On partial stability in probability for nonlinear stochastic functional differential systems with aftereffect (delay)

Full Text

Введение. Интерес к системам стохастических функционально-дифференциальных уравнений c последействием (запаздыванием) возникает тогда, когда в процессе математического моделирования необходимо учитывать одновременно эффекты эредитарности (наследственности) и воздействия различных случайных факторов. В управляемых стохастических системах такая ситуация возникает, в частности, в случае фактически имеющего место или преднамеренного введения запаздывания в цепи обратной связи.

Задачи устойчивости относятся к практически важным задачам качественного анализа указанного класса систем. При этом в отечественной и зарубежной литературе главным образом анализируется задача устойчивости по отношению ко всем переменным нулевого положения равновесия; заменой переменных к такой задаче сводится задача устойчивости по всем переменным любого решения исходной системы. Основным методом исследования является прямой метод Ляпунова. Один из конструктивных вариантов этого метода разработан в [1—4]: стохастический вариант метода функционалов Ляпунова—Красовского. Анализируется два основных вида устойчивости: по вероятности (стохастическая устойчивость) и устойчивость в среднеквадратическом. В основе указанного метода лежат функциональная трактовка решений рассматриваемого класса систем, а также возможность представления используемых функционалов Ляпунова—Красовского в виде функции конечного числа переменных, для которой допустимо применение классической формулы Ито. Дальнейшее развитие метода возможно [5—8] с помощью функционалов более общего вида и разработки функционального аналога формулы Ито [9].

Для многих современных исследований наряду с задачами устойчивости по всем переменным важную роль также играют более общие задачи частичной устойчивости, изучение которых в значительной степени инициировала статья В.В. Румянцева [10] (см., например, обзор [11]). В рамках этих задач анализируются: устойчивость не по всем, а только по отношению к части переменных нулевого положения равновесия, и устойчивость по всем и по части переменных “частичного” (нулевого) положения равновесия как детерминированных, так и стохастических систем различной формы описания. Как и при изучении устойчивости по всем переменным, основным методом решения является прямой метод Ляпунова в соответствующей модификации. Применительно к классу систем стохастических функционально-дифференциальных уравнений для анализа задачи устойчивости по части переменных, наряду с методом функций Ляпунова [12, 13], используется подход, разработанный в научной школе Н.В. Азбелева [14, 15].

Предлагаемая в данной статье постановка задачи частичной устойчивости по вероятности и подход к ее решению на основе метода функционалов Ляпунова—Красовского дополняет круг указанных исследований. Далее рассматривается система нелинейных нестационарных функционально-дифференциальных уравнений с последействием (запаздыванием) общего вида, подверженных воздействию взаимно независимых случайных процессов “белого” шума. Предполагается, что система допускает “частичное” (по некоторой части переменных состояния) нулевое положение равновесия. Ставится задача устойчивости по вероятности этого положения равновесия; устойчивость рассматривается не по всем, а только по отношению к части определяющих его переменных. Для расширения возможностей используемого метода исследования также предлагается проводить корректировку области функционального пространства, в которой строятся вспомогательные функционалы. Допускаются выполненными квазилокальное условие Коши—Липшица и условие “линейного роста”, гарантирующие существование и единственность сильных “глобальных” решений изучаемой системы стохастических функционально-дифференциальных уравнений. Получены условия частичной устойчивости указанного вида.

1. Постановка задачи. Пусть τ > 0 — заданное число, Rⁿ — линейное пространство n-мерных векторов x с евклидовой нормой |x| = $\sqrt{{\mathrm{x}}_1^2+{\mathrm{x}}_2^2+\mathrm{...}+{\mathrm{x}}_{\mathrm{n}}^2}$ (x_i — i-я компонента вектора x), R₊ = [0, +∞). Сделаем разбиение x = (y^T, z^T)^T (T — знак транспонирования) вектора x на две части, где y ∈ R^m, z ∈ R^n-m (1 ≤ m < n). Если t₀, β ∈ R₊ и β > t₀, то для вектор-функции x(t): [t₀ – τ, β) → Rⁿ определим вектор-функцию x_t = x(t + θ) при θ ∈ [–τ, 0] (отображение θ $\mapsto$x(t + θ) при каждом фиксированном значении t) и сделаем разбиение x_t = (y_t^T, z_t^T)^T.

Допустим, что w(t) = [w₁(t), w₂(t), … , w_r(t)]^T — r-мерный случайный процесс, компоненты которого являются независимыми между собой одномерными стандартными винеровскими процессами, определенные при t ∈ R₊ на вероятностном пространстве (Ω, F, P); Ω — пространство элементарных событий {ω} с заданными на нем σ-алгеброй F измеримых множеств с фильтрацией и вероятностной мерой P: F → [0, 1].

Рассмотрим нелинейную нестационарную cистему стохастических функционально-дифференциальных уравнений в форме Ито [1—4, 16, 17]:

$d\mathit{x}\left(t\right)=\mathit{X}\left(t, {\mathit{x}}_{\mathbf{t}}\right)dt+\sum _{k=1}^r{\mathit{\sigma }}_k\left(t, {\mathit{x}}_t\right)d{w}_k\left(t\right)$,

которую с учетом указанного разбиения фазового вектора представим в виде

$$\begin{gathered} d\mathit{y}\left(t\right)=\mathit{Y}\left(t, {\mathit{y}}_{\mathrm{t}}, {\mathit{z}}_t\right)dt+\sum _{k=1}^r{\mathit{\sigma }}_{k\mathit{y}}\left(t, {\mathit{y}}_t, {\mathit{z}}_{\mathrm{t}}\right)d{w}_k\left(t\right), \\ d\mathit{z}\left(t\right)=\mathit{Z}\left(t, {\mathit{y}}_{\mathrm{t}}, {\mathit{z}}_t\right)dt+\sum _{k=1}^r{\mathit{\sigma }}_{k\mathit{z}}\left(t, {\mathit{y}}_t, {\mathit{z}}_{\mathrm{t}}\right)d{w}_k\left(t\right). \end{gathered}$$ (1.1)

Система (1.1) относится к классу систем функционально-дифференциаdльных уравнений с последействием (запаздыванием): вектор-функции y_t, z_t в правой части задают компоненты y, z вектора состояния x как функции запаздывающего аргумента t + θ, θ ∈ [–τ, 0]; число τ > 0 определяет величину запаздывания.

