Model representations of the theory of thermal shock of viscoelastic bodies

Full Text

Введение

Исследование процессов теплового разрушения материалов, вызванных взаимодействием интенсивных тепловых потоков с твердыми телами, составляет содержание проблемы термической прочности, актуальность которой возросла в последнее десятилетие в связи с созданием мощных излучателей энергии и их использованием в технологических операциях. Быстрый нагрев вещества происходит при обработке в инфракрасных печах, плазмохимических реакциях, гелиоустановках. Новые технологические приемы в машиностроении и близких областях основаны на интенсивном нагреве материалов плазменными потоками, лазерными или электронными лучами. Мощные радиационные излучатели используются для термической закалки и упрочнения поверхности изделий. Интенсивному тепловому воздействию подвергаются поверхности авиационно-космических аппаратов и пусковых установок.

Накоплено значительное количество публикаций, описывающих эти процессы в ядерной энергетике, в авиастроении, ракетостроении и космической технике, в турбиностроении и эксплуатации турбинных установок и т.д. Систематизация результатов, накопленных в этой области термомеханики, дана в [1–4]. Проведенные исследования указанной проблемы выполнены, в основном, для большинства технически важных материалов, подчиняющихся закону Гука. В соответствующих математических моделях в терминах динамических, квазистатических или статических задач термоупругости материал считается однородным и изотропным, термомеханические коэффициенты являются постоянными величинами, не зависящими от температуры, и рассматриваемые разности температур не слишком велики, то есть температура не превышает некоторого предельного значения, и напряжения не достигают границы текучести. Считается [5, 6], что при относительно низком уровне температур и напряжений поведение широкого класса материалов находится в хорошем соответствии с теорией термоупругости.

Определяющие соотношения этой теории в рамках несвязанной термоупругости относительно компонент тензоров напряжения σ_ij(M, t), деформации ε_ij(M, t), вектора перемещения U_i(M, t) в области M (x, y, z) ∈ D, t > 0 соответственно геометрии и размерам твердого тела, в котором изучается процесс термоупругости, удовлетворяют уравнениям движения (без учета объемных сил), геометрическим уравнениям, физическим уравнениям (обобщенный закон Гука) в индексных обозначениях [2]

${\sigma }_{ij,j}(M,t)=\rho {\ddot{U}}_i(M,t);$ (1)

${\epsilon }_{ij}(M,t)=\frac{1}{2}\left[U_{i,j}(M,t)+U_{j,i}(M,t)\right]$; (2)

${\sigma }_{ij}(M,t)=2\mu {\epsilon }_{ij}(M,t)+\left\{\lambda e(M,t)-(3\lambda +2\mu ){\alpha }_T\left[T(M,t)-T_0\right]\right\}{\delta }_{ij}$, (3)

где i.j = x, y, z; ρ – плотность; µ = G, λ = 2Gν/(1 – 2ν) – изотермические коэффициенты Ламе, при этом 2G/(1 + ν) = E – модуль Юнга; α_T – коэффициент линейного теплового расширения; σ_ij – символ Кронекера; $e(M,t)={\epsilon }_{ii}(M,t)=di\mathrm{v}\left[\overline{U}(M,t)\right]-$  объемная деформация, связанная с суммой нормальных напряжений σ(M, t) = = σ_ij(M, t) соотношением

$e(M,t)=\frac{1-2v}{E}\sigma (M,t)+3{\alpha }_T\left[T(M,t)-T_0\right],$ (4)

вытекающим из (3). К соотношениям (1)–(4) следует также присоединить граничные условия $\sum _j{\sigma }_{ji}(M,t)n_j=f_i(M,t),M\in S,t>0$ на той части поверхности S (ограничивающей область D), где заданы напряжения и $U_i(M,t)={\phi }_i(M,t),M\in S,t>0$ на той части поверхности, где заданы перемещения; для частично ограниченной области следует добавить условие ограниченности в D при t ≥ 0 всех функций, входящих в (1)–(4). Термонапряженное состояние области D при t > 0 может возникать при различных режимах теплового воздействия на границу S, создающих термический удар. К ним можно отнести следующие наиболее распространенные на практике случаи [7]: температурный нагрев $T(M,t)=T_c,M\in S,t>0(T_c>T_0);$ $\frac{\partial T(M,t)}{\partial n}=-\frac{1}{{\lambda }_T}{q}_0,M\in S,t>0$ тепловой нагрев  (λ_T – теплопроводность материала; q₀ – величина теплового потока); нагрев средой $\frac{\partial T(M,t)}{\partial n}=h\left[T(M,t)-T_c\right],M\in S,t>0(h-$ относительный коэффициент теплообмена; T_c – температура окружающей среды (T_c = T₀). В равной степени могут быть рассмотрены и случаи резкого охлаждения.

