Determination of optimal directions of the wave vector of the phase holographic grating in cubic photorefractive crystal

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Фоторефрактивные кристаллы занимают особое место среди неорганических голографических материалов, поскольку они обладают более высокими эксплуатационными характеристиками (механическая и термическая прочность, химическая устойчивость и др.) по сравнению с фоточувствительными полимерами, галоидосеребряными эмульсиями и бихромированной желатиной, а также допускают запись и считывание сверхглубоких голографических решеток [1]. Кроме того, такие кристаллы позволяют осуществлять запись голографической решетки в режиме реального времени, а за счет электрооптического эффекта допускают эффективное электрическое управление условиями дифракции световых волн [2]. Указанные особенности фоторефрактивных кристаллов обусловили их широкое использование в качестве фоточувствительных сред при создании элементной базы голографических интерферометров, оптических модуляторов, дифракционных фильтров и иных устройств [2, 3].

Вследствие бурного развития биомедицинских и информационно-коммуникационных технологий сфера практического применения фоторефрактивных кристаллов в последние годы существенно расширилась. Достигнут прогресс при изучении способов использования фоторефрактивных сегнетоэлектриков LiNbO₃:Fe в биологии и медицине, благодаря которому открыты новые горизонты научных и технологических возможностей. В настоящее время перечень возможных биомедицинских технологий, в которых применяются фоторефрактивные кристаллы, включает в себя такие направления, как клеточная биология, передача сигналов, проблемы регенерации, противоопухолевого действия и клеточной биоинженерии [4]. Кристаллы Bi₁₂SiO₂₀ и CdTe рассматриваются в качестве фоторегистрирующих сред в детекторах оптического излучения, которые используются в системах позитронно-эмиссионной томографии [5]. В настоящее время также изучается возможность использования сегнетоэлектриков LiNbO₃:Fe в системах голографического шифрования и дешифрования [6]. В [7] предложена возможность применения фоторефрактивных кристаллов для нейроморфных вычислений в телекоммуникационных приложениях.

Кристаллы Bi₁₂SiO₂₀ (BSO), Bi₁₂TiO₂₀ (BTO), Bi₁₂GeO₂₀ (BGO) образуют перспективный для записи и считывания голографических решеток класс фоторефрактивных сред. Такие кристаллы обладают меньшим временем фоторефрактивного отклика по сравнению с кристаллами BaTiO₃, LiNbO₃, SBN и могут использоваться в устройствах, работающих в режиме реального времени [2, 8]. Этим кристаллам присуща оптическая активность, что обусловливает возникновение комплекса поляризационных эффектов при записи и считывании голографических решеток [8]. В настоящее время активно анализируются особенности взаимодействия световых пучков с кубическими фоторефрактивными кристаллами [9–11]. В [9] на примере монокристаллического образца BSO выполнен анализ применимости метода λ-модуляции для изучения процессов, определяющих поглощение света в кристаллах силленитов, по оптическому пропусканию плоскопараллельных образцов. Использование такой методики позволяет осуществлять идентификацию внутрицентровых переходов и в других кристаллах класса силленитов, в том числе легированных различными примесями. Динамика фотоиндуцированного поглощения и записи голографических решеток в кристалле BSO изучена в [10]. Установлено, что существуют два механизма записи голографических решеток с временами жизни, различающимися на три порядка, причем вклад каждого механизма существенно зависит от интенсивности лазерного излучения. В [11] предложена схема адаптивного интерферометра, в которой используется ортогональная схема двухволнового взаимодействия в оптически активном фоторефрактивном кристалле.