Рассмотрим пространство С непрерывных вектор-функций φ(θ): [–τ, 0] → Rⁿ с нормой ||φ|| = max |φ(θ)|, θ ∈ [–τ, 0] и допустим, что выполняются следующие условия:

1. операторы сноса X = X(t, φ): R₊×C → Rⁿ и диффузии σ_k = σ_k(t, φ): R₊ × C → Rⁿ непрерывны в области R₊×C;
2. для каждого I = 1, 2, … существуют постоянные K_I > 0, такие, что для всех t ≥ 0, φ₁, φ₂ ∈ C, для которых max (||φ₁||,||φ₂||) ≤ I, имеют место неравенства (локальное условие Коши—Липшица в форме [17], называемое также квазилокальным условием [18])
   |X(t, φ₂) – X(t, φ₁)| ≤ K_I||φ₂ – φ₁||, |σ_k(t, φ₂) – σ_k(t, φ₁)| ≤ K_I||φ₂ – φ₁||;
3. 3) в области R₊×C существует постоянная М > 0, такая, что (условие “линейного роста”)
   |X(t, φ)| ≤ М(1 + ||φ||), |σ_k(t, φ)| ≤ М(1 + ||φ||).

Пусть H₀ — пространство F₀-измеримых вектор-функций ξ = ξ(θ): [–τ, 0] → Rⁿ с нормой ||ξ|| = sup |ξ(θ)|, θ ∈ [–τ, 0], траектории которых с вероятностью 1 ограничены и непрерывны.

При сделанных предположениях для всех t₀ ≥ 0, x₀ = ξ ∈ H₀ существует [17] единственный непрерывный почти наверное случайный многомерный процесс x(t₀, ξ), согласованный с потоком σ-алгебр ${\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}$ и являющийся сильным решением системы (1.1); при этом система (1.1) понимается как запись соответствующей системы Ито в интегральной форме. Более того, E[sup |x(r, ξ)|²] < ∞ при r ∈ [–τ, t], t ≥ 0, где E — оператор математического ожидания по отношению к вероятностной мере P. Обозначим через x(t) = x(t; t₀, ξ) значения случайной вектор-функции x(t₀, ξ) в момент времени t.

Проводя в пространстве С разбиение φ = (φ_y^T, φ_z^T)^T, соответствующее разбиению x = (y^T, z^T)^T фазового вектора x, рассмотрим множество М = {φ ∈ C: φ_y = 0}. Если Y(t, φ) ≡ 0 при φ ∈ М, то решение x(t₀, ξ) системы (1.1) с вероятностью 1 удовлетворяет условию ||y_t(t₀, ξ)|| ≡ 0. Другими словами, множество y_t = 0 есть “частичное” положение равновесия системы (1.1), являющееся (при сделанном предположении о единственности решений) инвариантным множеством этой системы.

Следуя подходу теории частичной устойчивости, будем анализировать устойчивость “частичного” положения равновесия y_t = 0 не по всем определяющим его переменным, а только по отношению к их некоторой наперед заданной части. Для этого предположим, что y = (y₁^T, y₂^T)^T, причем вектор y₁ включает те компоненты вектора y, устойчивость по отношению к которым изучается. Для расширения функциональных возможностей рассматриваемых далее понятий y₁-устойчивости “частичного” положения равновесия y_t = 0 введем также произвольным образом разбиение z = (z₁^T, z₂^T)^T вектора z “неконтролируемых” переменных на две группы переменных. Указанным разбиениям векторов y и z поставим в соответствие разбиения на две части компонент ξ_y и ξ_z начальной вектор-функции: ξ_y = (ξ_y1^T, ξ_y2^T)^T и ξ_z = (ξ_z1^T, ξ_z2^T)^T. Обозначим через S_δ область в H₀, такую, что {ξ ∈ H₀: ||ξ_y|| < δ, ||ξ_z1|| ≤ L, ||ξ_z2|| < ∞}, где δ — достаточно малое, а L — любое наперед заданное положительные числа; ||ξ_y|| = sup |ξ_y(θ)|, ||ξ_zi|| = sup |ξ_zi(θ)| (i = 1, 2), θ ∈ [–τ, 0].

Рассматриваемые далее понятия устойчивости “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1) основаны на допущении, что для любой начальной вектор-функции x₀ = ξ ∈ H₀ с вероятностью 1 имеет место включение ξ ∈ S_δ. Поэтому по аналогии с детерминированным случаем [19—21] в данном случае можно говорить об устойчивости при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2 (for a large values of ξ_z1 and on the whole with respect to ξ_z2).

Определение 1. “Частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2, если для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого заданного числа L > 0 найдется число δ(ε, γ, t₀, L) > 0, такое, что для любой начальной вектор-функции x₀ = ξ ∈ H₀, удовлетворяющей условию P{ξ ∈ S_δ} = 1, при всех t ≥ t₀ следует неравенство

$\mathbf{P}\underset{t\mathit{\ge }{t}_{\mathit{0}\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }\mathit{ }} }{\left\{\sup | {\mathbf{y}}_1\left(t\mathit{;}\mathit{ }{t}_0, \mathrm{\xi }\right) | >\mathrm{\epsilon }\right\}} <\mathrm{\gamma }$. (1.2)

Определение 2. “Частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) равномерно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2, если в определении y₁-устойчивости δ = δ(ε, γ, L).

Ставится задача нахождения условий y₁-устойчивости по вероятности (при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2) “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1) в контексте метода функционалов Ляпунова—Красовского.

Сформулированная задача представляет интерес как задача анализа системы (1.1), но может использоваться и для решения соответствующей задачи частичной стабилизации этой системы посредством приложения управляющих воздействий. Кроме того, указанная задача может рассматриваться также как вспомогательная при анализе устойчивости по отношению ко всем переменным “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1) при соответствующем обобщении и развитии задачи частичной детектируемости. Подобный подход использовался для детерминированных функционально-дифференциальных систем с последействием [21]. Отметим, что задачи частичной стабилизации и частичной детектируемости динамических систем различной формы описания относятся к актуальным задачам современной нелинейной теории управления [22—24].

Замечание 1. В отличие от локального условия Коши—Липшица, условие “линейного роста” применительно к правой части системы (1.1) является ограничительным во многих случаях. Однако это условие можно заменить более слабыми условиями, которые формулируются в виде требований к вспомогательным функциям Ляпунова или функционалам Ляпунова—Красовского [2, 16, 17].