При повышенных температурах и более высоком уровне напряжений понятие об упругом теле становится недостаточным: почти у всех материалов обнаруживается более или менее отчетливо выраженное явление вязкого течения. В этом случае поведение реального тела принято называть вязкоупругим, так как тело одновременно проявляет упругие и вязкие свойства. Чтобы математически описать неупругое поведение тела при заданных условиях нагрева и напряжения, необходимо соответствующим образом обобщить соотношения между напряжениями и деформациями в (1)–(4).

Эти обобщения ведутся по разным направлениям [5], хотя четко разграничить их не всегда возможно. Наиболее общие подходы к проблеме основываются на представлениях и методах физики твердого тела. Чтобы получить сведения о механических характеристиках материала, рассматривается его микроструктура (кристаллическая, поликристаллическая, аморфная). Другой подход состоит в том, что, отвлекаясь от особенностей микроструктуры материала, необходимо рассматривать тело как сплошное и искать форму соотношений между напряжениями и деформациями, исходя из общих принципов механики и термодинамики сплошных сред. Наконец, наиболее формальный способ анализа заключается в том, что выбираются некоторые простые формы соотношений между напряжениями, описывающие такие типы неупругих явлений, как ползучесть, релаксация напряжений, пластическое течение, упрочнение. Реологические модели, которые учитывают одновременно протекающие процессы упругого деформирования и вязкого течения, благодаря достаточной простоте принятых соотношений между напряжениями и деформациями дают возможность математически проанализировать, как будут вести себя реальные тела в различных условиях нагружения. В этом отношении учет реологиеских эффектов имеет большое значение при проектировании элементов конструкций, подвергающихся воздействию высоких температур.

Зависимости между напряжениями и деформациями в реологических моделях

Выпишем все необходимые соотношения для реологических законов, связывающих напряжения σ_ij(M, t) и деформации ε_ij(M, t)(i, j = x, y, z). Для этого введем девиатор напряжений s_ij(M, t) и девиатор деформаций e_ij(M, t) соотношениями

$s_{ij}(M,t)={\sigma }_{ij}(M,t)-{\sigma }^{\ast }(M,t){\delta }_{ij}$; (5)

$e_{ij}(M,t)={\epsilon }_{ij}(M,t)-{\epsilon }^{\ast }(M,t){\delta }_{ij}$, (6)

где σ* и ε* – среднее нормальное напряжение и среднее удлинение:

${\sigma }^{\ast }(M,t)=\frac{1}{3}\sum _i{\sigma }_{i\text{\hspace{0.05em}}i}(M,t)$; ${\epsilon }^{\ast }(M,t)=\frac{1}{3}\sum _i{\epsilon }_{i\text{\hspace{0.05em}}i}(M,t)$. (7)

При помощи этих девиаторов соотношения (1)–(2) можно записать в виде:

$s_{ij}(M,t)=2G{e}_{ij}(M,t)$, (8)

${\epsilon }^{\ast }(M,t)=\frac{1-2v}{2G(1+v)}{\sigma }^{\ast }(M,t)+{\alpha }_T\left[T(M,t)-T_0\right]$. (9)

Эти равенства описывают поведение линейной упругой среды. Если к соотношениям закона Гука добавить слагаемое, выражающее ньютонов закон вязкости (последовательное или параллельное соединение пружины и вязкого сопротивления [2]), то полученные зависимости будут приводить к среде Максвелла

$\frac{\partial s_{ij}(M,t)}{\partial t}+\frac{1}{{\tau }_p}{s}_{ij}(M,t)=2G\frac{\partial e_{ij}(M,t)}{\partial t}$ (10)

и к среде Кельвина

$s_{ij}(M,t)=2G\left[e_{ij}(M,t)+{\tau }_p\frac{\partial e_{ij}(M,t)}{\partial t}\right]$ . (11)

При этом соотношение (9) остается без изменения. Последнее означает, что при гидростатическом сжатии или растяжении тело ведет себя как вполне упругое. Постоянная τ_p = η/G носит название время релаксации в (10) и время запаздывания в (11), η – вязкость материала. Разумеется, поведение материалов на практике сложнее случаев (10)–(11), однако, если основываться на применении простейших моделей, то для металлов при высоких температурах и для полимеров, сочетающих процессы упругого деформирования и вязкого течения можно использовать схему Максвелла, а для материалов с внутренним трением при изучении затухающих колебаний – схему Кельвина. Заметим, что при τ_p = 0(η = ∞) соотношение (10) дает среду Гука; при τ_p = 0(η = 0) в (11) закон Кельвина сводится к зависимости (8).

