Computer diffraction tomography: a comparative analysis of the use of controlled and wavelet filters for image processing

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время метод рентгеновской дифракционной микротомографии предоставляет уникальную возможность для компьютерной метрологии наноразмерных дефектов кристаллических структур, выводя эти исследования на новый уровень создания на их основе полупроводниковых приборов микроэлектроники с новыми электронными и оптическими свойствами [1–4]. Концептуально (например, [3, 4]) компьютерная рентгеновская дифракционная 3D-микротомография наряду с рентгеновской 3D-птихографией является прямым методом решения обратной задачи декодирования отдельных дефектов кристаллических материалов. В частности, она представляет собой компьютерное восстановление функции упругого поля смещения атомов в кристаллах по набору рентгеновских проекционных изображений в плоскости, перпендикулярной дифрагированной волне после ее прохождения через образец. Отметим, что качество 3D-реконструкции дефектов кристаллической структуры определяется параметром FOM (Figure-Of-Merit) и зависит от уровня зашумления записанных детектором изображений, которые накапливаются в процессе их сбора при вращении образца вокруг оси вдоль вектора дифракции h, а затем используются в компьютерной рентгеновской 3D-микротомографии [4].

Известны и широко применяются различные методы шумовой фильтрации 2D-изображений [5–10]. На практике выбор алгоритма шумовой фильтрации связан и обусловлен характерными особенностями эталонного 2D-изображения и его шумовой составляющей, а также лимитируется мощностью доступных вычислительных средств.

В данной работе анализируется проблема снижения уровня шумовой составляющей на примере изображений точечного дефекта кулоновского типа в кристалле Si(111) применительно к области их прямого контраста (классификация механизмов формирования рентгеновских дифракционных изображений (топограм), разработанная А. Authier). Соответственно, вектор дифракции h = [220], падающая волна – линейное σ-поляризованное MoK_α1-излучение, σ = 1, длина экстинкции Λ = 36.287 мкм, угол Брэгга θ_B = 10.65°. Детали компьютерного моделирования изображений приведены в [4].

Характерная особенность изображений наноразмерных дефектов заключается в том, что в области их прямого контраста имеют место резкие изменения интенсивности на близких, порядка нескольких пикселей, расстояниях от центра изображения [4]. То есть шумовая фильтрация таких изображений требует разработки и применения методов с достаточно высоким пространственным разрешением [5–10].

В данной работе проведен сравнительный анализ применения методов фильтрации гауссовой шумовой составляющей 2D-изображений на примере точечного дефекта кулоновского типа в области его прямого контраста методами управляемого фильтра и вейвлет-преобразования изображений. Было подготовлено эталонное проекционное изображение, полученное на основе расчетного изображения указанного точечного дефекта. Зашумленное изображение получено из эталонного путем добавления к нему 3%-ного аддитивного гауссовского шума с нулевым средним значением.

Ниже приведены результаты исследования снижения шумовой составляющей на примере проекционных 2D-изображений в области их прямого контраста [4]. При этом необходимо обеспечить восстановление важных наноразмерных деталей, расположенных в непосредственной близости друг от друга. Шумовая фильтрация проекционных изображений проведена для двух случаев, изображений 32 × 32 пикселя и вырезанного из него изображения 16 × 16 пикселей.

В качестве меры уровня шумовой составляющей изображений в работе использовали параметр

$RMS=\sqrt{\frac{1}{N}\sum \frac{{\left(f_{ij}-I_{ij}\right)}^2}{I_{ij}^2}},$ (1)

где $I_{ij}$ и $f_{ij}$ – величины яркости (интенсивности) эталонного и выбранного для сравнения с ним рабочего изображения в пикселе, стоящем на пересечении i-строки и j-столбца; сумма берется по всем N пикселям обоих изображений.

УПРАВЛЯЕМЫЙ ФИЛЬТР

Управляемый фильтр [11] использует для вычисления интенсивности в точках фильтрованного изображения не только исходное, но и дополнительное опорное изображение такого же размера. В зависимости от поставленной задачи описываются различные подходы к формированию опорного изображения, основанные на дополнительной априорной информации об объектах исследования [11–21]. Без потери общности полученных результатов в настоящей работе в качестве опорного использовано само зашумленное изображение.

