Development of the Damage Concept in Mechanics of Materials

Full Text

1. Введение. Ю. Н. Работнов был выдающимся ученым, внесшим вклад в различные области механики, включая теорию ползучести [1], механику разрушения [2] и наследственную теорию упругости [3]. В данном обзоре рассматривается развитие концепции поврежденности.

Впервые понятие поврежденности материала  было представлено Ю. Н. Работновым на научном семинаре кафедры теории пластичности механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова, а через пару лет им была опубликована статья, приводившая примеры использования этой концепции в теории ползучести металлов [4]. Практически одновременно Л. М. Качанов ввел понятие параметра сплошности материала $\psi$ [5]. Учитывая, что $\omega$ лежит в интервале $\text{0}\le \omega \le \text{1}$, а $\psi$ может принимать значения в диапазоне $\text{1}\ge \psi \ge \text{0}$, то нетрудно видеть, что $\omega =\text{1}-\psi$. Впоследствии обе концепции и их приложения в механике материалов обсуждались в монографиях и учебниках авторов [1–3, 6, 7].

В качестве простейшего примера задачи с параметром поврежденности  рассмотрим одноосное растяжение силой P поликристаллического стержня площади F [6]. Развитие межзеренных микро- и нанометровых трещин эквивалентно уменьшению эффективной площади поперечного сечения образца. Поэтому эффективное напряжение $\tilde{\sigma }$, вычисляемое как отношение растягивающей силы $P$ к эффективной площади поперечного сечения, не равно номинальному напряжению $\sigma =P/F$, а определяется по формуле $\tilde{\sigma }=\sigma /(\text{1}-\omega )$. Когда значение параметра поврежденности  достигает единицы, эффективная площадь стремится к нулю, и образец разрушается.

Таким образом, здесь параметр $\omega$ вводится отношением $\omega =F_T/F_0$ и характеризует степень уменьшения площади поперечного сечения, где $F_T$ – это площадь трещин, располагающихся к моменту времени t в поперечном сечении стержня, а $F_0$ – начальная площадь поперечного сечения.

К настоящему времени концепция поврежденности получила дальнейшее развитие, является основой механики континуального разрушения и механики рассеянного разрушения, а также обсуждается в ряде специальных монографий и справочников [8–10].

Данная статья содержит обзор работ, посвященных развитию концепции поврежденности в механике материалов и близких областях, а также многочисленным приложениям этой концепции. Основное внимание в ней уделено анализу результатов, полученных в СССР и России.

2. Скалярное и тензорное определение поврежденности. В механическом смысле повреждения твердых тел проявляются посредством образования и роста микропустот или микротрещин, которые представляют собой разрывы в среде, считающейся непрерывной в более крупном масштабе.

2.1. Скалярный параметр поврежденности. В общем случае возникающие повреждения можно разделить на объемные дефекты, такие как микрополости, и поверхностные дефекты, такие как микротрещины. В связи с этим вводятся различные определения переменной повреждения. Для их описания удобно ввести понятие представительного элемента объема (ПЭО), в котором все свойства представлены усредненными переменными.

При рассмотрении только пластического повреждения параметр можно определить как объемную плотность микропустот

${\omega }_V=\frac{\delta V_{пустот}}{\delta V_{пэо}}$ (2.1)

В более широком смысле, если возможно одновременное существование в материале микрополостей и микротрещин, переменная поврежденности физически определяется поверхностной плотностью микротрещин и сечений микропустот, лежащих в плоскости, пересекающей ПЭО сечения $\delta S$ (рис. 1). Для плоскости с нормалью $\overrightarrow{n}$, где эта плотность максимальна, имеем

${\omega }_{\left(\overrightarrow{n}\right)}=\frac{\delta S_{\omega }}{\delta S}$ (2.2)

 

Рис. 1. Физическая поврежденность и математическая непрерывная поврежденность.

 

Если повреждение изотропное, то скалярная переменная ${\omega }_{\left(\overrightarrow{n}\right)}$ не зависит от нормали и является скаляром [5], и можно записать

$\omega =\frac{\delta S_{\omega }}{\delta S}$ (2.3)

Такое определение удобно использовать для случая одномерных задач, а также для простой оценки приблизительного повреждения в трехмерных задачах (особенно при пропорциональной нагрузке).

Определяющие уравнения деформации и повреждения характеризуют материал без объемных или поверхностных неоднородностей. Рассмотрим эффективное напряжение, действующее на сопротивляющуюся область $\delta \tilde{S}=\delta S-\delta S_{\omega }$ (рис. 1).