Замечание 2. Введенные понятия частичной устойчивости опираются на соответствующие понятия стохастической устойчивости по отношению ко всем переменным, предложенные в [1, 2]. Наиболее близкими являются понятия частичной устойчивости: по отношению ко всем [25, 26] и по части переменных [27] “частичного” положения равновесия систем стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито, детерминированных систем обыкновенных дифференциальных [28, 29] и функционально-дифференциальных уравнений с последействием [20, 21], а также систем дискретных (конечно-разностных) уравнений [30, 31]. Предположения “в целом по ξ_z” или “при больших значениях ξ_z” характерны для определений устойчивости (по всем и по части переменных) “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1), но приводят к различным требованиям к функционалам Ляпунова—Красовского. За счет разделения ξ_z = (ξ_z1^T, ξ_z2^T)^T вектор-функции ξ_z на две части возникают “промежуточные” понятия y₁-устойчивости в смысле введенных определений 1, 2. При этом надлежащий выбор указанного разделения определяется конкретной структурой рассматриваемой системы (1.1) и является результатом поиска компромисса между содержательным смыслом используемого понятия y₁-устойчивости “частичного” положения равновесия y_t = 0 и требованиями к функционалам Ляпунова—Красовского.

2. Условия частичной устойчивости по вероятности. В контексте метода функционалов Ляпунова—Красовского рассмотрим однозначные, непрерывные функционалы V = V(t, ψ): R₊×С → R₊, V(t, 0) ≡ 0, определенные на любой вектор-функции ψ ∈ H₀ в области

t ≥ 0, ||ψ_y1|| < h, ||ψ_y2|| + ||ψ_z|| < ∞. (2.1)

Разбиение ψ = (ψ_y1^T, ψ_y2^T, ψ_z^T)^T соответствует сделанному разбиению x = (y₁^T, y₂^T, z^T)^T фазового вектора x; ||ψ_yi|| = sup |ψ_yi(θ)| (i = 1, 2), ||ψ_z|| = sup |ψ_z(θ)|, θ ∈ [–τ, 0].

Подставим в функционал V(t, ψ) вектор-функцию x_t = x_t(t₀, ξ), определяющую элемент траектории системы (1.1) в текущий момент времени t ≥ t₀. Аналогом производной функционала в силу исследуемой системы (1.1) стохастических функционально-дифференциальных уравнений является ассоциированный с этой системой дифференциальный производящий оператор (усредненная производная)

$\mathbf{L}V\left(t, \mathrm{\psi }\right) = \overline{\underset{\mathrm{\delta }\to 0^{+}}{\lim }}\frac{1}{\mathrm{\delta }}\left\{{\mathbf{E}}_{\mathrm{t},\mathbf{\psi } }\left[V\left(t+\mathrm{\delta }, {\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\delta }}\left(t_0, \mathbf{\xi }\right)\right)\right]-\mathrm{V}\left(\mathrm{t}, \mathbf{\psi }\right)\right\}$,

где оператор ${\mathbf{E}}_{\mathrm{t},\mathbf{\psi } }\left[V\left(t+\mathrm{\delta }, {\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\delta }}\right)\right]$ определяет условное математическое ожидание при ${\mathbf{x}}_{t+\mathrm{\delta }}=\mathbf{\psi }$ случайной величины $V\text{(}t+\delta {\text{,\hspace{0.33em}}}_{t+\delta }\text{)}$, порожденной набором реализаций {x(t₀, ξ, ω), w(t, ω)} случайного процесса {x(t₀, ξ), w(t)}, являющегося решением системы (1.1).

Можно выделить класс функционалов, для которых указанный оператор конструктивно вычисляется. Для этого представим произвольный функционал V = V(t, ψ) в виде V = V(t, ψ(0), ψ(θ)), θ < 0, и положим [2—4]:

V_ψ(t, x) = V(t, ψ) = V(t, x_t) = V(t, x(t), x(t + θ)),

ψ = x_t, θ < 0, x = ψ(0) = x(t).

Предположим, что функция V_ψ(t, x) дважды непрерывно дифференцируема по x и имеет ограниченную производную по t при почти всех t ∈ R₊. Тогда для выделенного класса функционалов имеет место функциональный аналог классической формулы Ито [2—4]:

$\mathbf{E}\left[V\right(t,x_t\left)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}-\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}V\right(s,x_s\left)\right]=\underset{s}{\overset{t}{\int \mathbf{\text{E}}}}\left[\mathbf{L}V\right(r,x_r\left)\right]dr,$

LV(t, ψ) =$\frac{\partial V_{\psi }(t,x)}{\partial t}+\sum _{i=1}^{n\text{}}\frac{\partial V_{\psi }(t,x)}{\partial x_i}{X}_i(t,x)+0.5\sum _{i,j=1}^{n\text{}}\frac{{\partial }^2{V}_{\psi }(t,x)}{\partial x_i\partial x_j}{a}_{ij}(t,x),$

X = (X₁, ... , X_n)^T = (Y^T, Z^T)^T, σ_k = (σ_yk ^T, σ_zk ^T) ^T,

σ = (σ₁, ... ,σ_r), {a_ij(t, x)} = σ ⋅ σ ^T.

Для формулировки условий частичной устойчивости введем разбиение ψ_z = (ψ_z1^T, ψ_z2^T)^T вектор-функции ψ_z, отвечающее сделанному разбиению z = (z₁^T, z₂^T)^T компоненты z фазового вектора x. Дополнительно будут использоваться следующие вспомогательные функционалы и функции.

1. Непрерывные в области (2.1) функционалы V ^*(t, ψ_y, ψ_z1), V ^*(ψ_y, ψ_z1), необходимые для конкретизации (в соответствии с постановкой задачи) требований к основному V-функционалу Ляпунова—Красовского, и непрерывная в области (2.1) вспомогательная векторная, вообще говоря, функция μ(t, ψ): R₊×H₀ → R^l (l ≥ 1), μ(t, 0) ≡ 0, посредством которой корректируется область функционального пространства, где строится основной V-функционал. Определим ||μ(t, ψ)|| = sup |μ(t, ψ(θ))| (θ ∈ [–τ, 0], t ∈ R₊).
2. Непрерывная монотонно возрастающая по r > 0 скалярная функция a(r): R₊ → R₊, a(0) = 0 (функция типа Хана [32]), определяющая стандартные требования к V-функционалу.

