Уравнения упругого 2D-изгиба толстых плит

В настоящее время изгибные деформации литосферных плит и изгибные колебания сооружений при землетрясениях изучаются на основе сформулированной еще Г. Кирхгофом в 1850 г. теории изгиба тонких пластин с отношением толщины к длине h/L <1/10. Однако даже для длинных океанических плит эффективное отношение h/L составляет около 1/8. Поэтому в работе рассматривается возможность использования теорий изгиба толстых плит. В технике для расчета изгибов толстых пластин (наряду с численными решениями общих уравнений упругости) в течение последних 80 лет по настоящее время используются найденные вариационным методом уравнения Тимошенко (1922 г.) и Рейсснера (1945 г.). Однако в статьях, учебниках и справочниках по теории упругости эти уравнения приводятся с указаниями об их приближенности и систематической ошибке из-за пренебрежения поперечной деформацией при изгибе. В настоящей работе дается вывод системы уравнений 2D-изгиба толстых пластин второго приближения путем непосредственного преобразования исходных общих уравнений упругости методом последовательных приближений. Примечательно, что, уточняя уравнения Тимошенко и Рейсснера, полученные уравнения второго приближения не усложняются, т.к. изменяется лишь численный коэффициент в дифференциальном уравнении для функции изгиба и добавляются аддитивные члены к алгебраическим выражениям для напряжений и смещений. Существенно упрощая решение по сравнению с общими уравнениями упругости в частных производных, полученное дифференциальное обыкновенное уравнение изгиба пренебрегает лишь малыми членами выше третьего порядка малости (h/L)3 . Сравнение решений полученных уравнений с тестовым аналитическим решением точных общих уравнений упругости показало их полное совпадение с точностью до четвертого порядка малости. Для толстых плит при h/L = 1/3 по сравнению с точными решениями общих уравнений упругости решения уравнения Кирхгофа дают систематическую ошибку для функции изгиба до 20%, уравнения Тимошенко–Рейсснера — до 5%, а полученные уточненные уравнения имеют неточность решений менее 1%. Приводится пример использования полученных уравнений для уточненного расчета изгиба океанических плит, при котором решение получается в аналитическом виде.

упругий изгиб, толстые плиты, океанические плиты