В одноосном случае изотропного разрушения, без эффекта закрытия микротрещин при сжатии, это среднее значение микронапряжений просто задается силовым равновесием [11]:

$\tilde{\sigma }\delta \tilde{S}=\sigma \delta S$

Записывая (2.3) как

$\omega =\frac{\delta S_{\omega }}{\delta S}=\frac{\delta S-\delta \tilde{S}}{\delta S}$, (2.4)

получим

$\tilde{\sigma }=\frac{\sigma }{1-\omega }$ (2.5)

В многоосном случае изотропного повреждения все компоненты напряжений действуют на одну и ту же эффективную площадь. Аналогично одномерному случаю, эффективный тензор напряжений представляется в следующем виде

${\tilde{\sigma }}_{ij}=\frac{{\sigma }_{ij}}{1-\omega }$ (2.6)

2.2. Тензорный параметр поврежденности. Для случая анизотропного повреждения гораздо сложнее обеспечить хорошее физическое представление, а также совместимость с термодинамикой. Фактически эффективное напряжение с представлением тензора повреждения второго порядка является аппроксимацией точного эффективного напряжения, выведенного из общего представления повреждения с помощью тензора $\underset{\_}{\omega }$ четвертого порядка [12–15]. Это эффективное напряжение определяется так же, как и ранее, но здесь через проекцию вектора напряжения на опорный вектор $\overrightarrow{\nu }$ (рис. 2):

${\nu }_i{\tilde{\sigma }}_{ij}{\tilde{n}}_j\delta \tilde{S}={\nu }_i{\sigma }_{ij}{n}_j\delta S$ (2.7)

или

${\tilde{\sigma }}_{ij}\left(I_{ijkl}-{\omega }_{ijkl}\right){\nu }_k{n}_l\delta S={\sigma }_{kl}{\nu }_k{n}_l\delta S$ (2.8)

 

Рис. 2. Эталонные и эффективные конфигурации.

 

Фактически наиболее общим для переменной повреждения является ее представление тензором четвертого порядка, что можно показать несколькими способами [12–15]. Такой тензор сложен в использовании и не нужен для случая повреждений, вызванных мезо- или микропластичностью.

Как и выше, рассмотрим область плоскости повреждения $\delta S$ с нормалью $\overrightarrow{n}$ и опорным вектором $\overrightarrow{\nu }$, такую, что тензор ${\nu }_i{n}_j\delta S$ определяет геометрическую опорную конфигурацию. Механика континуального разрушения определяет эффективную непрерывную конфигурацию с помощью модифицированной области $\delta \tilde{S}$ и модифицированной нормали $\tilde{\overrightarrow{n}}$, как показано на рис. 2.

Повреждение $\underset{\_}{\omega }$ представляет собой оператор, преобразующий тензор второго порядка ${\nu }_i{n}_j\delta S$ эталонной конфигурации в тензор эффективной конфигурации ${\tilde{\nu }}_i{\tilde{n}}_j\delta \tilde{S}$. Это тензор четвертого порядка, где

$\left(I_{ijkl}-{\omega }_{ijkl}\right){\nu }_k{n}_l\delta S={\nu }_i{\tilde{n}}_j\delta \tilde{S}$ (2.9)

со следующими симметриями: ${\omega }_{ijkl}={\omega }_{ijlk}={\omega }_{jikl}={\omega }_{klij}$.

3. Применение концепции поврежденности при исследовании ползучести металлов. Описывая разрушение металлов вследствие ползучести, обычно выделяют два основных механизма разрушения: вязкий и хрупкий. Вязкое разрушение наступает в результате ползучести, характеризующейся большими сдвиговыми деформациями, хрупкое же разрушение связано с возникновением микропор и микротрещин и их постепенным слиянием. Под воздействием относительно малых напряжений и высоких температур (близких к половине температуры плавления) в металлических материалах накапливается межкристаллитная пористость, способствующая переходу материала в хрупкое состояние.

Высокотемпературная ползучесть металлов характерна тем, что в теле наряду с накоплением необратимых деформаций ползучести происходит образование и развитие дефектов (пор, микро- и макротрещин), приводящее к разрушению. Возникающая при высокотемпературной ползучести металлов поврежденность приводит к изменению различных механических и физических характеристик материалов, в частности, происходит: уменьшение модуля упругости; уменьшение предела текучести до или после закалки; уменьшение твердости; увеличение скорости деформации ползучести; уменьшение скорости прохождения ультразвуковых волн; уменьшение плотности материала и увеличение электрического сопротивления.

Одна из основных проблем при оценке прочности конструкций, работающих в условиях высоких температур, заключается в определении длительности работы этих конструкций до разрушения. Тогда поврежденность зависит от времени , и параметр $\omega \left(t\right)$ характеризует степень поврежденности материала, накапливающейся в процессе ползучести.

Работнов [1] впервые использовал этот параметр для аналитического описания разупрочняющейся стадии процесса ползучести, завершающейся разрушением. В качестве начала отсчета времени принимается момент приложения внешней нагрузки t ($t=\text{0}$). Согласно [4, 5], в начале процесса ползучести принимается условие $\omega \left(\text{0}\right)=\text{0}$, разрушению образца при $t=t^{*}$ соответствует значение ${\omega }^{*}=\omega \left(t^{*}\right)=\text{1}$. Для описания ползучести и длительной прочности конструкционных металлов Работнов [11] предложил использовать уравнение механического состояния, в которое входят несколько структурных параметров, а также систему кинетических уравнений для их определения. Впоследствии этот метод позволил описать многие особенности процесса ползучести вплоть до разрушения. Различные варианты определяющих соотношений теории ползучести со структурными параметрами предложены в работах многих отечественных и зарубежных ученых (в частности [8, 16–27]). Более подробно полученные результаты описаны в следующем разделе.

4. Концепция рассеянной поврежденности и разрушения.