Введение наряду с V-функционалом Ляпунова—Красовского вспомогательной μ(t, ψ)-функции мотивируется следующим обстоятельством. При исследовании y₁-устойчивости по вероятности “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1) в общем случае имеет место зависимость V-функционала Ляпунова—Красовского не только от t, ψ_y1, но и от ψ_y2, ψ_z. Ситуация аналогична той, что имеет место для функций Ляпунова в задаче устойчивости по части переменных для систем обыкновенных дифференциальных, стохастических, а так-же дискретных уравнений (см. например, работы [19, 31, 32]).

В результате анализ y₁-устойчивости в обычно рассматриваемой области

||ψ_y1|| < h₁ < h, ||ψ_y2|| + ||ψ_z|| < ∞ (2.2)

функционального пространства не всегда дает возможность выявить желаемые свойства V-функционала или наделить его этими свойствами. Целесообразно перейти к описанию V-функционала в более узкой области:

||ψ_y1|| + ||μ(t, ψ)|| < h₁ < h, ||ψ_y2|| + ||ψ_z|| < ∞, (2.3)

если иметь в виду, что фактически y₁-устойчивость “частичного” положения равновесия y_t = 0 системы (1.1) означает выполнение требуемых вероятностных оценок вида (1.2) не только для компонент вектора y₁, но и для компонент некоторой μ(t, x)-функции фазовых переменных системы (1.1). Указанную μ(t, x)-функцию не всегда возможно указать заранее. Поэтому соответствующую ей μ(t, ψ)-функцию в функциональном пространстве R₊×H₀ естественно трактовать как дополнительную векторную функцию, которая (как и сам подходящий функционал Ляпунова—Красовского) определяется в процессе решения исходной задачи y₁-устойчивости.

Таким образом, выбор подходящего V-функционала Ляпунова—Красовского не только возможен, но и его целесообразно согласовывать с выбором области функционального пространства, в которой функционал строится. Этого можно добиться введением наряду с V-функционалом дополнительной вспомогательной μ(t, ψ)-функции для соответствующей корректировки области функционального пространства.

Теорема 1. Допустим, что для системы (1.1) наряду с V-функционалом Ляпунова—Красовского V = V(t, ψ) можно указать векторную функцию μ(t, ψ), μ(t, 0) ≡ 0, для которых при всех t ≥ 0 и достаточно малом h₁ > 0 в области (2.3) выполняются следующие условия:

V(t, ψ) ≥ a(|ψ_y1(0)| + |μ(t, ψ(0))|), (2.4)

V(t, ψ) ≤ V ^*(t, ψ_y, ψ_z1), V ^*(t, 0, ψ_z1) ≡ 0, (2.5)

LV(t, ψ) ≤ 0. (2.6)

Тогда “частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Теорема 2. Если условия (2.5) заменить условиями

V(t, ψ) ≤ V ^*(ψ_y, ψ_z1), V ^*(0, ψ_z1) ≡ 0, (2.7)

то “частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) равномерно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Доказательство теорем 1 и 2 приведено в Приложении.

Замечание 3. В теоремах 1 и 2 рассматриваемый V-функционал Ляпунова—Красовского и ассоциированный с системой (1.1) дифференциальный производящий оператор LV(t, ψ) являются, вообще говоря, знакопеременными в области (2.2). Наряду с V-функционалом вспомогательная μ-функция вводится для наиболее рациональной замены области (2.2) областью (2.3). Условия (2.5) и (2.7) позволяют выделить допустимую структуру используемого V-функционала, которая определяется спецификой (при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2) поставленной задачи частичной устойчивости; в этих условиях допускается произвольный непрерывный V ^* -функционал, удовлетворяющий соответственно условию V ^*(t, 0, ψ_z1) ≡ 0 или V ^*(0, ψ_z1) ≡ 0, ограничивающий V-функционал сверху. Условия (2.5) являются “промежуточными” между менее ограничительным условием V(t, 0, ψ_z) ≡ 0 и более ограничительными условиями V(t, ψ) ≤ V ^*(t, ψ_y), V ^*(t, 0) ≡ 0, при выполнении которых “частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) соответственно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z или y₁-устойчиво по вероятности в целом по ξ_z; аналогичное утверждение касается также и условий (2.7).

Замечание 4. В рамках предложенного подхода нелинейные V-функционалы Ляпунова—Красовского могут быть построены как знакоопределенные квадратичные функционалы (или функционалы более высокого порядка) V(t, ψ) ≡ V^*(t, ψ_y1, μ(t, ψ)), определенные на вектор-функциях ψ_y1 и μ(t, ψ). При этом выбор μ-функций должен быть согласован с условиями (2.5) и (2.7): допустимы, например, μ-функции вида μ = μ(ψ_y2, ψ_z1), μ(0, ψ_z1) ≡ 0.

Замечание 5. При отсутствии последействия в системе (1.1) теоремы 1 и 2 переходят в соответствующие результаты для систем стохастических уравнений с непрерывной [27] и дискретной [31] динамикой, а в случае w_k(t) ≡ 0 получаем соответствующие результаты для детерминированных систем обыкновенных дифференциальных [28, 29], дискретных (конечно-разностных) [30] и функционально-дифференциальных [19, 21] уравнений. Если система (1.1) допускает “полное” положение равновесия x_t = 0, то в случае w_k(t) ≡ 0, μ(t, ψ) ≡ 0, а также при предположении ||ξ|| < δ, при выполнении условий (2.4), (2.6) имеем функционально-дифференциальный вариант (см. [19, 32]) классической теоремы В.В. Румянцева [10, 11] об устойчивости по отношению к части переменных.

Замечание 6. Возможности использования метода функций Ляпунова для анализа задач частичной устойчивости (стабилизации) систем стохастических дифференциальных уравнений Ито анализировались в ряде публикаций [33—43], в том числе с учетом случайной структуры таких систем [38—40].

3. Примеры. Рассмотрим примеры, показывающие особенности предложенного подхода к анализу частичной устойчивости системы (1.1).

Пример 1. Рассмотрим систему уравнений

dy₁(t) = [ay₁(t) + ly₂(t – τ₁)z₁(t − τ₁)]dt + αy₁(t − τ₂)dw₁(t),

dy₂(t) = [b + dy₁(t)]y₂(t)dt, (3.1)

dz₁(t) = [c + ey₁(t)]z₁(t)dt, dz₂(t) = Z₂(t, x_t)dt,

где τ₁ > 0, τ₂ > 0 — постоянные, определяющие дискретно входящие запаздывания; a, b, c, d, e, l, α — постоянные параметры. Система (3.1) является частным случаем системы (1.1), в которой τ = max (τ₁, τ₂); оператор Z₂ удовлетворяет общим требованиям к системе (1.1).