К положительным качествам управляемого фильтра можно отнести его способность сглаживать изображения при сохранении границ объектов без создания артефактов. Применяемая в работе концепция фильтрации доказала свою эффективность в разнообразных приложениях компьютерного зрения, таких как удаление бликов от вспышки, сглаживание деталей, увеличение разрешения изображений и т.п. [12, 13].

Подробное описание управляемого фильтра дано в [11]. Пусть R_ij, f_ij и g_ij – значения интенсивностей опорного, зашумленного и фильтрованного изображений в {ij}-пикселе соответственно.

Представим интенсивность фильтрованного изображения в {ij}-пикселе в виде линейной функции интенсивности опорного изображения R_ij, определенной в квадратном окне Ω_k, содержащем {ij}-пиксель,

$g_{ij}={\alpha }_k{R}_{ij}+{\beta }_k,$ (2)

где целый индекс k нумерует все содержащие указанный пиксель окна Ω_k заданного размера ρ.

Коэффициенты α_k и β_k целевой функции E(α_k, β_k):

$\begin{array}{c}E\left({\alpha }_k,{\beta }_k\right)=\sum _{}_{\left\{ij\right\}\in {\Omega }_k}\left[{\left(g_{ij}-f_{ij}\right)}^2+\epsilon {\alpha }_k^2\right],\\ g_{ij}={\alpha }_k{R}_{ij}+{\beta }_k,\end{array}$ (3)

внутри квадратного окна Ω_k определяются в процессе ее минимизации, E(α_k, β_k) = min, обеспечивая наилучшее приближение интенсивности зашумленного изображения f_ij интенсивностью фильтрованного изображения g_ij (2); ε – параметр регуляризации, введенный для предотвращения получения необоснованно больших значений коэффициента α_k.

Стандартная линейная регрессия дает следующие решения для коэффициентов α_k и β_k:

${\alpha }_k=\frac{\frac{1}{\left|\Omega \right|}{{\displaystyle \sum }}_{ij\in {\Omega }_k}{R}_{ij}{f}_{ij}-{\mu }_k{\overline{f}}_k}{{\sigma }_k^2+\epsilon },$ (4)

${\beta }_k={\overline{f}}_k-{\alpha }_k{\mu }_k,$

где µ_k и σ_k – среднее значение и дисперсия интенсивности опорного изображения в окне Ω_k; |Ω_k| = (2ρ + 1)² – количество пикселей в окне Ω_k; $\overline{f_k}=\frac{1}{\left|\Omega \right|}\sum _{ij\in {\Omega }_k}{f}_{ij}$ – среднее значение интенсивности зашумленного изображения в окне Ω_k.

Поскольку значения g_ij различаются для различных окон, включающих в себя {ij}-пиксель, значение интенсивности фильтрованного изображения в этой точке определяют как среднее по всем таким окнам Ω_k:

$g=\frac{1}{\left|\Omega \right|}\sum _{k:\left(ij\right)\in {\Omega }_k}(a_k{R}_{ij}+{\beta }_k)={\overline{a}}_{ij}{R}_{ij}+{\overline{\beta }}_{ij},$ (5)

${\overline{a}}_{ij}=\frac{1}{\Omega }\sum _{m\in {\Omega }_{ij}}{a}_m,{\overline{\beta }}_{ij}=\frac{1}{\Omega }\sum _{m\in {\Omega }_{ij}}{\beta }_m.$

В соответствии с формулами (4) и (5) параметрами управляемого фильтра являются величины ρ и ε. Согласно (4), если дисперсия интенсивности в пределах окна много больше ε, расчетное значение g_ij по формуле (5) будет мало отличаться от f_ij. В противном случае это значение будет равно среднему значению интенсивности ${\overline{f}}_{ij}$ в окне.

