A non-classical optimal control problem with operator hysteresis nonlinearities

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

This article considers a non-classical optimal control problem, in which the dynamics of an object is described by a system of differential operator equations with a hysteresis converter on the right side. The hysteresis dependence is formalized using an analogue of the Preisach converter with inverted threshold numbers, which reflects the nonlinear and multivalued dependence of consumer demand on the price of goods. This allows to take into account the “history” of consumer relations over a finite time interval. The problem of optimal production, storage and sales of products on a mono-commodity market under conditions of a hysteresis demand function has been set and solved. The conditions of solvability of the problem under the conditions of applicability of the maximum principle of L. S. Pontryagin are given. The conditions under which the solution is unique are given. The article also presents the results of computational experiments in which optimal control actions for the model case are identified.

About the authors

S. V. Borzunov

Voronezh State University

Email: mkl150@mail.ru
Russian Federation, Voronezh

P. A. Meleshenko

Voronezh State University

Email: mkl150@mail.ru
Russian Federation, Voronezh

V. A. Nesterov

Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: mkl150@mail.ru
Russian Federation, Moscow

M. E. Semenov

Voronezh State University; Voronezh State Technical University; Federal State Budgetary Educational Institution Federal Research Center “Geophysical Survey of Russia Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: mkl150@mail.ru
Russian Federation, Voronezh; Voronezh;