Система (3.1) допускает “частичное” положение равновесия

y_1t = y_2t = 0. (3.2)

Рассмотрим V-функционал Ляпунова—Красовского (β = const > 0)

$\mathit{V}\mathbf{\left(}\mathbf{\psi }\mathbf{\right)} =0.5\left[{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}1}}^2\left(0\right)+{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}2}}^2\left(0\right){{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{z}1}}^2\left(0\right)+\mathrm{\beta }{\int }_{-{\mathrm{\tau }}_1}^0{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}2}}^2\left(\mathrm{\theta }\right){{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{z}1}}^2\left(\mathrm{\theta }\right)d\mathrm{\theta }+0.5{\mathrm{\alpha }}^2{\int }_{-{\mathrm{\tau }}_2}^0{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}1}}^2\left(\mathrm{\theta }\right)d\mathrm{\theta }\right]$ (3.3)

и вспомогательную скалярную µ₁-функцию вида

µ₁(ψ) = ψ_y2ψ_z1. (3.4)

Имеют место соотношения

0.5[ψ_y1²(0) + µ₁²(0)] ≤ V(ψ) = V ^*(ψ_y1, ψ_y2, ψ_z1), V ^*(0, 0, ψ_z1) ≡ 0.

Для V-функционала Ляпунова—Красовского (3.3) в области (2.3) выполняются условия (2.4) и (2.7), а ассоциированный с системой (3.1) дифференциальный производящий оператор LV(ψ) определяется следующим образом:

LV(ψ) = ψ_y1(0)[aψ_y1(0) + lµ₁(−τ₁)] + µ₁(0)[(b + c)µ₁(0) + (d + e)ψ_y1(0)µ₁(0)] +

+ 0.5α²ψ_y1²(−τ₂) + β[µ₁²(0) − µ₁²(−τ₁)] + 0.5α²[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ₂)] =

= (a + 0.5α²)ψ_y1²(0) + lψ_y1(0)µ₁(−τ₁) − βµ₁²(−τ₁) + (b + c + β)µ₁²(0) + (d + e)ψ_y1(0)µ₁²(0).

В процессе вычислений использованы соотношения

LV(ψ) = LV^*(t, ψ) = 0.5[ψ_y1²(0) + µ₁²(0)] + $\mathrm{\beta }\underset{\mathrm{t}-{\mathrm{\tau }}_1}{\overset{\mathrm{t}}{\int }}{{\mathrm{\mu }}_1}^2\text{(}\mathrm{\theta }\text{)}d\mathrm{\theta }$ + 0.5α²$\underset{\mathrm{t}-{\mathrm{\tau }}_2}{\overset{\mathrm{t}}{\int }}{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}1}}^2\text{(}\mathrm{\theta }\text{)}d\mathrm{\theta }$,

$\frac{\partial {\mathrm{V}}_{\mathrm{\psi }}(\mathrm{t},\mathrm{x})}{\partial \mathrm{t}}$ = β[µ₁²(0) − µ₁²(−τ₁)] + 0.5α²[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ₂)],

$\sum _{i=1}^n\frac{\partial V_{\psi }(t,x)}{\partial x_i}{X}_i(t,x)$ = ψ_y1(0)[aψ_y1(0) + lµ₁(−τ₁)] + µ₁²(0)[(b + c) + (d + e)ψ_y1(0)],

$\sum _{i,j=1}^n\frac{{\partial }^2{V}_{\psi }(t,x)}{\partial x_i\partial x_j}{a}_{ij}(t,x)$ = α²ψ_y1²(−τ₂),

µ₁(0) = ψ_y2(0)ψ_z1(0), µ₁(−τ_i) = ψ_y2(−τ_i)ψ_z1(−τ_i) (i = 1, 2).

При достаточно малом h₁ > 0 в области (2.3) неравенство LV(ψ) ≤ 0 будет иметь место, если 2a + α² ≤ 0, 2(2a + α²)β + l² ≤ 0, b + c + β ≤ 0.

Пусть параметры системы (3.1) удовлетворяют условиям

2a + α² < 0, 2(2a + α²)(b + c) > l². (3.5)

Полагая β = −(b + c) − ε (ε = const > 0) в V-функционале (3.3), заключаем, что в данном случае при достаточно малых ε и h₁ > 0 в области (2.3) (но не в области (2.2)) при любых значениях параметров d, e и при любых постоянных значениях τ₁ > 0, τ₂ > 0 имеет место оценка LV(ψ) ≤ 0. Значит, для V-функционала Ляпунова—Красовского (3.3) в области (2.3) помимо условий (2.4), (2.7) также верно условие (2.6).

На основании теоремы 2 заключаем, что при выполнении условий (3.5) “частичное” положение равновесия (3.2) системы (3.1) равномерно y₁ -устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Отметим, что ассоциированный с системой (3.1) дифференциальный производящий оператор LV(ψ) в области (2.2) является знакопеременным.

Заменим первое уравнение системы (3.1) уравнением

dy₁(t) = [a + ly₂(t – τ₁)z₁(t − τ₁)]y₁(t)dt + αy₁(t − τ₂)dw₁(t),

а остальные уравнения этой системы оставим без изменения.

Для анализа устойчивости “частичного” положения равновесия (3.2) данной системы также рассмотрим V-функционал Ляпунова—Красовского (3.3) и вспомогательную µ₁-функцию вида (3.4). В данном случае имеют место соотношения

LV(ψ) = ψ_y1(0)[a + lµ₁(−τ₁)]ψ_y1(0) + µ₁(0)[(b + c)µ₁(0) + (d + e)ψ_y1(0)µ₁(0)] +

+ β[µ₁²(0) − µ₁²(−τ₁)] + 0.5α²ψ_y1²(−τ₂) + 0.5α²[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ₂)] =

= (a + 0.5α²)ψ_y1²(0) + (b + c + β)µ₁²(0) − βµ₁²(−τ₁) + lψ_y1²(0)µ₁(−τ₁) + (d + e)ψ_y1(0)µ₁²(0).