Отметим, что в литературе существует большое количество модифицированных алгоритмов на основе концепции управляемого фильтра. Как правило, изменения направлены на отказ от линейной зависимости (2) (например, [14, 15]) или изменение определения целевой функции (3) [16, 17], а также на локальную адаптацию параметра регуляризации [18, 19]. Еще одним направлением развития теории управляемого фильтра является отказ от использования внешнего опорного изображения. При таком подходе опорное изображение вычисляется на основе зашумленного изображения [20, 21].

В практических расчетах на выбор значений параметров управляемого фильтра существенное влияние оказывают приведенные выше особенности зашумленного изображения. Так, для минимизации влияния соседних пикселей на изображение дефекта выбрано минимально возможное значение параметра ρ = 1. Хорошей оценкой величины параметра регуляризации ε может служить значение средней дисперсии  зашумленного изображения, в качестве которого принимается среднее значение дисперсий, рассчитанных для окон с ρ = 1 с центрами в каждом пикселе изображения. Для изображений 32 × 32 и 16 × 16 пикселей величина  составила 0.2 и 0.3 соответственно. Эти значения использованы в качестве начальных при определении оптимальной величины параметра регуляризации. Для ρ = 1 в качестве оптимальной величины параметра регуляризации ε принимали значение, приводящее к минимальному значению RMS (1) в окрестности 12 × 10 пикселей вокруг дефекта. Минимальные значения были достигнуты при значениях параметра ε, равных 0.4 и 0.5 для изображений 32 × 32 и 16 × 16 пикселей соответственно (табл. 1, 2).

 

Таблица 1. Значения RMS для изображения 32 × 32

Фильтрация	Полное изображение	Область вблизи дефекта, 12 × 10 пикселей
зашумленное изображение	0.00744	0.00694
вейвлет фильтр	0.00221	0.00127
управл. фильтр, ε = 0.2	0.00465	0.00473
управл. фильтр, ε = 0.3	0.00378	0.00417
управл. фильтр, ε = 0.4	0.00336	0.00410
управл. фильтр, ε = 0.5	0.00318	0.00435

Примечание. Вейвлет-фильтр, параметр Δ = 0.75 и управляемый фильтр, параметр ρ = 1; ε – параметр регуляризации.

 

Таблица 2. Значения RMS для изображения 16 × 16

Фильтрации	Полное изображение	Область вблизи дефекта, 12 × 10 пикселей
зашумленное изображение	0.00912	0.00880
вейвлет-фильтр	0.00482	0.00633
управл. фильтр, ε = 0.3	0.00520	0.00515
управл. фильтр, ε = 0.4	0.00453	0.00464
управл. фильтр, ε = 0.5	0.00424	0.00454
управл. фильтр, ε = 0.6	0.00421	0.00476

Примечание. Вейвлет-фильтр, параметр Δ = 0.8 и управляемый фильтр, параметр ρ = 1; ε – параметр регуляризации.

 

ВЕЙВЛЕТ-ФИЛЬТРАЦИЯ

Для обработки зашумленных рентгеновских проекционных изображений применяли подход, который ранее был реализован для анализа изображений с атомным разрешением в сканирующем зондовом микроскопе [22, 23]. Исторически он основан на интегральном вейвлет-преобразовании, которое переводит “временную” функцию сигнала в “частотно-временную”. Преобразование заключается в том, что анализируемая функция сигнала f(x) описывается через уединенную волну (солитон) посредством ее сдвига и масштабирования.

Согласно [24] вейвлет-преобразование сигнала f(x) записывается в следующем виде:

$\begin{array}{c}W\left(a,b\right)=\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}{\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right){\psi }^{*}\left(\frac{x-b}{a}\right)dx,\\ a,b\in R,\psi \in L^2\left(R\right),\end{array}$ (6)

$f\left(x\right)=\frac{1}{C_{\psi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }W\left(a,b\right)\psi \left(\frac{x-b}{a}\right)\frac{dbda}{a^2},$ (7)

$0<C_{\psi }=2\pi {\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\widehat{\psi }\left(\omega \right)\right|}^2\frac{d\omega }{\omega }<\infty ,$ (8)

где ø(t) – вейвлет-функция (или просто “вейвлет”), $t=\left(x-b\right)/a$, a и b – параметры, задающие масштабирование и сдвиг для покрытия анализируемой функции f(x) вейвлетом, W(a, b) – определяет спектр, C_ø – коэффициент нормировки, $\widehat{\psi }\left(\omega \right)$ – фурье-образ функции ø(t). Функция ø(t) является ортонормированной базисной функцией в пространстве L²(R) и с этой функцией существует обратное преобразование (7).