Важной задачей при изучении особенностей записи и считывания голографической решетки в фоторефрактивном кристалле является установление условий эксперимента, при которых достигаются наибольшие значения выходных энергетических характеристик голограммы (дифракционная эффективность, коэффициент усиления предметной волны). Как показано, например, в [12–14], решение этой задачи во многом зависит от выбора направления волнового вектора голографической решетки (далее – вектор решетки) в кристаллографической системе координат. В [12] теоретически и экспериментально исследована зависимость коэффициента усиления при двухволновом взаимодействии в пропускающей геометрии от пространственной ориентации фоторефрактивных кристаллов GaAs:Cr и InP:Fe. Выявлено, что при подходящих экспериментальных условиях для кристаллических пластин, вырезанных в плоскости (100), может достигаться 50% максимально возможного коэффициента усиления предметной волны. Зависимость коэффициента усиления при двухволновом взаимодействии от направления вектора решетки в кристаллографической системе координат для кристаллов BSO и BTO исследована в [13]. Найдено, что в пропускающей геометрии направление [111] является выгодным только в случае, если удельное вращение кристалла пренебрежимо мало, поскольку оптическая активность обусловливает смещение оптимального направления вектора голографической решетки к оси [001]. Зависимость дифракционной эффективности пропускающей голограммы, сформированной в кристалле BGO при приложении внешнего постоянного электрического поля вдоль направления [110], от ориентации вектора решетки при его вращении в плоскости (110) изучена в [14]. Показано, что наибольшая эффективность дифракции достигается при ориентации вектора решетки под углами ±30° к направлению [110] и обусловливает двукратное увеличение дифракционной эффективности.

Был опубликован ряд работ (например, [15–17]), в которых более детально изучались условия достижения наибольших значений выходных энергетических характеристик пропускающих голограмм, сформированных в кубических фоторефрактивных кристаллах. В [15] теоретически получено, что в оптически активном фоторефрактивном пьезокристалле класса симметрии 23 наибольший коэффициент усиления при двухволновом взаимодействии может достигаться в кристаллических образцах среза (110). Более общий случай рассмотрен в работе [16], в которой исследована зависимость дифракционной эффективности пропускающей голограммы от ориентации вектора решетки, напряженности приложенного к кристаллу постоянного электрического поля и входной поляризации световых волн. В отличие от [12–16], где рассматривались только фазовые голограммы, в [17] анализировалась задача о нахождении оптимальных ориентаций вектора решетки, при которых достигаются наибольшие выходные энергетические характеристики фазово-амплитудной голограммы. Определены кристаллические срезы, для которых достигается наибольшая дифракционная эффективность фазово-амплитудных голограмм. Полученные результаты могут быть использованы для совершенствования оптических устройств, в которых используются в качестве фоточувствительных сред кристаллы BTO.

Условия достижения наибольших значений выходных энергетических характеристик отражательной голограммы в зависимости от ориентации ее волнового вектора в кристаллографической системе координат изучены в [18–20]. При изучении зависимостей дифракционной фазовой отражательной голограммы и относительной интенсивности предметной волны от толщины установлено [18, 19], что для фоторефрактивных кристаллов класса симметрии 23 существует критическое значение толщины. Если толщина кристалла меньше критической, то наибольшие значения выходных энергетических характеристик отражательной голограммы при оптимальных условиях могут достигаться для срезов семейства {100}, а для остальных значений толщины максимум достигается для срезов семейства {111}. В [20] получены уравнения связанных волн, пригодных для описания встречного взаимодействия на отражательной фазово-амплитудной решетке при произвольной ориентации кристалла с учетом электрооптического и пьезоэлектрического эффектов, а также оптической активности и поглощения кристалла. Исследована зависимость эффективности внутримодовых и межмодовых процессов при встречном двухволновом взаимодействии в кристалле ВТО от угла между волновым вектором решетки и кристаллографической осью [001].

Несмотря на наличие большого количества работ по тематике исследования, остается открытым следующий вопрос: для каких направлений вектора решетки в фоторефрактивном кристалле класса симметрии 23 может быть достигнута максимальная амплитуда модуляции показателя преломления кристалла. Для получения ответа на этот вопрос следует для каждого направления вектора решетки в кристаллографической системе координат построить указательную поверхность [21] нормальной составляющей изменения компонент обратного тензора диэлектрической проницаемости кристалла и найти соответствующие ей экстремальные значения. Решение этой задачи позволит установить такие направления вектора решетки, для которых могут быть достигнуты максимальные значения выходных энергетических характеристик голограммы.