4.1. Скалярный случай. Формальное введение параметра поврежденности не может решить проблему прогнозирования процесса ползучести и характеристик длительного разрушения. В большинстве теоретических исследований [4, 5] введение параметра поврежденности  имеет чисто феноменологический характер, при этом связь параметра  с фактическим изменением структуры металла не рассматривается. Однако наряду с ними известно немало экспериментальных работ [28–32], в которых параметр поврежденности связывается с реальным нарушением структуры материала: исследование структуры обычно проводится металлографическими или физическими методами. В некоторых работах исследовалась взаимосвязь между степенью поврежденности и различными физическими величинами: скоростью звука, электрическим сопротивлением, модулем упругости и др. Однако наиболее распространенными можно считать работы, в которых изучаются количество, размеры и распределение пор в процессе ползучести.

Варианты кинетической теории со скалярным параметром поврежденности актуальны и в наше время, поскольку использование скалярного параметра поврежденности позволяет моделировать поведение металлов наиболее простым способом.

Так, относительный размер пор или необратимое изменение объема (разрыхление по терминологии В. В. Новожилова) рассматривалось в [33]. Предложены всевозможные типы кинетических уравнений при моделировании длительной прочности металлов в условиях сложного напряженного состояния.

В работах О. В. Соснина и его учеников [34–38] предложен энергетический подход для описания изучаемых явлений. В качестве скалярного параметра поврежденности  принята величина рассеянной энергии $A\left(t\right)$, в качестве условия длительной прочности рассматривается равенство $A\left(t^{*}\right)=A_{*}=\mathrm{const}$, где  $A_{*}=\underset{0}{\overset{t^{*}}{\int }}{\sigma }_{ij}{\eta }_{ij}dt$ – рассеянная энергия деформаций ползучести в момент разрушения $t^{*}$, которая для многих материалов является характеристикой и сохраняет свое значение в широком диапазоне температур, $\eta$ – скорость деформаций ползучести, $\sigma$ – напряжение [34, 35]. Этот подход позволяет сформулировать постановку проблемы для стационарного и нестационарного пространственных напряженных состояний. В данных работах показано хорошее соответствие экспериментальных и теоретических кривых ползучести вплоть до разрушения. Одним из преимуществ энергетического варианта теории ползучести является совмещение двух следующих задач: нахождение напряженно-деформированного состояния и определение долговечности конструкций. Энергетический подход обсуждался и развивался также в работах других ученых [39, 40].

В статье Д. А. Кулагина и А. М. Локощенко [41] для рассмотрения исследуемого явления авторами предложена вероятностная теория. Предложен новый подход к описанию деформирования и длительного разрушения металлов при одновременном воздействии внешних механических нагрузок при сложном напряженном состоянии в агрессивной окружающей среде. Для моделирования этого воздействия используется структурно-феноменологический подход, при котором материал представляется состоящим из большого количества структурных элементов. Для описания явления длительной прочности вводится понятие вероятности разрушения отдельных элементов, на основании которого выводится кинетическое уравнение для плотности неразрушенных структурных элементов.

В работах F. A. Leckie с соавторами [42–44] проведены исследования, в которых определялись нижняя и верхняя оценки времени до разрушения, устанавливалась связь феноменологического понятия поврежденности с параметрами структуры. При анализе структуры в [44] использовали два параметра: плотность пор и их средний объем.

В ряде статей особенности рассматриваемых явлений моделируются путем введения нескольких скалярных кинетических параметров. Авторы этих исследований рассматривают в качестве кинетических параметров различные характеристики эволюции структуры металлов в процессе ползучести [45, 46]. При моделировании ползучести вплоть до разрушения Q. Xu и D. R. Hayhurst использовали кинетическую теорию с двумя скалярными параметрами, один из которых необходим для описания неустановившейся ползучести, а другой – для описания ускоряющейся стадии ползучести [45]. Z. L. Kowalewski с соавторами рассмотрели обобщение теории Работнова с тремя скалярными параметрами поврежденности [46].

А. Р. Ржаницын [47] вместо общепринятого скалярного параметра поврежденности $\omega$ ввел скалярный параметр объективной прочности r, характеризующий мгновенную прочность материала в заданный момент времени. Предполагалось, что параметр r удовлетворяет некоторому кинетическому уравнению, связывающему скорость изменения прочности с самой прочностью и эквивалентным напряжением ${\sigma }_e$, зависящим от ${\sigma }_{\max }$ – максимального главного напряжения и ${\sigma }_u$ – интенсивности напряжений. Также было показано, что параметры $\omega$ и r связаны конечным соотношением.

J. Lemaître с соавторами изучили накопление повреждений в теле с использованием скалярных параметров состояния в рамках термодинамики необратимых процессов, при этом основное внимание уделялось взаимодействию процессов ползучести и усталости [12, 48].

С. А. Шестериков с соавторами применили подход Работнова для учета дробной модели ползучести и получили условие длительного разрушения, при котором предельное значение параметра поврежденности меньше единицы [49].

M. Chrzanowski и J. Madej [50] в случае плоского напряженного состояния при построении изохорных кривых длительной прочности использовали кинетическое уравнение, с помощью которого можно оценить прочность при кратковременном нагружении и остаточную кратковременную прочность в произвольный момент времени.

S. Murakami и M. Mizuno [51] обобщили теорию Работнова для учета разрыхления металлов при нейтронном облучении и описали ползучесть нержавеющей стали при различных условиях облучения и переменных напряжениях.