Новые интегральные соотношения для динамической термовязкоупругости

Приведенные соотношения, записанные в декартовых координатах, могут быть использованы для описания термической реакции вязкоупругих тел канонической формы (бесконечная пластина; полупространство, ограниченное плоской поверхностью и др.) при заданных условиях нагрева (или охлаждения) в рамках соответствующей краевой задачи нестационарной теплопроводности. Для этого на начальном этапе необходимо получить дифференциальное уравнение динамической термовязкоупругости. В качестве иллюстрации этого утверждения рассмотрим случай одномерного движения, то есть вязкоупругое полупространство z ≥ l температуры T(z, t), граница которого свободна от напряжений. При этом U_x = U_y = 0, U_z = U_z(z, t), ε_xx = ε_yy = 0; e_zz = (2/3)ε_zz; напряжения σ_ij = σ_ij (z, t) для i = j, σ_ij = 0 для i ≠ j(i, j = x, y, z).

Имеем далее:

$s_{zz}(z,t)={\sigma }_{zz}(z,t)-{\sigma }^{\ast }(z,t)$; (12)

${\sigma }^{\ast }(z,t)=\frac{E}{3(1-2\nu )}{\epsilon }_{zz}(z,t)-\frac{E}{1-2\nu }{\alpha }_{\text{ò}}\left[T\right(z,t)-T_0]$; (13)

$\left.\begin{array}{l}\frac{\partial s_{zz}(z,t)}{\partial t}+\frac{1}{{\tau }_{\text{ð}}}{s}_{zz}(z,t)=\frac{4G}{3}\frac{\partial {\epsilon }_{zz}(z,t)}{\partial t};(t>0)\\ {\left.s_{zz}(z,t)\right|}_{t=0}=0;\end{array}\right\}$; (14)

${\epsilon }_{zz}(z,t)=\frac{\partial U_z(z,t)}{\partial z}$;

$\frac{\partial {\sigma }_{zz}(z,t)}{\partial z}=\rho \frac{{\partial }^2{U}_z(z,t)}{\partial t^2}$; ($z>l$ ;$t>0$ )

или

$\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}(z,t)}{\partial z^2}=\rho \frac{{\partial }^2{\epsilon }_{zz}(z,t)}{\partial t^2}$. ($z>l$; $t>0$ ). (15)

Находим решение задачи Коши (14), далее выражаем ε_zz через σ_zz и s_zz и подставляем в (15). В результате приходим к искомому уравнению динамической термовязкоупругости в виде

$\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}}{\partial z^2}-\frac{1}{{\upsilon }_p^2}\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}}{\partial t^2}=\frac{1+\nu }{1-\nu }{\alpha }_{\text{ò}}\rho \frac{{\partial }^{2}T}{\partial t^2}+$ $+\frac{m_1}{{\upsilon }_p^2{\tau }_p}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left[-(m_2/3{\tau }_p)(t-\tau )\right]{\sigma }_{zz}(z,\tau )d\tau +$$\frac{m_1{m}_2}{{\tau }_p(1/\rho )}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left[-(m_2/3{\tau }_p)(t-\tau )\right]{\alpha }_T\left[T(z,\tau )-T_0\right]d\tau ,z>l,t>0.$ (16)

где $m_1=\frac{2(1-2\nu )}{3(1-\nu )}$; $m_2=\frac{1+\nu }{1-\nu }$;  ${\mathrm{v}}_p=\sqrt{\frac{2G(1-v)}{\rho (1-2v)}-}$скорость распространения волны расширения в упругой среде, близкая к скорости звука. (17)

К уравнению (16) добавим краевые условия

${\left.{\sigma }_{zz}\left(z,t\right)\right|}_{t=0}=0;{\left.\frac{\partial {\sigma }_{zz}\left(z,t\right)}{\partial t}\right|}_{t=0}=0$; ( $z\ge l$) (18)

${\sigma }_{zz}(z,t)\left|{}_{z=l}=\mathrm{0,}t>\mathrm{0,}\right.$ (19)