Таким образом, целью настоящей работы является нахождение экстремальных направлений вектора решетки в фоторефрактивном кристалле BSO, для которых амплитуда модуляции показателя преломления фазовой решетки будет наибольшей. При расчетах нормальной составляющей изменения компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости кристалла BSO будет приниматься во внимание совместное действие линейного электрооптического, фотоупругого и обратного пьезоэлектрического эффектов.

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пусть в кубическом фоторефрактивном кристалле класса симметрии 23 в результате взаимодействия двух линейно поляризованных световых волн в пропускающей (рис. 1а) или отражательной (рис. 1б) геометриях сформирована фазовая синусоидальная решетка. Единичные векторы n_r и n_s совпадают по направлению с волновыми нормалями опорной и предметной волн соответственно и лежат в плоскости падения (I). Векторные амплитуды R и S световых волн образуют углы ψ_r и ψ_s с единичными векторами e_r и e_s, которые лежат в плоскости (I) под прямыми углами к векторам n_r и n_s. Единичные векторы e₁ и e₂ принадлежат ортогональному базису (e₁, e₂, e₃), который зафиксирован относительно плоскости (I). Единичный вектор e₃ (не показан на рис. 1) совпадает по направлению с осью Oz, вдоль которой отсчитывается толщина кристалла. Угловые расстояния ϕ_r, ϕ_s соответствуют углам Брэгга и откладываются в плоскости (I) между осью Oz и направлениями векторов n_r, n_s соответственно. Вектор K является волновым вектором решетки. На рис. 1 параллельными линиями, перпендикулярными вектору решетки K, схематически отображены периодически расположенные фазовые плоскости голограммы, рассеивающие световые волновые фронты. Из сравнения рис. 1а и 1б видно, что при симметричном распространении световых волн для пропускающих голограмм волновой вектор K лежит в плоскости, содержащей векторы e₁ и e₂, а рассеивающие фазовые плоскости голограммы перпендикулярны этой плоскости. В случае отражательной голограммы волновой вектор K направлен вдоль оси Oz, а рассеивающие фазовые плоскости голограммы параллельны плоскости, содержащей векторы e₁ и e₂.

Рис. 1. Схема двухволнового взаимодействия в кубическом фоторефрактивном кристалле: а – пропускающая геометрия, б – отражательная геометрия.

Дифференциальные уравнения, пригодные для описания одновременной дифракции опорной и предметной световых волн на элементарной синусоидальной фазовой решетке, известны в литературе как уравнения Когельника [22] и в простейшем случае для кубического фоторефрактивного кристалла могут быть представлены в виде [2]:

$\frac{dR\left(z\right)}{dz}=i\frac{\mathrm{\pi }{n}_0^3}{2\lambda \cos {\phi }_R}\left({\mathbf{e}}_R^{*}∆\hat{\mathit{b}}{\mathbf{e}}_S\right)S\left(z\right),$ (1)

$\frac{dS\left(z\right)}{dz}=i\frac{\mathrm{\pi }{n}_0^3}{2\lambda \cos {\phi }_S}\left({\mathbf{e}}_S^{*}∆\hat{b}{\mathbf{e}}_R\right)R\left(z\right),$ (2)

где R и S – модули векторных амплитуд R и S; e_R и e_S – нормированные векторы поляризации опорной и предметной световых волн; $∆\hat{b}$ – изменение обратного тензора диэлектрической проницаемости кристалла; n₀ – показатель преломление невозмущенного кристалла; λ – длина световой волны; i – мнимая единица. В уравнениях (1) и (2) множитель πn₀³/(2λcosϕ_R,S) является постоянной связи, а тензорная свертка $\left({\mathbf{e}}_{R,S}^{*}∆\hat{b}{\mathbf{e}}_{S,R}\right)$ используется для задания амплитуды модуляции показателя преломления фазовой голограммы, записанной в фоторефрактивном кристалле.