При достаточно малом h₁ > 0 в области (2.3) неравенство LV(ψ) ≤ 0 будет выполнено, если 2a + α² ≤ 0, b + c + β ≤ 0. Поэтому, полагая β = ε (ε = const > 0) в V-функционале (3.3), заключаем, что если параметры рассматриваемой системы удовлетворяют условиям

2a + α² ≤ 0, b + c < 0, (3.6)

то при достаточно малых ε и h₁ > 0 в области (2.3) (но не в области (2.2)) при любых значениях параметров l, d, e и любых постоянных значениях τ₁ > 0, τ₂ > 0 имеет место оценка LV(ψ) ≤ 0. Таким образом, при выполнении условий (3.6) “частичное” положение равновесия (3.2) рассматриваемой системы равномерно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений

dy₁(t) = [a + ly₂(t – τ₁)z₁(t − τ₁)]y₁(t)dt + αy₁(t − τ₂)dw₁(t),

dy₂(t) = [b + dy₁(t − τ₂)]y₂(t)dt, (3.7)

dz₁(t) = [c + ey₁(t − τ₂)]z₁(t)dt, dz₂(t) = Z₂(t, x_t)dt.

Для анализа устойчивости “частичного” положения равновесия (3.2) используем V-функционал Ляпунова—Красовского (β₁, β₂ = const > 0)

$$\begin{gathered} \mathit{V}\mathbf{\left(}\mathbf{\psi }\mathbf{\right)} =0.5\left[{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}1}}^2\left(0\right)+{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}2}}^2\left(0\right){{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{z}1}}^2\left(0\right)\right]+ \\ +{\mathrm{\beta }}_1{\int }_{-{\mathrm{\tau }}_1}^0{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}2}}^2\left(\mathrm{\theta }\right){{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{z}1}}^2\left(\mathrm{\theta }\right)d\mathrm{\theta }+\left(0.5{\mathrm{\alpha }}^2+{\mathrm{\beta }}_2\right){\int }_{-{\mathrm{\tau }}_2}^0{{\mathrm{\psi }}_{\mathrm{y}1}}^2\left(\mathrm{\theta }\right)d\mathrm{\theta } \end{gathered}$$ (3.8)

и вспомогательную µ₁-функцию вида (3.4).

Для V-функционала (3.8) в области (2.3) выполняются условия (2.4) и (2.7), а ассоциированный с системой (3.7) дифференциальный производящий оператор LV(ψ) определяется следующим образом:

LV(ψ) = ψ_y1(0)[a + lµ₁(−τ₁)]ψ_y1(0) + µ₁(0)[(b + c)µ₁(0) + (d + e)ψ_y1(−τ₂)µ₁(0)] +

+ β₁[µ₁²(0) − µ₁²(−τ₁)] + 0.5α²ψ_y1²(−τ₂) + (0.5α² + β₂)[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ₂)] =

= (a + 0.5α² + β₂)ψ_y1²(0) + (b + c + β₁)µ₁²(0) − β₁µ₁²(−τ₁) − β₂ψ_y1²(−τ₂) +

+ lψ_y1²(0)µ₁(−τ₁) + (d + e)ψ_y1(−τ₂)µ₁²(0).

При достаточно малом h₁ > 0 в области (2.3) неравенство LV(ψ) ≤ 0 будет иметь место в случае a + 0.5α² + β₂ ≤ 0, b + c + β₁ ≤ 0. Поэтому, полагая β_i = ε_i (ε_i = const > 0, i = 1, 2) в V-функционале (3.8), заключаем, что если параметры системы (3.7) удовлетворяют условиям

2a + α² < 0, b + c < 0, (3.9)

то при достаточно малых ε_i и h₁ > 0 в области (2.3) (но не в области (2.2)) при любых значениях параметров l, d, e и любых постоянных значениях τ₁ > 0, τ₂ > 0 имеет место оценка LV(ψ) ≤ 0. Значит при выполнении условий (3.9) “частичное” положение равновесия (3.2) системы (3.7) равномерно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Заменим первое уравнение системы (3.7) уравнением

dy₁(t) = [ay₁(t) + ly₂(t – τ₁)z₁(t − τ₁)]dt + αy₁(t – τ₁)dw₁(t),

а остальные уравнения этой системы оставим без изменения.

Для V-функционала (3.8) в данном случае имеют место соотношения:

LV(ψ) = ψ_y1(0)[aψ_y1(0) + lµ₁(−τ₁)] + µ₁(0)[(b + c)µ₁(0) + (d + e)ψ_y1(−τ₂)µ₁(0)] +

+ β₁[µ₁²(0) − µ₁²(−τ₁)] + 0.5α²ψ_y1²(−τ₂) + (0.5α² + β₂)[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ₂)] =

= (a + 0.5α² + β₂)ψ_y1²(0) + lψ_y1(0)µ₁(−τ₁) − β₁µ₁²(−τ₁) +

+ (b + c + β₁)µ₁²(0) − β₂ψ_y1²(−τ₂) + (d + e)ψ_y1(−τ₂)µ₁²(0).

При достаточно малом h₁ > 0 в области (2.3) неравенство LV(ψ) ≤ 0 будет выполнено, если a + 0.5α² + β₂ ≤ 0, 2(2a + α² + 2β₂)β₁ + l² ≤ 0, b + c + β₁ ≤ 0. Поэтому, полагая β_i = ε_i (ε_i = const > 0, i = 1, 2), заключаем, что если параметры системы (3.7) удовлетворяют условиям

2a + α² < 0, 2(2a + α²)(b + c) > l², (3.10)

то при достаточно малых ε_i и h₁ > 0 в области (2.3) (но не в области (2.2)) при любых значениях параметров d, e и любых постоянных значениях τ₁ > 0, τ₂ > 0 имеет место оценка LV(ψ) ≤ 0. Таким образом, при выполнении условий (3.10) “частичное” положение равновесия (3.2) рассматриваемой системы равномерно y₁-устойчиво по вероятности при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2.

Пример 3. Рассмотрим систему уравнений

$A{\dot{y}}_1\left(t\right)$ = (В – С)y₂(t)z₁(t) + u₁ + v₁,

$B{\dot{y}}_2\left(t\right)$ = (C – A)y₁(t)z₁(t), $C{\dot{z}}_1\left(t\right)$ = (A – B)y₁(t)y₂(t), (3.11)

u₁ = [a +${\alpha }_1{\dot{w}}_1\left(t\right)$]y₁(t) (a = const < 0), v₁ = [b(t) +${\alpha }_2{\dot{w}}_2\left(t\right)$]y₁(t – τ),

которые определяют вращательное (угловое) движение асимметричного твердого тела относительно центра масс под действием управляющего u₁ и возмущающего v₁ моментов сил. Преднамеренно создаваемый возмущающий момент v₁ формируется с запаздыванием τ. В системе (3.11) y₁, y₂, z₁ — проекции вектора угловой скорости тела на его главные центральные оси инерции; A, B, C — главные центральные моменты инерции тела; α₁, α₂ — постоянные, определяющие интенсивности независимых гауссовских “белых шумов” ${\dot{w}}_1\left(t\right)$ и ${\dot{w}}_2\left(t\right)$ в каналах управления; b(t): [0, ∞] → R¹ — непрерывная и ограниченная функция.