В работе [52] B. F. Dyson и D. Taplin за меру поврежденности  принимали длину трещины, а за время разрушения $t^{*}$ – время образования трещины длиной в одно зерно. B. F. Dyson и M. S. Loveday [53] при анализе результатов испытаний цилиндрических образцов с выточками показали, что при малых напряжениях межзеренные трещины возникают в окрестности шейки и распространяются к центру образца, при больших напряжениях распространение трещин происходит в противоположном направлении.

В ряде работ не только приведены результаты феноменологического исследования ползучести и длительной прочности металлов, но и выполнен анализ изменения структуры металлов в процессе ползучести [53, 54].

В статьях [14, 54–57] приведены результаты исследований трубчатых образцов при постоянном растягивающем нормальном напряжении и знакопеременном касательном напряжении в условиях ползучести вплоть до разрушения.

F. Trivaudey и P. Delobelle провели статический анализ ориентаций трещин в разрушенных образцах [54, 56]. В качестве предельного значения параметра поврежденности при растяжении принимается отношение суммы длин всех поперечных трещин на фиксированной площади образца к сумме длин всех поперечных межзеренных границ на той же площади. В [54] показано, что вблизи области места разрушения значение ${\omega }^{*}\approx 0.3$. V. Tvergaard [55] при анализе влияния вида напряженного состояния на длительную прочность поликристаллов учитывал диффузионный рост пор на границах зерен и скольжение вдоль границ зерен. В [57] W. Trąmpczyński и D. R. Hayhurst рассматривают феноменологическую модель ползучести при сложном напряженном состоянии. Описаны ползучесть и длительная прочность тонкостенных трубок, которые испытывались в условиях сложного напряженного состояния (растягивающее напряжение во время каждого опыта оставалось постоянным, касательное напряжение в некоторый момент времени меняло знак). В работе F. A. Leckie и E. T. Onat [14] рассматривается анизотропное распределение пор в деформируемом элементе.

Л. Б. Гецов в [58] предложил кинетическое уравнение деформационного типа, состоящее из четырех слагаемых, каждое из которых учитывает повреждения и деформации разного типа. Это уравнение позволяет определять условия разрушения при произвольной программе нагружения и нагрева. Показано, что результаты опытов, проведенных разными авторами в условиях различных программ нагружения, корректно описываются в рамках частных случаев предложенного критерия длительной прочности.

Т. Maruyama и Т. Nosaka [59] измеряли поврежденность материала на основе микрошлифов с помощью использования прозрачной эталонной квадратной сетки; при этом рассматривалось отношение количества узлов, попадающих в область пор и микротрещин, к общему количеству узлов в сетке.

В некоторых статьях (Р. И. Нигматулин и Н. Н. Холин [60], Y. Estrin и H. Mecking [61]) в качестве структурного параметра анализируется плотность дислокаций.

В работах А. М. Локощенко [62, 63] рассмотрен метод измерения структурных изменений в металле непосредственно при высокотемпературной ползучести, без охлаждения и выгрузки образцов. Предлагается проводить измерения электрического сопротивления образцов при растяжении и сравнивать эти данные с результатами измерения длины образцов при одинаковых значениях времени.

Многие исследователи объясняют протекание процесса ползучести накоплением пор и образованием микротрещин (A. J. Perry [64], Н. Грант [65] и др.). В результате объединения мелких разобщенных трещин возникает разрушающая магистральная трещина. Поврежденность материала можно оценить, как долю суммарного объема пор и трещин в единице объема. Т. Г. Березина и И. И. Трунин [66] пришли к выводу, что поврежденность, полученная указанным способом, практически такая же, как и поврежденность, определенная с помощью измерения плотности.

M. Horiguchi и T. Kawasaki [67] в качестве $\omega$ рассматривали размер одиночной поры, а в качестве $t^{*}$ – время достижения этим размером критической величины. H. Riedel [68] за меру поврежденности $\omega$ принимал отношение радиуса поры к половине расстояния между порами, за $t^{*}$ – время, при котором происходит слияние пор.

В работе [69] под $\omega$ понимается отношение суммарной длины поперечных границ между зернами, занятых порами и микротрещинами, к общей длине всех поперечных межзеренных границ.

Многие авторы [28–32] считают плотность материала наиболее представительной характеристикой пористости и поврежденности. Исследования по изменению плотности в условиях ползучести были представлены во многих публикациях второй половины ХХ века. Возникновение пор по результатам измерения плотности было обнаружено на самом начальном этапе ползучести. Более того, было показано [30], что залечивание пор наложением гидростатического давления приводит к резкому торможению деформации ползучести и значительному увеличению времени до разрушения. Эти опыты убедительно показали, что разрыхление (необратимое изменение плотности) является основным фактором поврежденности, определяющим работоспособность металлических материалов в процессе ползучести. Дальнейшие исследования [28], в которых процедура наложения гидростатического давления в процессе ползучести повторялась многократно, полностью подтвердили выводы работы [30].

Пористость является основной характеристикой поврежденности, а в качестве интегральной меры пористости принимается изменение плотности вследствие разрыхления материала. Имеющиеся в литературе результаты, полученные для различных металлов и сплавов, указывают на существование единой закономерности накопления разрыхления [31]. Наиболее благоприятная ситуация для разрыхления создается напряжениями, близкими к пределу текучести, когда взаимосвязанные процессы зернограничного проскальзывания и диффузии вакансий создают максимальный эффект для разрыхления. В работе [28] отмечается особая роль предела текучести в процессах пластической деформации и разрушения, анализ которых проводится с позиции фазовых переходов. Показано, что при достижении напряжений, равных пределу текучести, в сплавах происходит фазовый переход в процессе деформирования.