$\left|{\sigma }_{zz}(z,t)\right|<\infty ,z\ge l,t\ge 0.$ (20)

Температурная функция T(z, t) удовлетворяет следующим условиям

$\left.\begin{array}{l}\frac{\partial T}{\partial t}=a\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2},z>l,t>0\\ T(z,t)\left|{}_{t=0}=T_0,z>l,\right.\\ \left[{\gamma }_1\frac{\partial T(z,t)}{\partial z}+{\gamma }_{2}T(z,t)\right]\left|{}_{z=l}={\gamma }_3{T}_c,t>\mathrm{0,}\right.\\ \left|T(z,t)\right|<\infty ,z\ge l,t\ge 0.\end{array}\right\}$,(21)

в зависимости от условий нагрева (охлаждения). В случае упругой среды время релаксации τ_p = ∞ и (16) переходит в классическое уравнение динамической термоупругости [1]

$\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}}{\partial z^2}-\frac{1}{{\upsilon }_p^2}\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}}{\partial t^2}=\frac{\left(1+\nu \right)}{\left(1-\nu \right)}{\alpha }_T\rho \frac{{\partial }^{2}T}{\partial t^2};\left(z>l;t>0\right)$, (22)

${\left.{\sigma }_{zz}\left(z,t\right)\right|}_{t=0}=0;{\left.\frac{\partial {\sigma }_{zz}\left(z,t\right)}{\partial t}\right|}_{t=0}=0;\left(z\ge l\right)$,

${\left.{\sigma }_{zz}\left(z,t\right)\right|}_{z=l}={\left.{\sigma }_{zz}\left(z,t\right)\right|}_{z=\infty }=0;\left(t\ge 0\right)$.

Обобщая, таким образом, (22) на вязкоупругие среды.

Аналогичным образом можно рассмотреть среду Кельвина (11) и получить уравнение вида

$\frac{{\partial }^2{\sigma }_{zz}}{\partial z^2}=\frac{1}{m_1{\tau }_p{\mathrm{v}}_p^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left[-\frac{(t-\tau )}{m_1{\tau }_p}\right]{\sigma }_{zz}(z,\tau )d\tau +$$+\frac{m_2\rho }{m_1{\tau }_p}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left[-\frac{(t-\tau )}{m_1{\tau }_p}\right]{\alpha }_T\left[T(z,\tau )-T_0\right]d\tau ,$ (23)

где m₁ и m₂ указаны в (17).

Для практического применения приведенных уравнений целесообразно перейти к безразмерным переменным:

$\xi =z/l;\tau =at/l^2;{\mathrm{v}}_0={\mathrm{v}}_{p}l/a;{\beta }_1=\frac{2(1-2v)(l^2/a{\tau }_p)}{3(1-v)};$

${\beta }_2=\frac{(1+v)(l^2/3a{\tau }_p)}{(1-v)};$

$S_T={\alpha }_T\frac{2G(1+v)}{1-2v}(\left[S_T\right]=\frac{H}{{м}^2град});{\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )=\frac{{\sigma }_{zz}(z,t)}{S_T(T_c-T_0)};$

$W(\xi ,\tau )=\frac{T(z,t)-T_0}{T_c-T_0};$

 ${\beta }_1^{\ast }=\frac{2(1-2v)(a{\tau }_p/l^2)}{3(1-v)}.$ (24)

Уравнения (16) и (23) приобретают более компактный вид:

среда Максвелла

${\mathrm{v}}_0^2\frac{{\partial }^2{\sigma }_{\xi \xi }}{\partial {\xi }^2}-\frac{{\partial }^2{\sigma }_{\xi \xi }}{\partial {\tau }^2}=\frac{{\partial }^{2}W}{\partial {\tau }^2}+{\beta }_1\frac{{\partial }^2}{\partial {\tau }^2}\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\exp \left[-{\beta }_1(\tau -{\tau }^{\text{'}})\right]\left[{\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,{\tau }^{\text{'}})+W(\xi ,{\tau }^{\text{'}})\right]d{\tau }^{{}^{\text{'}}};$ (25)

среда Кельвина

${\mathrm{v}}_0^2\frac{{\partial }^2{\sigma }_{\xi \xi }}{\partial {\xi }^2}=\frac{1}{{\beta }_1^{\ast }}\frac{{\partial }^2}{\partial {\tau }^2}\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\exp \left[-\frac{(\tau -{\tau }^{\text{'}})}{{\beta }_1^{\ast }}\right]\left[{\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,{\tau }^{\text{'}})+W(\xi ,{\tau }^{\text{'}})\right]d{\tau }^{{}^{\text{'}}}.$ (26)