Система (3.11) допускает “частичное” положение равновесия (3.2), которому при С < А, В соответствует равномерное вращение тела вокруг большей из его главных центральных осей инерции. Если возмущающий момент v₁ отсутствует (v₁ ≡ 0), то имеют место следующие утверждения [32]: 1) в детерминированном случае α₁ = 0 при a = 0 имеет место устойчивость (неасимптотическая) этого положения равновесия в целом по z₁₀, а при a < 0 — асимптотическая y₁-устойчивость в целом по z₁₀; 2) при α₁ ≠ 0, α₂ = 0 асимптотическая y₁-устойчивость по вероятности в целом по z₁₀ имеет место при a + α₁²/A < 0, если системе (3.11) придать точный смысл и понимать ее как систему стохастических дифференциальных уравнений в форме Стратоновича с последующим переходом к системе в форме Ито.

В случае α₁, α₂ ≠ 0, имея в виду оценку влияния возмущающего момента v₁ на управляющий диссипативный момент u₁, найдем условие, при котором “частичное” положение равновесия (3.2) системы (3.11) равномерно y₁-устойчиво по вероятности в целом по ξ_z1. При этом система (3.11) понимается как система стохастических дифференциальных уравнений в форме Ито:

Ady₁(t) = [ay₁(t) + b(t)y₁(t – τ) + (В – С)y₂(t)z₁(t) ]dt +

+ α₁y₁(t)dw₁(t) + α₂y₁(t – τ)dw₂(t), (3.12)

Ady₂(t) = [(C – A)y₁(t)z₁(t)]dt, Cz₁(t) = [(A – B)y₁(t)y₂(t)]dt.

Рассмотрим V-функционал Ляпунова—Красовского (β = const > 0)

V(ψ) = 0.5 [A(A – С)ψ_y1² (0) + B(В – С)ψ_y2² (0)] + 0.5[(A – С)/A]β $\underset{-\tau }{\overset{0}{\int }}{{\mathrm{\psi }}_{y1}}^2\text{(}\mathrm{\theta }\text{)}d\mathrm{\theta }.$

В области (2.2) при С < А, В выполнено условие

V(ψ) ≥ 0.5A(A – С)ψ_y1²(0),

а ассоциированный с системой (3.12) дифференциальный производящий оператор LV(ψ) определяется следующим образом:

LV(ψ) = A(A – С)ψ_y1(0){[(В – С)/A]ψ_y2(0)ψ_z1(0) + (a/A)ψ_y1(0)+ (b/A)ψ_y1(−τ)} +

+ B(B – C)ψ_y2(0)[(C – A)/B]ψ_y1(0)ψ_z1(0) + 0.5[(A – С)/A][α₁²ψ_y1²(0) + α₂²ψ_y1²(−τ)] +

+ 0.5[(A – С)/A]β[ψ_y1²(0) − ψ_y1²(−τ)] =

= (A – С){[a + 0.5(α₁²/A) + 0.5β]ψ_y1²(0) + bψ_y1(0)ψ_y1(−τ) + 0.5[(α₂²/A) – β]ψ_y1²(−τ)}.

При выполнении условий

r + 0.5β ≤ 0, (r + 0.5β)[(α₂²/A) − β] ≥ 0.5b²(t), (3.13)

в которых r = a + 0.5α₁²/A, а также при С < А, В в области (2.2) для любого постоянного значения τ > 0 имеет место оценка LV(ψ) ≤ 0.

Условия (3.13) предполагают требование β ≥ α₂²/A. Функция f(β) = (r + 0.5β)[(α₂²/A) − β] выпукла вверх и ее максимум достигается при β^* = −r + 0.5α₂²/A; поскольку r ≥ 0, то β^* ≥ α₂²/A. Поэтому, учитывая, что f(β^*) = 0.5[r + 0.5α₂²/A]², условия (3.13) можно представить следующим образом:

a^* ≤ 0, b²(t) ≤ a^*2 (a^* = a + 0.5α₁²/A + 0.5α₂²/A); (3.14)

второе из этих условий можно заменить эквивалентным условием |b(t)| ≤ –a^*. Полагая β = β^* в выбранном функционале V(ψ), заключаем, что при выполнении условий (3.14) “частичное” положение равновесия (3.2) системы (3.12) равномерно y₁-устойчиво по вероятности в целом по ξ_z1 при любой постоянной величине запаздывания τ > 0.

Заметим, что возможен и другой подход к рассмотрению системы (3.11), допускающий предельный переход от реальных физических шумов к “белому шуму”. Такой подход основан на трактовке стохастических систем с запаздыванием как уравнений в форме Стратоновича [44] и допускает последующий переход к соответствующей системе в форме Ито.

Заключение. Для нелинейной нестационарной системы стохастических функционально-дифференциальных уравнений с последействием (запаздыванием), подверженной воздействию случайного процесса “белого” шума, дана поставка задачи устойчивости по отношению к части переменных по вероятности “частичного” нулевого положения равновесия. Значения супремум-нормы тех компонент начальной вектор-функции, которые соответствуют переменным, не определяющим указанное “частичное” положение равновесия, с вероятностью 1 могут быть большими (ограниченными наперед заданным числом) по одной части и произвольными по отношению к их оставшейся части. Выбор такого разбиения определяется в результате поиска компромисса между содержательным смыслом рассматриваемого понятия частичной устойчивости и требованиями к используемым функционалам Ляпунова—Красовского.

Приводятся достаточные условия частичной устойчивости указанного вида в контексте стохастического варианта метода функционалов Ляпунова—Красовского в соответствующей модификации. Наряду с основным V-функционалом Ляпунова—Красовского рассматривается дополнительная (векторная, вообще говоря) вспомогательная μ-функция для корректировки области функционального пространства, в которой строится V-функционал. Целесообразность такого подхода заключается в том, что в результате основной V-функционал, а также ассоциированный с изучаемой системой дифференциальный производящий оператор этого функционала могут быть знакопеременными. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие особенности предложенного подхода.