Р. А. Арутюнян [31] в результате детальных исследований на основе анализа ряда экспериментальных данных показал немонотонную зависимость функций разрыхления от напряжения и температуры. С помощью предложенного единого критерия вязко-хрупкого разрушения были описаны все области кривой длительной прочности.

В ряде работ [31, 32, 70–75] описано уменьшение плотности металлов в процессе испытаний на ползучесть. Оно вызывается локальными разрушениями вследствие концентрации напряжений у включений и вблизи стыка трех зерен. Измерение плотности производится, в частности, с помощью метода гидростатического взвешивания (на воздухе и в жидкости). Кинетическое уравнение для определения разрыхления выводится из условия сохранения массы. В. И. Куманин и др. [76] считают, что разрушение материала наступает при накоплении критического количества микроповреждений, которое они определяют по данным измерения плотности и микротвердости. G. Belloni и G. Bernasconi [77] привели подробный обзор литературных данных по исследованию зависимости относительного изменения плотности от деформации, напряжения, температуры и времени.

В монографии Л. Р. Ботвиной [78] основное внимание уделено стадии накопления несплошностей в зоне локализации разрушения и взаимосвязи накопленной поврежденности с изменением акустических свойств материала. Для описания кинетики разрушения под действием различных факторов использована теория фазовых переходов и предложен единый подход к анализу кинетических процессов в разных средах и на различных масштабных уровнях.

В монографии Й. Чадека [79] дано математическое описание рассматриваемых процессов и проанализирован физический смысл параметров уравнений. Рассмотрены результаты изучения дефектной структуры, формирующейся при ползучести, ее роли в подготовке и развитии процессов разрушения. Обсуждены различные теоретические модели и механизмы ползучести.

В работах Р. А. Арутюняна, А. Р. Арутюняна, Р. Р. Саитовой используются физико-механические методы для описания деградационных процессов металлических материалов при длительных температурно-силовых воздействиях [80–84]. Работоспособность металлов определяется процессами поврежденности, которые способствуют охрупчиванию материала и возникновению эффекта тепловой хрупкости. Физическими методами исследований установлено, что явление тепловой хрупкости свойственно всем металлическим материалам и связано с процессами накопления пористости по границам зерен по механизму диффузии вакансий и зернограничного проскальзывания. В работах эти процессы рассматриваются феноменологически, методами механики рассеянного повреждения и разрушения. При формулировке уравнений ползучести и критерия длительной прочности в области хрупких разрушений учтено условие сжимаемости и сформулированы реологические соотношения ползучести и критерии длительной прочности, основанные на законе сохранения массы. В этом случае в качестве параметра поврежденности рассмотрено необратимое изменение плотности (разрыхление) материала.

4.2. Векторный случай. Очевидно, что наиболее простые соотношения имеют место при использовании скалярного параметра поврежденности. Однако дефекты, определяющие накопление повреждений (полости, микропоры, микротрещины), обусловлены нагрузками, под действием которых эти дефекты возникают. Как известно, микротрещины обычно развиваются приблизительно перпендикулярно максимальному из главных напряжений. Увеличение этих микротрещин приводит к разрушению межзеренных связей в поликристалле, в результате чего происходит разрушение. Для описания такого типа разрушений недостаточно использовать скалярный параметр поврежденности, необходимо применять векторный или тензорный параметры поврежденности. Применение этого подхода, как правило, приводит к хорошему соответствию экспериментальных и теоретических значений времен до разрушения.

В первую очередь среди ученых, работавших в данном направлении, следует отметить Л. М. Качанова [85–87], который предложил учитывать, как величину повреждения , так и его направление. Скорость накопления поврежденности в каждой плоскости зависит от нормального напряжения, действующего в этой плоскости; локальное разрушение происходит, когда величина $\omega$ в каком-либо направлении достигает предельного значения; полное разрушение наступает после прохождения фронта разрушения через рассматриваемый объем.

Также в разработке этого направления принимали участие И. В. Наместникова и С. А. Шестериков [88]. Ими был предложен следующий подход. В качестве параметра поврежденности принимается величина $\omega =\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2+{\omega }_3^2}$, где величины ${\omega }_i$ связаны с главными напряжениями ${\sigma }_i$, $i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}3$ следующими зависимостями:

$\frac{d{\omega }_i}{dt}=\left\{\begin{array}{c}f\left({\sigma }_i,{\omega }_i\right),{\sigma }_i>0\\ \mathrm{0,}{\sigma }_i\le 0\end{array}\right.$

Эти зависимости описывают накопление проекций вектора поврежденности на направления главных напряжений в процессе ползучести. Величина вектора поврежденности удовлетворяет следующим условиям: $\omega \left(0\right)=0$, $\omega \left(t^{*}\right)=1$.

В работе [89] В. А. Пелешко задает поврежденность для каждого направления в векторном пространстве напряжений. C. L. Chow, X. J. Yang, E. Chu [90] с помощью векторного подхода описали явление анизотропной поврежденности.