Поскольку в работе анализируется случай, когда световые волны имеют линейную поляризацию, при рассмотрении уравнений (1) и (2) будем полагать, что e^*_R = e_R и e^*_S = e_S. Известно (например, [8]), что наибольшая глубина модуляции записывающей интерференционной картины при двухволновом взаимодействии достигается в случае, если векторные амплитуды линейно поляризованных световых волн параллельны друг другу (e_R = e_S) при их распространении в кристалле. С учетом этого и вследствие симметричности обратного тензора диэлектрической проницаемости  можно полагать, что (e_Re_S) = (e_Se_R). Таким образом, амплитуда модуляции показателя преломления фоторефрактивного кристалла может быть задана с использованием параметра

${\chi }_{mn}\left(e\right)=\mathbf{e}\Delta \widehat{b}\mathbf{e}=\Delta b_{mn}{e}_m{e}_n,$ (3)

где χ_mn – нормальная составляющая изменения компонент симметричного обратного тензора диэлектрической проницаемости фоторефрактивного кристалла; e = e_R = e_S – единичный вектор.

Аналитические выражения для нахождения компонент обратного тензора диэлектрической проницаемости фоторефрактивного кристалла класса симметрии 23 приведены в [23]:

$\begin{array}{c}{b}_{11}=p_1{n}_1{R}_1+p_2{n}_2{R}_2+p_3{n}_3{R}_3,\\ b_{22}=p_1{n}_2{R}_2+p_2{n}_3{R}_3+p_3{n}_1{R}_1,\\ b_{33}=p_1{n}_3{R}_3+p_2{n}_1{R}_1+p_3{n}_2{R}_2,\\ b_{12}=b_{21}=p_4(n_1{R}_2+n_2{R}_1)+r_{41}{n}_3,\\ b_{13}=b_{31}=p_4(n_1{R}_3+n_3{R}_1)+r_{41}{n}_2,\\ b_{23}=b_{32}=p_4(n_2{R}_3+n_3{R}_2)+r_{41}{n}_1,\end{array}$

$\begin{array}{c}{R}_1={\gamma }_{11}{Q}_1+{\gamma }_{12}{Q}_2+{\gamma }_{13}{Q}_3,R_2={\gamma }_{21}{Q}_1+{\gamma }_{22}{Q}_2+{\gamma }_{23}{Q}_3,\\ R_3={\gamma }_{31}{Q}_1+{\gamma }_{32}{Q}_2+{\gamma }_{33}{Q}_3,\\ {\gamma }_{11}=({\Gamma }_{22}{\Gamma }_{33}-{\Gamma }_{23}^2)/D,{\gamma }_{22}=({\Gamma }_{11}{\Gamma }_{33}-{\Gamma }_{13}^2)/D,\\ {\gamma }_{33}=({\Gamma }_{11}{\Gamma }_{22}-{\Gamma }_{12}^2)/D,\\ {\gamma }_{12}={\gamma }_{21}=({\Gamma }_{13}{\Gamma }_{23}-{\Gamma }_{12}{\Gamma }_{33})/D,\\ {\gamma }_{13}={\gamma }_{31}=({\Gamma }_{12}{\Gamma }_{23}-{\Gamma }_{13}{\Gamma }_{22})/D,\\ {\gamma }_{23}={\gamma }_{32}=({\Gamma }_{12}{\Gamma }_{13}-{\Gamma }_{11}{\Gamma }_{23})/D,\end{array}$

$\begin{array}{c}D={\Gamma }_{11}({\Gamma }_{22}{\Gamma }_{33}-{\Gamma }_{23}^2)-{\Gamma }_{22}{\Gamma }_{13}^2-{\Gamma }_{33}{\Gamma }_{12}^2+2{\Gamma }_{12}{\Gamma }_{13}{\Gamma }_{23}\\ {\Gamma }_{11}=c_1{n}_1^2+c_3(n_2^2+n_3^2),{\Gamma }_{22}=c_1{n}_2^2+c_3(n_1^2+n_3^2),\\ {\Gamma }_{33}=c_1{n}_3^2+c_3(n_1^2+n_2^2),\\ {\Gamma }_{12}={\Gamma }_{21}=n_1{n}_2(c_2+c_3),{\Gamma }_{13}={\Gamma }_{31}=n_1{n}_3(c_2+c_3),\\ {\Gamma }_{23}={\Gamma }_{32}=n_2{n}_3(c_2+c_3),\\ Q_1=2e_{14}{n}_2{n}_3,Q_2=2e_{14}{n}_1{n}_3,Q_3=2e_{14}{n}_1{n}_2.\end{array}$

