных свойств уравнений вида (4.7) с потенциалом из достаточно широкого класса мероморфных функций. Обсуждаются достаточные условия существования дискретного спектра и его конечность. Потенциал $V\left(\nu \right)=\frac{\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)}{(-i)}$ попадает в упомянутый класс, но он выделен тем, что отвечающее ему модельное уравнение (4.7) является явно решаемой моделью.

Заключительные замечания. В настоящей работе получены интегральные представления для решения задачи о наклонном распространении поверхностной волны к береговой линии прибрежного водного клина. Решение представлено интегралом Зоммерфельда f с трансформантой Зоммерфельда  которая является мероморфным решением функционального уравнения. Решение ограничено вблизи береговой линии, а на больших расстояниях представимо суммой падающей и отраженной волн, оценена поправка к старшим членам асимптотики. С другой стороны, решение, полученное в [2] и имеющее логарифмическую сингулярность на береговой линии, не является, по нашему мнению, достаточно обоснованным с физической и математической точки зрения. В частности, его использование для описания физических результатов рассеяния наклонно падающей на берег поверхностной волны не кажется оправданным.

Наряду с представлением Зоммерфельда, получено решение в виде интеграла Ватсона–Бесселя. Показано, что неизвестная функция $H\left(\nu \right)$ в подынтегральном выражении представима в терминах вычисленной ранее трансформанты Зоммерфельда $f\left(z\right)$ и удовлетворяет разностному уравнению второго порядка с мероморфным потенциалом $V\left(\nu \right)=\mathrm{ctg}\left(\Phi \nu \right)\text{}/\text{}(-i)$.

Насколько нам известно, физически обоснованное решение сформулированной модельной задачи в виде интегральных представлений Зоммерфельда  и Ватсона–Бесселя получено впервые. Вычислена асимптотика, $r\to \infty$. Естественно ожидать, что решение может быть использовано в дальнейших качественных и количественных исследованиях волновой динамики жидкости вблизи и на удалении от берега умеренного наклона в рамках используемой модели.

Работа выполнена при поддержке Российского Научного Фонда, грант 22-11-00070, https://rscf.ru/project/22-11-00070.

About the authors

M. A. Lyalinov

Saint Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: lyalinov@yandex.ru
Russian Federation, Saint Petersburg

S. V. Polyanskaya

North-Western Institute of Management of the RANEPA

Email: polyanskaya-sv@ranepa.ru
Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files