В цикле работ А. М. Локощенко с В. В. Назаровым [91–95] выполнено обобщение модели, предложенной в статье [88]. С этой целью вводится коэффициент прочностной анизотропии материала ${\alpha }_0$ и учитываются компоненты вектора поврежденности, накапливаемые в процессе кратковременного квазистатического нагружения, а также учитывается взаимная зависимость компонент ${\omega }_i$. Коэффициент прочностной анизотропии ${\alpha }_0$ определяется для трубчатых образцов как отношение осевого и поперечного нормальных напряжений, приводящих при растяжении в этих направлениях к разрушению образца за одно и то же время $t^{*}$.

В [96] получен анализ серии испытаний с использованием различных критериев длительной прочности и приведены значения ${\alpha }_0$. Впервые экспериментально получено [91] и впоследствии с помощью предложенной модели [95] определено время до разрушения при стационарном сложном напряженном состоянии при различных программах кратковременного нагружения $t^{*}$. Предложен ряд кинетических уравнений, описывающих этот результат. Получено, что при одних и тех же значениях ${\sigma }_{\max }$ и ${\sigma }_u$, т. е. при одних и тех же значениях эквивалентного напряжения ${\sigma }_e$, различным видам напряженного состояния могут соответствовать различные значения времени до разрушения.

В некоторых работах используются и скалярный, и векторный параметры поврежденности.

С. А. Шестериков с соавторами [97] отметили, что в процессе ползучести при сложном напряженном состоянии фактически появляется анизотропия свойств материала с накопленной поврежденностью, и предложили модель, в которой комбинируются скалярный и векторный подходы. Для моделирования поведения материалов, в которых либо расширяются сферические поры, либо максимальное главное напряжение значительно больше остальных главных напряжений, может быть использован скалярный параметр. В случае развития трещиновидных дефектов при описании длительного разрушения следует использовать векторный подход.

В свою очередь, А. А. Чижик и Ю. К. Петреня [98] считают, что в области микропор параметр поврежденности является векторной величиной, а в области клиновидных трещин – скаляром.

О. К. Морачковский [99] использует скалярный параметр для описания установившейся и ускоряющейся стадий ползучести, а векторный параметр для описания процесса ползучести на неустановившейся стадии.

M. Chrzanovski, J. Madej [100] при описании изохронных кривых используют скалярный или векторный подход в зависимости от времени до разрушения.

Г. М. Хажинский [101] использует в качестве скалярного параметра внутризеренную поврежденность, а в качестве векторного параметра – межзеренную поврежденность.

D. Hayhurst с соавторами при моделировании длительного разрушения различных сплавов при сложном напряженном состоянии в качестве параметра рассматривают часть объема, занятую порами [57, 102]. При этом для описания поведения алюминиевого сплава используется скалярный параметр, а при описании медных образцов следует учитывать изменение направления (векторный параметр) максимального главного напряжения при изломе траектории нагружения.

В статьях [103, 104] рассматривается ползучесть до разрушения трубчатых образцов при касательных напряжениях, которые однократно или периодически меняют знак. В [103] рассмотрены результаты известных испытаний трубчатых образцов при постоянном осевом напряжении и постоянном или знакопеременном касательном напряжении [54], моделирование полученных экспериментальных результатов проведено с помощью подхода Качанова. Циклическое изменение знака касательных напряжений приводит в экспериментах к значительному увеличению времени до разрушения. В [104] выполнено моделирование известных результатов испытаний на длительную прочность в условиях нестационарного сложного напряженного состояния. При описании экспериментальных данных [105] используется векторный параметр поврежденности с кусочно-постоянной скоростью накопления повреждений. Моделируется длительная прочность трубчатых образцов при одновременном действии постоянного осевого напряжения и касательного напряжения, однократно или циклически меняющего знак. Моделирование длительной прочности при скачкообразном изменении интенсивности напряжений проведено двумя способами – с помощью метода Л. М. Качанова и метода И. В. Наместниковой и С. А. Шестерикова. Все варианты предложенных кинетических уравнений приводят к хорошему соответствию экспериментальных и теоретических значений времен до разрушения.

4.3. Тензорный вариант. Многие авторы используют тензорный параметр поврежденности при исследовании зависимости времени до разрушения от различных характеристик анизотропии материала (как исходной, так и приобретенной). При этом рассматриваются тензоры второго, четвертого и восьмого рангов.

Впервые тензорный параметр поврежденности был предложен в классической монографии Ю. Н. Работнова [11]. В работах [11, 106] в качестве характеристики напряженного состояния принимается линейная комбинация ${\sigma }_{\max }$ и ${\sigma }_u$, где ${\sigma }_{\max }$ – максимальное главное напряжение и ${\sigma }_u$ – интенсивность напряжений.

Также первые систематические исследования ползучести металлов при сложном напряженном состоянии были опубликованы в Великобритании в работе A. E. Johnson [107]. В качестве основной связи компонент тензоров напряжений и деформаций ползучести (скоростей деформации ползучести) принимается гипотеза пропорциональности девиаторов напряжений и девиаторов скоростей деформаций ползучести. В работе A. E. Johnson [108] коэффициент пропорциональности в этих соотношениях включает вторые инварианты тензора напряжений и тензора скоростей деформаций ползучести.