Здесь приняты следующие обозначения для ненулевых компонентов тензоров линейного электрооптического (${\hat{r}}^S$), фотоупругого (${\hat{p}}^E$) и обратного пьезоэлектрического ($\hat{e}$) эффектов, а также компонентов тензора упругости (${\hat{c}}^E$): $r_{123}^S=r_{132}^S=r_{213}^S=r_{231}^S=r_{312}^S=r_{321}^S\equiv r_{41},$ $r_{123}^S=r_{132}^S=r_{213}^S=r_{231}^S=r_{312}^S=r_{321}^S\equiv r_{41},$ $e_{123}=e_{132}=e_{213}=e_{231}=e_{312}=e_{321}\equiv e_{14},$ $e_{123}=e_{132}=e_{213}=e_{231}=e_{312}=e_{321}\equiv e_{14},$ $c_{11}^E=c_{22}^E=c_{33}^E\equiv c_1,$ $c_{12}^E=c_{13}^E=c_{23}^E=c_{21}^E=c_{31}^E=c_{32}^E\equiv c_2,$ $c_{12}^E=c_{13}^E=c_{23}^E=c_{21}^E=c_{31}^E=c_{32}^E\equiv c_2,$ $c_{44}^E=c_{55}^E=c_{66}^E\equiv c_3,$ $p_{11}^E=p_{22}^E=p_{33}^E\equiv p_1,$ $p_{12}^E=p_{23}^E=p_{31}^E\equiv p_2,$ $p_{13}^E=p_{21}^E=p_{32}^E\equiv p_3,$ $p_{13}^E=p_{21}^E=p_{32}^E\equiv p_3,$ $p_{44}^E=p_{55}^E=p_{66}^E\equiv p_4$. Индекс S для тензора линейного электрооптического эффекта r^S означает, что компонента r₄₁ тензора линейного электрооптического эффекта измерялась для зажатого кристалла; компоненты тензоров упругости c^E и фотоупругого эффекта p^E измерялись при постоянном электрическом поле. Параметры n₁, n₂, n₃ являются направляющими единичного вектора n в кристаллографической системе координат, который параллелен вектору решетки К. В приведенных выражениях тензор $\hat{\gamma }$ является обратным к тензору $\hat{\Gamma }$ с компонентами ${\Gamma }_{ik}^E=c_{ijkl}^E{n}_j{n}_l$, где $c_{ijkl}^E$ – компоненты тензора упругости c^E.

При расчетах использовались следующие значения физических параметров кристалла ВSО: показатель преломления невозмущенного кристалла n₀ = 2.54 при λ = 633 × 10^–9 м [2]; электрооптический коэффициент r₄₁ = 5 × 10^–12 м/В [2]; коэффициенты упругости c₁ = 12.96 × 10¹⁰, c₂ = 2.99 × × 10¹⁰, c₃ = 2.45 × 10¹⁰ Н/м² [24]; коэффициенты фотоупругости p₁ = –0.16, p₂ = –0.13, p₃ = –0.12, p₄ = –0.015 [25]; пьезоэлектрический коэффициент e₁₄ = 1.12 К/м² [24].

Методика расчета указательной поверхности, используемой для исследования зависимости наибольших значений амплитуды модуляции показателя преломления фоторефрактивного кристалла от направления вектора решетки К, заключается в следующем. Сначала фиксируется направление вектора решетки К в кристаллографической системе координат и на основании приведенных в [23] аналитических выражений вычисляются компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости фоторефрактивного кристалла. С использованием выражения (3) строится указательная поверхность χ(е), определяется максимальное значение параметра χ^max, которое ставится в соответствие вектору решетки К. Далее такая процедура повторяется для других направлений вектора К, в результате чего формируется массив значений параметра χ^max, каждый из которых соответствует своему направлению вектора К в кристаллографической системе координат. Для построения искомой указательной поверхности по всем возможным направлениям вектора К, исходящим из начала кристаллографической системы координат, откладываются отрезки, равные по длине соответствующему численному значению χ^max. Концы этих отрезков в совокупности образуют указательную поверхность. Для некоторых направлений нормальная составляющая χ^max может принимать отрицательные значения. Поэтому при построении указательной поверхности принималось следующее правило: если параметр χ^max имеет положительный знак, то соответствующая точка поверхности окрашивается в светло-серый цвет, а если χ^max имеет отрицательное значение – в темно-серый.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