A. M. Solovyov

JSC Concern Sozvezdie

Email: mkl150@mail.ru
Russian Federation, Voronezh

References

  1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука, 1983. 392 с.
  2. Bagagiolo F. Dynamic Programming for Some Optimal Control Problems with Hysteresis // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2002. V. 9. P. 149–174.
  3. Bagagiolo F. Viscosity Solutions for an Optimal Control Problem with Preisach Hysteresis Nonlinearities // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. 2004. V. 10. P. 271–294.
  4. Belbas S.A., Mayergoyz I.D. Dynamic Programming for Systems with Hysteresis // Physica B. 2001. V. 306. P. 200–205.
  5. Belbas S.A., Mayergoyz I.D. Optimal Control of Dynamical Systems with Preisach Hysteresis // Intern. J. Non-Linear Mechanics. 2002. V. 37. P. 1351–1361.
  6. Carboni B., Lacarbonara W., Brewick P.T., Masri S.F. Dynamical Response Identification of a Class of Nonlinear Hysteretic Systems // J. Intelligent Material Systems and Structures. 2018. V. 29 № 13. P. 2795–2810.
  7. Lacarbonara W., Vestroni F. Nonclassical Responses of Oscillators with Hysteresis // Nonlinear Dynamics. 2003. V. 32. P. 235–258.
  8. Li Y., Zhou S., Litak G. Robust Design Optimization of a Nonlinear Monostable Energy Harvester with Uncertainties // Meccanica. 2020. V. 55. P. 1753–1762.
  9. Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семенов М.Е., Соловьев А.М. Неустойчивые колебательные системы с гистерезисом: задачи стабилизации и управления // Изв. РАН. ТиСУ. 2020. № 4. С. 58–82.
  10. Pei J.S., Carboni B., Lacarbonara W. Mem-models as Building Blocks for Simulation and Identification of Hysteretic Systems // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 100. № 2. P. 973–998.
  11. Semenov M.E., Solovyov A.M., Meleshenko P.A., Reshetova O.O. Efficiency of Hysteretic Damper in Oscillating Systems // Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 2020. V. 15. P. 43-1–43-14.
  12. Semenov M.E., Reshetova O.O., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. Self-oscillations in a System with Hysteresis: the Small Parameter Approach // The European Physical Journal: Special Topics. 2021. V. 230. P. 3565–3571.
  13. Медведский А.Л., Мелешенко П.А., Нестеров В.А., Решетова О.О., Семенов М.Е. Динамика гистерезисно-связанных осцилляторов Ван-дер-Поля: метод малого параметра // Изв. РАН. ТиСУ. 2021. № 4. С. 7–26.
  14. Mayergoyz I.D. Mathematical Models of Hysteresis // Physical Review Letters, 1986. V. 56. № 15. P. 1518–1521.
  15. Borzunov S.V., Semenov M.E., Sel’vesyuk N.I., Meleshenko P.A. Hysteretic Converters with Stochastic Parameters // Mathematical Models and Computer Simulations. 2020. V. 12. № 2. P. 164-175.
  16. Semenov M.E., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. A New Way to Compute the Lyapunov Characteristic Exponents for Non-smooth and Discontinues Dynamical Systems // Nonlinear Dynamics. 2022. V. 109. P. 1805–1821.
  17. Mayergoyz I., Dimian M. Analysis of Spectral Noise Density of Hysteretic Systems Driven by Stochastic Processes // J. Applied Physics. 2003. V. 93. № 10. P. 6826–6828.
  18. Semenov M.E., Borzunov S.V., Meleshenko P.A. Stochastic Preisach Operator: Definition within the Design Approach // Nonlinear Dynamics. 2020. V. 101. P. 2599–2614.
  19. Brokate M., Krejčí P. Optimal Control of ODE Systems Involving a Rate Independent Variational Inequality // Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B. 2013. V. 18. № 2. P. 331–348.
  20. Cross R., McNamara H., Pokrovskii A.V., Rachinskii D. A New Paradigm for Modelling Hysteresis in Macroeconomic Flows // Physica B: Condensed Matter. 2008. V. 403. P. 231–236.
  21. Darby J., Cross R., Piscitelli L. Hysteresis and Unemployment: a Preliminary Investigation // The Science of Hysteresis / Eds G. Bertotti and I.D. Mayergoyz. Oxford: Academic Press. 2005. V. 1, Ch. 8. P. 667–699.
  22. Rios L., Rachinskii D., Cross R. A Model of Hysteresis Arising from Social Interaction Within a Firm // Journal of Physics: Conference Series. 2017. V. 811. № 1. P. 012011-1–012011-12.
  23. Rios L., Rachinskii D., Cross R. On the Rationale for Hysteresis in Economic Decisions // Journal of Physics: Conference Series. 2017. V. 811. № 1. P. 012012-1–012012-9.
  24. Borzunov S.V., Semenov M.E., Sel’vesyuk N.I., Meleshenko P.A., Solovyov A.M. Stochastic Model of the Hysteresis Converter with a Domain Structure // Mathematical Models and Computer Simulations. 2022. V. 14. № 2. P. 304–320.
  25. Cross R. Unemployment: Natural Rate Epicycles or Hysteresis? // Europ. J. Economics and Economic Policies: Intervention, Edward Elgar Publishing. 2014. V. 11. № 2. P. 136–148.
  26. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 272 с.
  27. Blanchard O., Wolfers J. The Roles of Shocks and Institutions in the Rise of European Unemployment: the Aggregate Evidence // Econ. J. 2000. V. 110. P. C1–C33.
  28. Mayergoyz I.D. The Classical Preisach Model of Hysteresis. In: Mathematical Models of Hysteresis. N.Y.: Springer, 1991. P. 1–63.
  29. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. Malabar, Florida, 1986. 576 p.
  30. Горский А.А., Колпакова И.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта товаров повседневного спроса // Изв. РАН. ТиСУ. 1998. № 1. C. 144-148.
  31. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. ТиСУ. 2000. № 2. C. 103–107.
  32. Параев Ю.И. Двухкритериальная задача оптимального производства и сбыта товара // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 1. С. 138-141.
  33. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Серия: Классические направления в математике). М.: МЦНМО, 2014. 341 с.
  34. Fedoryuk M.V. Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations. Springer, 2012. 363 p.
  35. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. Серия: Современные проблемы математики. М.: Наука, 1966. 331 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».