В работе [109] В. П. Тамуж рассмотрел возможности построения теории длительной прочности при сложном напряженном состоянии, используя скалярный, векторный и тензорный параметры поврежденности. В. П. Тамуж и А. Ж. Лагздыньш применили тензорный подход при моделировании накопления повреждений в виде круглых мелких трещин различной ориентации в изотропных [110] и анизотропных [111] средах.

H. Altenbach и P. Schieße [112, 113] указали основные типы параметра поврежденности и рассмотрели возможность описания связи условий нагружения с поврежденностью на уровне структуры материала, а также учета различия свойств при растяжении и сжатии и анизотропии процесса накопления поврежденности. В работе [114] H. Altenbach с соавторами представили модель ползучести, зависящую от диапазона напряжений. При низких уровнях напряжений описывается ползучесть диффузионного типа, а при умеренных уровнях напряжений рассматривается ползучесть степенного типа. Конструктивная модель неупругих процессов при высокой температуре, включая ползучесть, вязкопластичность и термомеханическую усталость, представлена K. Naumenko с соавторами [115]. Конструктивная модель с тензором поврежденности разработана и применена для анализа тонкостенных конструкций в работе H. Altenbach с соавторами [116]. K. Naumenko и H. Altenbach предложили разработать и идентифицировать модель анизотропной ползучести для металла многопроходного шва [117].

В 1967 г. А. А. Ильюшин [118] ввел понятия тензоров и мер повреждений, которые определяются с помощью функционалов для заданных процессов изменения во времени тензоров напряжений и моментов. Данный подход был развит в монографии Э. Б. Завойчинской и И. А. Кийко [119]. Введен оператор повреждений, предложено обобщение механических теорий прочности, исследованы предельные процессы нагружения в пространстве А. А. Ильюшина.

В работе Б. Е. Победри [120] рассмотрены операторные определяющие соотношения среды, включающие меру поврежденности А. А. Ильюшина, введены моментные напряжения для учета возможных несовершенств материала, проведен термодинамический анализ процесса эволюционного разрушения материала.

В. А. Копнов использовал предложенные в статье [118] интегральные операторы для получения феноменологических критериев длительной прочности анизотропных материалов при сложном напряженном состоянии [121].

А. А. Лебедев и В. М. Михалевич с использованием разработанного математического аппарата сформулировали критериальные соотношения для накопленных повреждений в виде уравнения наследственного типа с разностным ядром [122–125].

J. Betten [126, 127] выделяет деформационную анизотропию и анизотропию, вызываемую накоплением повреждений.

C. Chow, J. Wang [15] предложили тензорное уравнение для накопленных повреждений для анизотропной среды с учетом больших деформаций.

S. Bodner [128] предложил использовать в определяющем уравнении для анизотропной среды параметр поврежденности в виде тензора второго порядка.

S. Murakami с соавторами [17, 19, 129, 130] использовали сочетание методов механики сплошной среды и материаловедения для исследования анизотропного характера тензорного параметра поврежденности. Параметр поврежденности в виде тензора второго ранга характеризует плотность пор в трех главных плоскостях. В качестве основных причин появления поврежденности материала рассматриваются зарождение и рост межзеренных пор, полостей и микротрещин. Для проверки полученных результатов проведены испытания для перфорированных пластин с различной ориентацией перфорации. Показано, что при малой плотности пор длительное разрушение можно описывать с помощью скалярного параметра поврежденности.

В. И. Астафьев [131] использовал тензорную меру поврежденности для описания развития пор, их слияния и превращения пор в микротрещины, расположенные на площадках, ортогональных направлению наибольшего главного напряжения.

D. Krajcinovic с соавторами [132–134] построили теорию длительной прочности металлов с использованием параметра поврежденности в виде антисимметричного тензора второго ранга.

В. А. Маньковский [135] при исследовании изменения поврежденности во времени учитывает ее случайный характер. В результате исключения фактора случайности и использования тензорного подхода получен новый критерий длительного разрушения при сложном напряженном состоянии.

P. Delobelle с соавторами [56, 136], анализируя результаты испытаний, проведенных при сложном нагружении, показали необходимость учета механизмов как изотропного, так и кинематического упрочнения материала. Также приведены подробные данные об ориентации микротрещин, образующихся в ходе испытаний.

J. Lemaître [137] применил кинетическую теорию при решении задач обработки металлов, в частности, задачи о глубокой вытяжке полос. Также Lemaître установил, что при произвольном пути нагружения возможны различные предельные кривые разрушения.

В работах А. М. Локощенко [138, 139] приведены обзоры экспериментально-теоретических исследований длительной прочности металлов в условиях сложного напряженного состояния с помощью кинетической теории. В этих обзорах показано, что большинство публикаций направлены на разработку новых теоретических моделей, однако основное внимание должно быть уделено экспериментальной проверке этих моделей.

В статье К. А. Агахи и Д. В. Георгиевского [140] дается обзор известных вариантов определяющих соотношений теории ползучести изотропного тела с учетом поврежденности материала в процессе деформирования. Обсуждается кинетический смысл скалярной функции и тензорной меры поврежденности. Предлагается обобщение на трехмерный случай определяющих соотношений теории ползучести с поврежденностью, куда входят две материальные нелинейные тензор-функции двух тензорных аргументов.