Главное отличие вейвлет-преобразования (6) от фурье-преобразования заключается в том, что оно проводится по двум переменным a и b, обеспечивая более корректное описание сложных в своем поведении непериодических функций. В (6) и (7) подразумевается, что базис преобразования обладает свойством самоподобия (масштабирование и сдвиг вейвлета не меняют его форму), что применимо для анализа фрактальных функций. В данном случае это свойство приобретает особую ценность, поскольку анализируемые рентгеновские изображения искажены гауссовским шумом с фрактальной структурой и показателем Херста H = 1/2.

В теории вейвлет-преобразования [24] имеет место аналог теоремы Парсерваля, а именно полная энергия сигнала может быть выражена следующим образом:

${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^2\left(x\right)dx=\frac{1}{C_{\psi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{W}^2\left(a,b\right)\frac{dadb}{a^2}.$

Отсюда следует, что плотность энергии анализируемого сигнала $E_W\left(a,b\right)=W^2\left(a,b\right)$. Данные свойства позволяют решать задачу о подавлении шума путем редактирования спектра. Таким образом, коэффициенты преобразования предлагается вычислять по формуле

$\tilde{W}\left(a,b\right)=W\left(a,b\right)\theta \left(\left|W\left(a,b\right)\right|-\Delta \right),$ (9)

$\theta \left(x\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}x>\mathrm{0,}\\ \mathrm{0,}x\le \mathrm{0,}\end{array}\right.$

где $\theta \left(x\right)$ – функция Хевисайда, ∆ – уровень подавления шума. После замены W(a, b) на $\tilde{W}\left(a,b\right)$ в (7) и обратного преобразования с новыми коэффициентами получается сглаженная функция $\tilde{f}\left(x\right)$.

Для описания пиксельных изображений требуется перейти к дискретному преобразованию, которое получается из (6) и (7) в результате замены интегрирования на суммирование. Для строки или столбца имеем:

$f\left[m\right]=\sum _{}_{j\in Z}\sum _{}_{k\in Z}{W}_{j,k}{\psi }_{j,k}\left[m\right],$ (10)

${\psi }_{j,k}\left[m\right]=2^{-j/2}\psi \left[2^{-j}m-k\right],$ (11)

$W_{j,k}=\sum _{}_{m}f\left[m\right]{\psi }_{j,k}\left[m\right],$ (12)

где переменные $a=2^j$ и $b=ka$ задают масштабирование и сдвиг, m – номер пикселя. Функция $f\left[m\right]$ определяет интенсивность пикселя с номером m. Как и в случае непрерывного преобразования, новые коэффициенты ${\tilde{W}}_{j,k}$ для фильтрованной функции $\tilde{f}$ получаются с учетом (9).

Вейвлет-функция может быть выбрана как в аналитическом, так и в численном виде. Среди аналитических функций наиболее часто используются WAVE, MHAT, Morlet и Paul; дискретные функции – это прежде всего ортогональные вейвлеты Добеши и LMB [24, 25]. Отметим, что дискретные вейвлеты имеют компактный носитель, что гарантирует их ортогональность. Вейвлеты данного типа строятся рекурсивно по точкам и не выражаются через элементарные функции. Алгоритм дискретного преобразования основан на представлении выражения (10) в виде аппроксимирующей и детализирующей составляющих с их последующим дроблением, задающим уровень декомпозиции сигнала. Нулевым уровнем считается сам сигнал. Число уровней декомпозиции зависит от длины сигнала: $L=\ln \left(N\right)/\text{ln}\left(2\right)-\mathrm{1,}$ где N – длина сигнала в отсчетах (пикселях). По мере перехода от одного уровня к другому точность описания сигнала снижается. Вычисления по (12) на всех уровнях позволяют получить полный спектр сигнала. Прореживание данного спектра с помощью (9) решает задачу фильтрации дискретного сигнала.