На рис. 2 представлена указательная поверхность, которая используется для отображения зависимости χ^max(θ, φ) и получена для кристаллического образца с параметрами BSO. Вставка на рис. 2 приведена для иллюстрации описанной методики расчета и построения указательной поверхности: при фиксированном векторе К (θ, φ = const) значение χ^max определяется в результате нахождения максимума функции χ(α, β). Указательная поверхность представляет собой фигуру, которая состоит из восьми симметрично расположенных и равных между собой яйцеобразных областей: четырех светло-серых и четырех темно-серых. В соответствии с принципом Неймана [21] элементы внешней симметрии указательной поверхности включают в себя элементы точечной группы кристалла класса симметрии 23: кристаллографическим направлениям <100> соответствуют поворотные оси второго порядка, а кристаллографическим направлениям <111>, которые совпадают с диагоналями куба, соответствуют поворотные оси третьего порядка.

Рис. 2. Указательная поверхность, иллюстрирующая зависимость χᵐᵃˣ от направления вектора решетки К в кристаллографической системе координат.

Светло-серая и темно-серая фигуры, из которых составлена указательная поверхность на рис. 2, по отдельности представлены на рис. 3а и 3б. Как видно из построения, внешняя симметрия светло-серых и темно-серых фигур соответствует симметрии точечной группы кристалла BSO, а сами фигуры могут быть совмещены друг с другом при их вращении относительно точки отсчета. Вдоль поворотных осей второго порядка достигаются одинаковые значения χ^max. Если рассматривать значения параметра χ^max, достигаемые вдоль поворотных осей третьего порядка, то можно заметить, что они существенно различаются. Например, для светло-серой фигуры вдоль направления [111] параметр χ^max равен нулю, а вдоль направления [1 1 1] параметр χ^max приблизительно равен 16.

Рис. 3. Светло-серая (а) и темно-серая (б) части указательной поверхности, представленной на рис. 2.

Видимое на рис. 2 соприкосновение светло-серой и темно-серой частей указательной поверхности происходит по границам, лежащим в плоскостях, параллельных срезам {100} и проходящих через начало системы координат. На этих границах при переходе между областями с разными знаками χ^max не равен нулю, а происходит скачок между равными по модулю и различными по знаку значениями χ^max. Это обусловлено тем, что светло-серая и темно-серая части указательной поверхности по сути являются отдельными фигурами (рис. 3), точки отсчета которых на рис. 2 пространственно совмещены. В результате формируется указательная поверхность, составленная из кусков поверхностей светло-серой и темно-серой фигур, которым соответствуют значения χ^max. Истинной точкой касания этих фигур при их совмещении (не видна рис. 2) является начало отсчета системы координат, в котором значение нормальной составляющей обращается в нуль. Таким образом, видимые на рис. 2 границы соприкосновения фигур являются линиями их “сшивания” при пространственном совмещении.

При рассмотрении указательной поверхности на рис. 2 является существенным вопрос о нахождении направлений вектора решетки К, для которых оптимизированное по направлению вектора е значение нормальной составляющей χ^max компонент симметричного обратного тензора диэлектрической проницаемости фоторефрактивного кристалла принимает экстремальное значение и чему оно равняется. Для решения этой задачи проанализируем сечения представленной на рис. 2 указательной поверхности плоскостями, проходящими через начало координат и параллельными плоскостям срезов (100) (рис. 4), (110) (рис. 5) и (112) (рис. 6). На рис. 4а, 5а и 6а схематически отображено взаимное расположение секущих плоскостей и указательной поверхности в кристаллографической системе координат (x₁, x₂, x₃). На рис. 4б, 5б и 6б изображены сечения указательной поверхности: светло-серые линии – это следы пересечения секущей плоскости с окрашенной в светло-серый цвет частью указательной поверхности; темно-серые линии – это следы пересечения секущей плоскости с окрашенной в темно-серый цвет частью указательной поверхности. Штриховые окружности на этих рисунках являются дополнительным построением и приведены для облегчения нахождения экстремальных направлений на сечениях указательной поверхности. Радиус штриховой окружности равен наибольшему значению параметра χ^max, которое достигается для этого сечения.