5. Поврежденность и нелокальные критерии разрушения. В дальнейшем идеи Ю. Н. Работнова были использованы при развитии критериев разрушения. Одним из самых известных критериев можно считать критерий нелокальной механики разрушения Нейбера-Леонова-Новожилова [141–143]. В разное время и на основе различного уровня рассмотрений Г. Нейбером [141], М. Я. Леоновым [142] и В. В. Новожиловым [143] был предложен критерий разрушения $\frac{\text{1}}{d}\underset{0}{\overset{d}{\int }}\sigma \text{\hspace{0.17em}d}r\le {\sigma }_c$, где $\sigma$ – главное растягивающее напряжение в окрестности вершины трещины ($r=0$) и ${\sigma }_c$ – предел прочности бездефектного материала. Главной особенностью критерия является явное введение некоторого структурного размера d.

Большое распространение получил критерий раскрытия трещины. Этот критерий независимо друг от друга был введен М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком в 1959 г. [144] и D. S. Dugdale в 1960 г. [145]. Подходы и физическое обоснование у этих авторов различны, но приводят к одной и той же математической формализации. “Критерий раскрытия трещины” может быть сформулирован следующим образом: трещина начнет распространяться тогда, когда раскрытие трещины достигнет критического значения. Также классическим критерием является критерий Г. И. Баренблатта [146].

Основываясь на экспериментальных работах С. Н. Журкова, В. С. Куксенко и А. И. Слуцкера [147, 148], Ю. Н. Работнов [3] отметил, что в тонких пленках из некоторых полимерных материалов при действии растягивающей нагрузки возникают субмикроскопические трещины с размером порядка от 10 до 100 нм, а при критической концентрации расстояние между трещинами оказывается того же порядка, что размер трещины. Можно предположить, что рост трещины происходит, когда плотность микротрещин на ее кончике или степень поврежденности достигает критического значения. Модель А. И. Зобнина [149] посвящена описанию такого процесса и тесно связана с теорией пластического разрыхления В. В. Новожилова.

С. Н. Журков [150] ввел концентрационный критерий разрушения, который гласит, что микротрещины имеют одинаковый размер $l_{*}$, и они накапливаются в объеме напряженного материала до тех пор, пока средняя дистанция между трещинами $<l>$ не превышает некоторого критического значения $l_c$. Когда $<l>=l_c$, микротрещины сливаются, и это приводит к глобальному разрушению образца. Как показали эксперименты [150], для многих материалов критическая дистанция $l_c$ примерно равна $3l_{*}$.

Ф. М. Бородич [151] отметил, что в полифазных материалах поврежденность может иметь различные масштабные уровни и развитие глобальной трещины сопровождается каскадом накопления поврежденности и слияния трещин на этих масштабах $L\left(m\right)$, где m – номер масштабного уровня. Развивая концентрационный критерий разрушения, Ф. М. Бородич сформулировал принцип онтогенеза множественного разрушения: для создания трещины масштабного уровня $L\left(m\right)$ в объеме неповрежденного материала, процесс разрушения должен пройти все предыдущие стадии накопления повреждений и слияния трещин более низкого масштабного уровня.

Позже было предложено сочетать идею каскадного накопления поврежденности на различных масшабных уровнях с многомасшабным подходом Вавакина–Салганика и использовать такой подход к моделированию свойств пороупругих материалов, используемых в порошковой металлургии [152].

В работах Е. В. Ломакина и соавторов [153, 154] предполагается использование концепции поврежденности для описания прочности и поврежденности полимерных композиционных материалов. Вводятся два параметра поврежденности, первый связан с разрушением волокон, второй – с разрушением матрицы композита. В начальном состоянии поврежденность 1, в момент разрушения 0. Предполагается, что характеристики прочности композита являются функциями двух скалярных параметров ${\psi }_{\text{1},}{\psi }_{\text{2}}$ и их скоростей $\left\{{\psi }_{\text{1}},{\psi }_{\text{2}},d{\psi }_{\text{1}}/dt,d{\psi }_{\text{2}}/dt\right\}$.

6. Концепция поврежденности в задачах трибологии. Понятие поврежденности используется также при изучении различных задач трибологии [155]. И. Г. Горячева и О. Г. Чекина [156] ввели модель накопления поврежденности и усталостного износа в упругом полупространстве. Разнообразные модели дискретного контакта подробно описаны И. Г. Горячевой [157]. Эти модели были использованы в моделях накопления поврежденности и усталостного износа покрытий [158, 159]. И. Г. Горячева и Е. В. Торская разработали модель для подсчета накопления поврежденности в покрытиях при фрикционном контакте [160]. Дальнейшее развитие эта модель получила в работах [155, 158, 159], в частности, рассматривались мономолекулярные антиадгезионные покрытия микроэлектромеханических систем.

Заключение. Многие оригинальные идеи и результаты Ю. Н. Работнова послужили основой для новых научных направлений, развиваемых его учениками и последователями. Широчайший научный кругозор и научное предвидение позволили Ю. Н. Работнову точно оценить перспективность тех или иных научных направлений.

About the authors

R. R. Saitova

Saint Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: rigastr@yandex.ru
Russian Federation, Saint Petersburg

F. M. Borodich

Chongqing University

Email: borodichfm@cqu.edu.cn
China, Chongqing

A. R. Arutyunyan

Saint Petersburg State University

Email: a.arutyunyan@spbu.ru
Russian Federation, Saint Petersburg

References

Supplementary files