Вычисления проводили по следующей схеме:

– преобразование исходного зашумленного изображения в одномерный сигнал;

– фильтрация полученного одномерного сигнала по (9)–(12) и быстрому рекурсивному алгоритму [24, с. 298];

– расчет относительного среднеквадратического отклонения;

– сборка изображения из отфильтрованного одномерного сигнала.

Несмотря на то что схема по реализации является простейшей, она позволяет изучить принципиальные возможности вейвлет-преобразования применительно к обработке сигналов/изображений в компьютерной дифракционной томографии. Относительное среднеквадратическое отклонение для полного изображения рассчитывали по формуле (1). Оптимальное значение уровня подавления шума Ä выбирали так, чтобы функция RMS(Ä) (формула (1)) имела минимальное значение.

На рис. 1, 2 представлены результаты вычислительного эксперимента. Число уровней декомпозиции L для изображений размером 32 × 32 и 16 × 16 равно 9 и 7. Найденные графически минимальные значения RMS составляют 0.00221 и 0.00482 при Ä = 0.75 и Ä = 0.8 для изображений размером 32 × 32 и 16 × 16 соответственно (табл. 1 и 2). Фильтрованные изображения размером 32 × 32 и 16 × 16 содержат приблизительно 2 и 4% ненулевых коэффициентов преобразования от их общего числа. Определение Ä по минимальному значению RMS позволяет после фильтрации сохранить только такие значимые коэффициенты преобразования зашумленного сигнала, которые совпадают с соответствующими коэффициентами эталонного сигнала и вместе с этим превышают средний уровень шума.

 

Рис. 1. Зависимость RMS от параметра подавления шума $∆$ для изображений 16 × 16 и 32 × 32.

 

Рис. 2. Спектры коэффициентов вейвлет-преобразования изображений: 1 – эталонные, 2 – зашумленные. Пунктирными линиями отмечены уровни подавления шума.

 

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Анализ приведенных в табл. 1 и 2 значений RMS, полученных с помощью вейвлет- и управляемого фильтров, показывает, что применение обоих алгоритмов шумовой фильтрации позволило существенно приблизить фильтрованные изображения к эталонному.

Для изображения размером 32 × 32 пикселя (табл. 1) при применении вейвлет-фильтрации минимальное значение показателя RMS было достигнуто при значении параметра Ä, равном 0.75. При этом RMS для полного изображения равно 0.00221, а для области вблизи дефекта – 0.00127. Таким образом, качество шумовой фильтрации в области вблизи дефекта оказалось лучше, чем для полного изображения.

Лучшее качество фильтрации управляемым фильтром в случае изображения размером 32 × 32 пикселя (табл. 1) было достигнуто при значении параметра ε, равном 0.4. Соответственно, показатели RMS для полного изображения и в области вблизи дефекта составили 0.00336 и 0.00410. Значение параметра ε = 0.4 выбрано в качестве оптимального, поскольку при нем достигается минимум RMS в окрестности вблизи дефекта, в то время как RMS, отвечающее всему изображению, продолжает уменьшаться с ростом параметра регуляризации ε. Интересно, что в отличие от вейвлет-фильтра качество фильтрации управляемым фильтром в окрестности вблизи дефекта оказывается несколько хуже, чем для полного изображения (табл. 1). При этом в случае применения вейвлет-фильтра имеет место лучшее качество фильтрации как полного изображения, так и изображения в окрестности вблизи дефекта.

Для сравнения величины отклонений от эталонного изображения для зашумленного изображения составили 0.00744 по всему изображению и 0.00694 для окрестности дефекта.