Рис. 4. Схема, отображающая взаимное расположение указательной поверхности и секущей плоскости, параллельной плоскости среза (100) и проходящей через начало кристаллографической системы координат (а); следы пересечения светло-серой и темно-серой частей указательной плоскости с секущей плоскостью (б).

Рис. 5. Схема, отображающая взаимное расположение указательной поверхности и секущей плоскости, параллельной плоскости среза (110) и проходящей через начало кристаллографической системы координат (а); следы пересечения светло-серой и темно-серой частей указательной плоскости с секущей плоскостью (б).

Рис. 6. Схема, отображающая взаимное расположение указательной поверхности и секущей плоскости, параллельной плоскости среза (112) и проходящей через начало кристаллографической системы координат (а); следы пересечения светло-серой и темно-серой частей указательной плоскости с секущей плоскостью (б).

Приведенный на рис. 4 случай соответствует голографическим конфигурациям, распространенным при записи как пропускающей, так и отражательной решеток. Случай, когда вектор решетки К параллелен одному из симметрично эквивалентных направлений <100>, наиболее распространен при записи отражательных голограмм [18–20]. Случай, когда вектор К параллелен одному из симметрично эквивалентных направлений <110>, встречается при изучении свойств пропускающих голограмм [16, 17]. Представленное на рис. 4б сечение является геометрическим местом точек соприкосновения поверхностей светло-серой и темно-серой фигур. Как видно из построения, для любого кристаллографического направления в плоскости сечения параметр χ^max отличен от нуля и его значение изменяется в зависимости от направления вектора К. Вдоль кристаллографических направлений [0 1 1], [0 1 1], [0 1 1] и [0 1 1] параметр χ^max достигает бóльших значений (χ^max ≈ 11) по сравнению со случаями, когда вектор решетки параллелен кристаллографическим осям [010] и [001]. С учетом внешней симметрии указательной поверхности, представленной на рис. 2, можно утверждать, что при ориентации вектора решетки К вдоль всех симметрично эквивалентных направлений <110> достигаются бóльшие значения параметра χ^max по сравнению с направлениями <100>.

Рассмотрение сечения, представленного на рис. 4б, не позволяет судить, являются ли направления <110> экстремальными для указательной поверхности. Для ответа на этот вопрос рассмотрим сечение указательной поверхности плоскостью, параллельной (110) и представленной на рис. 5б. Такая голографическая конфигурация рассмотрена во многих работах, где исследовались ориентационные зависимости выходных энергетических характеристик пропускающей голограммы в фоторефрактивном кристалле среза (110). В этом случае при изменении ориентационного угла кристалла за счет его вращения относительно направления [110] происходит вращение вектора пропускающей решетки К в плоскости сечения [17].

Сечение указательной поверхности плоскостью, параллельной (110), позволяет сравнить нормальные составляющие изменения компонент обратного тензора диэлектрической проницаемости кристалла в симметрично эквивалентных направлениях <100>, <110> и <111>. Как видно из рис. 5б, достигаемые значения параметра χ^max в симметрично эквивалентных направлениях <100> и <110> не являются максимально возможными. Штриховая окружность на рис. 5б имеет больший радиус, чем на рис. 4б, и касается сечения указательной поверхности вдоль диагоналей куба. Следовательно, экстремальными направлениями рассматриваемого сечения являются оси [1 1 1], [1 1 1], [1 1 1] и [1 1 1]. С учетом внешней симметрии указательной поверхности можно утверждать, что ее экстремальными направлениями являются направления, симметрично эквивалентные <111>. При этом достигаемое значение параметра χ^max составляет 16 и приблизительно на 50% превышает значение χ^max, которое достигается вдоль направлений <100>, что совпадает с выводами [12]. Таким образом, наибольшая амплитуда модуляции показателя преломления достигается при ориентации его волнового вектора вдоль одного из направлений семейства <111>.