Полученные результаты дополняют на случай стохастических функционально-дифференциальных моделей ранее выполненные исследования по устойчивости инвариантных множеств динамических систем [45—47] на основе метода функций Ляпунова, а также исследования задач стабилизации связей динамических систем [48, 49].

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим произвольное число ε (0 < ε < h₁), произвольный момент времени t₀ и любую допустимую начальную функцию x₀ = ξ, для которой P{ξ ∈ S_ε} = 1, где S_ε = {ξ ∈ H₀: ||ξ_y|| < ε, ||ξ_z1|| ≤ L, ||ξ_z2|| < ∞}. Обозначим через τ_ε момент первого достижения процессом x(t₀, ξ) поверхности |y₁| = ε. Если некоторые траектории этого процесса ни за какое конечное время не достигают поверхности |y₁| = ε, то для них τ_ε считаем равным ∞. Положим τ_ε(t) = min (τ_ε, t).

Поскольку для рассматриваемого класса функционалов Ляпунова—Красовского имеет место функциональный аналог формулы Ито, то справедливо соотношение

$\mathbf{E}\left[\mathit{V}\right({\tau }_{\epsilon }\left(t\right),x_{{\tau }_{\epsilon }\left(t\right)})-V(t_0,\xi \left)\right]=\underset{t_0}{\overset{{}_{{\tau }_{\epsilon }\left(t\right)}}{\int }}\mathbf{E}[\mathbf{L}V(s,x_s)]ds.$ (П.1)

Поэтому из равенства (П.1) в силу условия (2.6) следует, что

$\mathbf{E}\left[\mathit{V}\right({\tau }_{\epsilon }\left(t\right),x_{{\tau }_{\epsilon }\left(t\right)}\left)\right]\le \mathbf{\text{E}}V(t_0,\xi ).$ (П.2)

Если верно неравенство t > τ_ε (в этом случае имеем τ_ε(t) = τ_ε), то выполняются соотношения |y₁(τ_ε(t); t₀, ξ)| = |y₁(τ_ε; t₀, ξ)| = ε. Если же справедливо неравенство t < τ_ε (в этом случае имеем τ_ε(t) = t), то на основании неравенства Чебышева—Маркова и оценки (П.2) находим:

$$\begin{gathered} \mathbf{P}\left[\left|{\mathbf{y}}_1\left(t\mathit{;}\mathit{ }{t}_0, \mathrm{\xi }\right)\right|>\mathrm{\epsilon }\right]\le \frac{1}{\alpha \left(\mathrm{\epsilon }\right)}\mathbf{E}\left[\alpha \left(\left|{\mathbf{y}}_1\left(t\mathit{;}\mathit{ }{t}_0, \mathrm{\xi }\right)\right|\right)\right]\le \\ \le \frac{1}{\alpha \left(\mathrm{\epsilon }\right)}\mathbf{E}\left[\alpha \left(\left|{\mathbf{y}}_1\left(t\mathit{;}\mathit{ }{t}_0, \mathrm{\xi }\right)\right| + \left|\mathbf{\mu }\left(t\mathit{,} \mathbf{x}\left(t\mathit{;}\mathit{ }{t}_0, \mathrm{\xi }\right)\right)\mathbf{\right|}\right)\right]\le \frac{1}{\alpha \left(\mathrm{\epsilon }\right)}\mathbf{E}\left[V\left(t, \mathbf{x}\left(t_0, \mathrm{\xi }\right)\right)\right]= \\ =\frac{1}{\alpha \left(\mathrm{\epsilon }\right)}\mathbf{E}\left[V\left({\mathrm{\tau }}_{\mathrm{\epsilon }}\left(t\right),{\mathrm{x}}_{{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{\epsilon }}\left(t\right)}\right)\right]\le \frac{1}{\alpha \left(\mathrm{\epsilon }\right)}\mathbf{E}V\mathit{(}{\mathit{t}}_{\mathit{0}}\mathit{,}\mathit{ }\mathit{\xi }\mathit{)}\mathit{.} \end{gathered}$$ (П.3)

Поскольку функционал V(t, ψ) непрерывен, V(t, 0) ≡ 0, а также выполняются условия (2.5), то в случае P{ξ ∈ S_δ} = 1 (при достаточно малом δ > 0) для всех t₀ ≥ 0 и для любого заданного числа L > 0 предельное соотношение

$\underset{\left|\right|{\xi }_{}\left|\right|\to \text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}0}}{\lim }V(t_0,\xi )=0$ (П.4)

верно при ||ξ_z1|| ≤ L равномерно по ||ξ_z2|| < ∞.

Поэтому в случае P{ξ ∈ S_δ} = 1 для всех t₀ ≥ 0 и для любого заданного числа L > 0 на основании неравенств (П.3), (П.4) справедливо предельное соотношение

$\underset{\left|\right|{\xi }_{}\left|\right|\to 0}{\lim }\left[\underset{t>t_0}{\sup }{|}_1\right(t;t_0,\xi \left)\right|>\epsilon ]=\mathrm{0,}$

выполняющееся при ||ξ_z1|| ≤ L равномерно по ||ξ_z2|| < ∞.

В результате для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется число δ(ε, γ, t₀, L) > 0, такое, что неравенство (1.2) имеет место для всех t ≥ t₀ и P{ξ ∈ S_δ} = 1. Следовательно, при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2 “частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) y₁-устойчиво по вероятности.

Доказательство теоремы 2. При выполнении условий (2.7) в случае P{ξ ∈ S_δ} = 1 для любого заданного числа L > 0 предельное соотношение (П.4) верно при ||ξ_z1|| ≤ L равномерно не только по ||ξ_z2|| < ∞, но и по t₀ ≥ 0. В результате для каждого t₀ ≥ 0 и для любых сколь угодно малых чисел ε > 0, γ > 0, а также для любого наперед заданного числа L > 0 найдется не зависимое от t₀ число δ(ε, γ, L) > 0, такое, что неравенство (1.2) имеет место для всех t ≥ t₀ и P{ξ ∈ S_δ} = 1.

Следовательно, при больших значениях ξ_z1 в целом по ξ_z2 “частичное” положение равновесия y_t = 0 системы (1.1) равномерно y₁-устойчиво по вероятности.

About the authors

V. I. Vorotnikov

Author for correspondence.
Email: vorotnikov-vi@rambler.ru
Russian Federation, Sochi

Yu. G. Martyshenko

Email: j-mart@mail.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files