На рис. 3 показаны эталонное и зашумленное изображения размером 32 × 32 пикселя в сравнении с результатами фильтрации с помощью вейвлет и управляемым фильтрами.

 

Рис. 3. Изображения 32 × 32: эталонное (а), зашумленное (б), вейвлет-фильтр, параметр $∆$ = 0.75 (в), управляемый фильтр, параметры ρ = 1, ε = 0.4 (г).

 

Сравнение результатов фильтрации показывает, что управляемый фильтр равномерно уменьшает шум на всей площади изображения, в то время как одномерное вейвлет-преобразование эффективно удаляет следы шума, но оставляет артефакты (“слабые тени”), вытянутые вдоль горизонтального направления. По-видимому, причиной этого явления является применение одномерного вейвлет-преобразования (10) к 2D-изображению, вытянутому в одну строку длиной 32 × 32 пикселей.

Hа рис. 4 показаны соответствующие профили (сечения) эталонного, зашумленного и фильтрованного изображений. Рисунки 4а, 4б показывают профили, построенные вдоль отрезков, обозначенных цифрами 1, 2 на рис. 3а. Сравнение представленных кривых позволяет заключить, что в области вблизи дефекта результаты применения обоих фильтров практически совпадают. Рисунки 4в, 4г относятся к периферии изображения, где эталонное изображение имеет постоянную интенсивность. На рис. 4в показаны профили, взятые вдоль горизонтального направления, расположенного под дефектом (линия 3 на рис. 3а). Из рис. 4в видно, что кривые интенсивности, полученные в результате применения вейвлет-преобразования, практически повторяют поведение соответствующих профилей эталонного изображения, в то время как профили интенсивностей, полученные в результате применения управляемого фильтра, повторяют поведение соответствующих профилей зашумленного изображения с несколько меньшей амплитудой характерных изменений.

 

Рис. 4. Изображения 32 × 32. Профили интенсивности (а)–(г) вдоль отрезков, обозначенных на рис. 3а цифрами 1–4 соответственно. Сплошная линия – эталонное, штриховая – зашумленное, штрихпунктирная – вейвлет-фильтрации, точечная – управляемый фильтр.

 

Интересно, что похожее поведение демонстрируют профили изображения, полученные в результате применения управляемого фильтра, показанные на рис. 4г. Они построены вдоль вертикального отрезка, обозначенного цифрой 3 на рис. 3а. Отметим, что “вертикальные” профили интенсивности изображения, полученные в результате применения вейвлет-преобразования, показывают поведение, отличное от соответствующих профилей эталонного или зашумленного изображений. Как отмечалось выше, такое поведение (артефакт) обусловлено применением одномерного вейвлет-преобразования. Согласно [26, с. 111] подобные артефакты можно устранить, применяя вейвлет-преобразование последовательно к строкам и столбцам изображения.

Результаты применения вейвлет- и управляемого фильтров к изображению размером 16 × 16 пикселей приведены в табл. 2. В результате обработки этого изображения с помощью вейвлет-фильтра минимальное значение RMS было достигнуто при значении параметра Ä = 0.8 и составило 0.00482 для полного изображения и 0.00633 для окрестности дефекта. В случае управляемого фильтра эти величины RMS равны 0.00424 и 0.00454 соответственно при значении параметра регуляризации ε = 0.5. Подобно случаю изображения 32 × 32 пикселя при данном параметре ε = 0.5 значения RMS = 0.00424 и 0.00454 относятся к области 12 × 10 пикселей вблизи дефекта.

Для области 12 × 10 пикселей вблизи дефекта результат применения управляемого фильтра по сравнению с вейвлет-фильтром несколько лучше (табл. 2), в то время как качество фильтрации полного изображения практически одинаково. Расчетные RMS составили 0.00912 для полного изображения и 0.00880 для области вблизи дефекта. Согласно результатам вычислительных вейвлет-экспериментов (табл. 1, 2) повышение ранга анализируемого изображения от значения 16 к 32 приводит к улучшению показателя RMS.