Рассмотрим практически важный случай, когда голографическая решетка записывается в кристалле BSO среза (112) (рис. 6). Такая голографическая конфигурация может быть использована как при записи пропускающих [16], так и отражательных голограмм [19]. Как видно из построения, наибольшие значения χ^max ≈ 16 достигаются при ориентации вектора решетки К вдоль направлений [1 1 1] и [1 1 1]. Вдоль остальных направлений в плоскости сечения достигаемые значения χ^max имеют меньшие значения.

Величина амплитуды модуляции показателя преломления в фоторефрактивном кристалле является ключевым факторов, влияющим на интенсивность предметной волны. Отметим, что при решении задачи о нахождении наибольших значений выходных энергетических характеристик голограммы в кубическом фоторефрактивном кристалле необходимо учитывать поляризацию световых волн, а также оптическую активность, поглощение и толщину кристаллической среды.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Дифракционная эффективность фазовой голографической решетки и коэффициент усиления при двухволновом взаимодействии во многом зависят от амплитуды модуляции показателя преломления фоторефрактивного кристалла. Для нахождения направлений волнового вектора голографической решетки в кристаллографической системе координат, при которых достигаются экстремальные значения амплитуды модуляции показателя преломления, была построена и изучена указательная поверхность максимальных значений нормальной составляющей изменения компонент обратного тензора диэлектрической проницаемости, рассчитанной для кристалла BSO. Элементы внешней симметрии указательной поверхности в соответствии с принципом Неймана включают в себя элементы точечной группы симметрии кубического кристалла класса симметрии 23.

В результате анализа сечений указательной поверхности установлено, что наибольшего изменения показателя преломления кристалла BSO при записи в ней голограммы можно достичь в случае, когда волновой вектор решетки ориентирован вдоль одного из симметрично эквивалентных направлений <111>. Причем в этом случае величина амплитуды модуляции показателя преломления оказывается существенно больше, чем в случае ориентации волнового вектора голографической решетки вдоль симметрично эквивалентных направлений <100> или <110>. Если сравнивать кристаллографические направления <100> и <110>, то наибольшее изменение показателя преломления в кристалле BSO достигается в случае, если волновой вектор голограммы направлен вдоль <110>.

Полученные в работе выводы о направлениях максимальных изменений компонент обратного тензора диэлектрической проницаемости относятся только к кристаллическим образцам с параметрами BSO. Для фоторефрактивных кристаллов класса симметрии 23 (BTO, BGO) и 43m (InP, GaAs) направления, вдоль которых достигаются наибольшие значения χ^max, могут отличаться от найденных для кристалла BSO экстремальных направлений. Это обусловлено тем, что компоненты тензоров линейного электрооптического, фотоупругого и обратного пьезоэлектрического эффектов различаются по величине для этих кристаллов, что, как показало численное моделирование, существенно влияет на форму указательной поверхности и приводит к смещению ее экстремальных направлений. Определение экстремальных направлений остальных фоторефрактивных кристаллов класса симметрии 23 и 43m требует их дополнительного рассмотрения.

Автор выражает благодарность рецензенту за внимательное прочтение рукописи и сделанные замечания, что способствовало повышению научного уровня работы и ее информативности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь (договор от 22.03.2021 № 1410/2021) в рамках Государственной программы научных исследований № 6 “Фотоника и электроника для инноваций” на 2021–2025 гг. (задание 6.1.14).

About the authors

V. N. Naunyka

Author for correspondence.
Email: valnav@inbox.ru
Belarus, 247760, Mozyr

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1.

Download (116KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2.

Download (97KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3.

Download (217KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4.

Download (135KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5.

Download (152KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6.

Download (164KB)

Indexing metadata