Таким образом, при увеличении общего числа (N × N)-пикселей зашумленных изображений показатель RMS их вейвлет-фильтрации будет улучшаться.

На рис. 5 показаны изображения 16 × 16 пикселей. Для снижения уровня шумовой составляющей были применены вейвлет- и управляемый фильтры соответственно (рис. 3).

 

Рис. 5. Изображения 16 × 16: эталонное (а), зашумленное (б), вейвлет-фильтр, параметр $∆$ = 0.8 (в), управляемый фильтр, параметры ρ = 1, ε = 0.5 (г).

 

Аналогично тому, как это было в случае изображения 32 × 32 пикселей, рассчитанные профили интенсивностей показаны на рис. 6.

 

Рис. 6. Изображения 16 × 16. Профили интенсивности (а)–(г) вдоль отрезков, обозначенных на рис. 5 цифрами 1–4 соответственно. Сплошная линия – эталонное, штриховая – зашумленное, штрихпунктирная – вейвлет-фильтрации, точечная – управляемый фильтр.

 

Анализ профилей, представленных на рис. 6, показывает, что в области вблизи дефекта результаты фильтрации с помощью обоих фильтров практически совпадают. В периферийных областях изображения результаты фильтрации различаются. Поведение профилей интенсивностей, полученных с помощью управляемого фильтра, в значительной степени повторяет поведение профилей интенсивностей зашумленного изображения в этих областях с меньшей амплитудой колебаний. Зависимость профилей интенсивностей, полученных с помощью вейвлет-фильтра, в горизонтальном и вертикальном направлениях заметно отличаются друг от друга. В случае “горизонтальных” профилей интенсивностей они близки к соответствующим профилям эталонного изображения, в то время как во втором случае поведение профилей интенсивности по крайней мере визуально не связано ни с одним из двух профилей эталонного и зашумленного изображения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведен сравнительный анализ применения методов управляемого фильтра и вейвлет-преобразования, имеющих своей целью снижение уровня гауссовского шума на рентгеновских проекционных изображениях внедренного в кристалл Si(111) точечного дефекта кулоновского типа. Всесторонние вычислительные эксперименты показывают, что данные методы работают с приемлемой точностью и могут использоваться на практике для шумовой обработки дифракционных 2D-изображений в рентгеновской дифракционной микротомографии кристаллических структур. Отметим, что применение вейвлет-фильтра к зашумленным изображениям приводит к появлению “теней” в области прямого контраста точечного дефекта, в то время как применение управляемого фильтра – к некоторым флуктуациям интенсивности вдали от области прямого контраста точечного дефекта.

Проведенное в работе сравнение шумовой фильтрации с помощью управляемого, формулы (2)–(5), и вейвлет-, формулы (9)–(12), алгоритмов дает основание заключить, что оба фильтра работают в равной степени эффективно. То есть анализ применения алгоритмов вейвлет-фильтрации и управляемого фильтра позволяет уже сейчас определить возможные направления и пути их модификации с целью дальнейшего улучшения качества шумовой фильтрации рентгеновских дифракционных 2D-изображений для компьютерной 3D-реконструкции наноразмерных дефектов кристаллических структур.

Работа проведена в рамках выполнения работ по Государственному заданию НИЦ “Курчатовский институт” и Института прикладной математики и автоматизации – филиал Федерального научного центра “Кабардино-Балкарский научный центр РАН”.

About the authors

V. I. Bondarenko

Shubnikov Institute of Crystallography of Kurchatov Complex of Crystallography and Photonics of NRC “Kurchatov Institute”

Author for correspondence.
Email: bondarenko.v@crys.ras.ru
Russian Federation, 119333 Moscow

S. S. Rekhviashvili

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS

Email: bondarenko.v@crys.ras.ru
Russian Federation, 360000 Nalchik

F. N. Chukhovskii

Shubnikov Institute of Crystallography of Kurchatov Complex of Crystallography and Photonics of NRC “Kurchatov Institute”; Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS

Email: bondarenko.v@crys.ras.ru
Russian Federation, 119333 Moscow; 360000 Nalchik

References

Supplementary files