Приведенные рассуждения в равной степени распространяются и на области с криволинейной границей, например, пространство, ограниченное изнутри цилиндрической или сферической поверхностью – случаи, имеющие большую практическую ценность [4]. Для такого рода областей уравнения совместности, вытекающие из (1)–(4), необходимо записать в перемещениях [3] и затем выразить искомые компоненты тензоров напряжений и деформаций через найденные перемещения, удовлетворяющих следующим векторным уравнениям для вязкоупругих сред в терминах динамической и квазистатической термовязкоупругости. Эти соотношения имеют вид:

для среды Максвелла

$grad\left[div\overline{U}(M,t)\right]-\frac{1}{v_p^2}\frac{{\partial }^2\overline{U}(M,t)}{\partial t^2}=\frac{1+v}{1-v}{\alpha }_{T}grad\left[T(M,t)-T_0\right]+$

$+\frac{2(1-2v)}{3(1-v){\tau }_p}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\exp \left[-\frac{(t-\tau )}{{\tau }_p}\right]grad\left[div\overline{U}(M,\tau )\right]d\tau ;$ (27)

среда Кельвина

$grad\left[div\overline{U}(M,t)\right]-\frac{1}{v_p^2}\frac{{\partial }^2\overline{U}(M,t)}{\partial t^2}=\frac{1+v}{1-v}{\alpha }_{T}grad\left[T(M,t)-T_0\right]-$

$-\frac{2(1-2v){\tau }_p}{(1-v)}\frac{\partial }{\partial t}\left\{grad\left[div\overline{U}(M,t)\right]\right\}.$ (28)

Следует подчеркнуть, что при выделении в (27)–(28) необходимой компоненты вектора перемещения в любой из трех координатных систем (декартовая, цилиндрическая, сферическая) необходимо приравнять соответствующие компоненты в векторной записи левой и правой частей. В этом случае выражения (27)–(28) могут быть легко расписаны в виде новых модельных представлений в теории теплового удара вязкоупругих тел.

Упруго-вязкоупругая аналогия

Рассмотрим еще один весьма эффективный подход изучаемой проблемы – так называемую упруго-вязкоупругую аналогию. Алфрей впервые заметил, что анализ поведения вязкоупругих тел может быть сведен к рассмотрению эквивалентных упругих задач для несжимаемых материалов – упруго-вязкоупругая аналогия. Воспользовавшись операционным методом (преобразованием Лапласа) Ли распространил эту аналогию на случай, когда материал сжимаем. И, наконец, на случай температурных напряжений аналогия Алфрея была обобщена Хилтоном, а аналогия – Ли–Штернбергом [2]. В последнем случае было показано, что поведение вязкоупругих тел в условиях резких температурных и механических воздействий может быть сведено к рассмотрению чисто термоупругих задач в терминах квазистатических моделей, если в операционном решении (по Лапласу $\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\mathrm{...}\exp (-st)dt)$ термоупругой задачи заменить модуль сдвига G и коэффициент Пуассона v их изображениями G(s) и v(s), вид которых определяется линейными реологическими моделями Максвелла и Кельвина, а именно:

$\overline{G}\left(s\right)=\frac{1}{2}\frac{{\overline{Q}}_1\left(s\right)}{{\overline{P}}_1\left(s\right)},\overline{\nu }\left(s\right)=\frac{\overline{K}\left(s\right)-2\overline{G}\left(s\right)}{2\left[\overline{K}\left(s\right)+\overline{G}\left(s\right)\right]},\overline{K}\left(s\right)=\frac{{\overline{Q}}_2\left(s\right)}{{\overline{P}}_2\left(s\right)}$ , (29)

где ${\overline{P}}_1\left(s\right)=1/{\vartheta }^{*}+S,{\overline{Q}}_1\left(s\right)=2GS,{\overline{P}}_2\left(s\right)=\frac{1-2\nu }{2G\left(1+\nu \right)},{\overline{Q}}_2\left(s\right)=1$,

для среды Максвелла и

${\overline{P}}_1\left(s\right)=\mathrm{1,}{\overline{Q}}_1\left(s\right)=2GS,{\overline{P}}_2\left(s\right)=\frac{1-2\nu }{2G\left(1+\nu \right)},{\overline{Q}}_2\left(s\right)=1$

для среды Кельвина. Теперь из (29) находим:

для среды Максвелла

$\left.\begin{array}{l}\overline{\nu }\left(s\right)=\frac{1+\nu +3\nu s{\vartheta }^{*}}{2\left(1+\nu \right)+3{\vartheta }^{*}s}=\nu \frac{s+1/{\vartheta }_2^{*}}{s+2\nu /{\vartheta }_2^{*}},\\ \overline{G}\left(s\right)=G\frac{s}{s+1/{\vartheta }^{*}},\frac{\text{1}+\overline{\nu }\left(s\right)}{\text{1}-\overline{\nu }\left(s\right)}=\frac{1+\nu }{1-\nu }\cdot \frac{s+1/{\vartheta }^{*}}{s+1/{\vartheta }_1^{*}},\\ {\vartheta }_1^{*}=\frac{3\left(1-\nu \right)}{1+\nu }{\vartheta }^{*},{\vartheta }_2^{*}=\frac{3\nu }{1+\nu }{\vartheta }^{*};\end{array}\right\}$, (30)

для среды Кельвина

$\left.\begin{array}{l}\overline{\nu }\left(s\right)=\frac{3\nu -\left(1-2\nu \right){\vartheta }^{*}s}{3+\left(1-2\nu \right){\vartheta }^{*}s},\overline{G}\left(s\right)=G\left(1+{\vartheta }^{*}s\right)\text{, }\\ \frac{\text{1}+\overline{\nu }\left(s\right)}{\text{1}-\overline{\nu }\left(s\right)}=\frac{1+\nu }{1-\nu }\cdot \frac{1}{1+s{\vartheta }_1^{*}},{\vartheta }_1^{*}=\frac{2\left(1-2\nu \right)}{3\left(1-\nu \right)}{\vartheta }^{*}\text{.}\end{array}\right\}$ (31)

Здесь ${\vartheta }^{\ast }={\tau }_p/(l^2/a).$

Приведенные соотношения касаются квазистатических процессов, однако, по мнению [6], допускается возможность отказаться от этого ограничения и применить указанный подход к динамическим исследованиям. Ниже как раз изучается такой случай, а именно термическая реакция вязкоупругого пространства z > l при резком температурном нагреве его поверхности от температуры T₀ до температуры T_c. При этом в рамках одномерного движения, рассмотренного в (22), исходную динамическую задачу в координатах (ξ, τ) (24) следует записать в виде

${\upsilon }_0^2\frac{{\partial }^2{\sigma }_{\xi \xi }}{\partial {\xi }^2}-\frac{{\partial }^2{\sigma }_{\xi \xi }}{\partial {\tau }^2}=\frac{2G\left(1+\nu \right)}{\left(1-2\nu \right)}\frac{{\partial }^{2}W}{\partial {\tau }^2},\xi >\mathrm{1,}\tau >\text{0}$, (32)

${\left.{\sigma }_{\xi \xi }\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\tau =0}={\left.\frac{\partial {\sigma }_{\xi \xi }\left(\xi ,\tau \right)}{\partial \tau }\right|}_{\tau =0}=0$, $\xi \ge \mathrm{1,}$ (33)

${\left.{\sigma }_{\xi \xi }\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\xi =1}={\left.{\sigma }_{\xi \xi }\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\xi =\infty }=0$, $\tau \ge 0$; (34)

$\frac{\partial W}{\partial \tau }=\frac{{\partial }^{2}W}{\partial {\xi }^2},\xi >\text{1, }\tau >\text{0,}$ (35)

${\left.W\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\tau =0}=0$, $\xi \ge \mathrm{1,}$${\left.W\left(\xi ,\tau \right)\right|}_{\xi =1}=1$, $\tau >0$, $\left.\left|W\right.\right|<\infty$, $\xi \ge \mathrm{1,}$$\tau \ge 0$. (36)

В (32)–(34) под ${\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )$ следует понимать ${\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )={\sigma }_{zz}(z,t)/\left[{\alpha }_T(T_c-T_0)\right].$ Операционное решение записанной задачи имеет вид:

${\overline{\sigma }}_{\xi \xi }\left(\xi ,s\right)=\frac{2G\left(1+\nu \right)}{\left(1-2\nu \right)\left(s-{\upsilon }_0^2\right)}\left\{\exp \left[-\left(\xi -1\right)s/{\upsilon }_0\right]-\exp \left[-\left(\xi -1\right)\sqrt{s}\right]\right\}$. (37)

Решение упругой задачи (32)–(36) относительно σ_ξξ(ξ, τ), указанного в (24), имеет вид:

 

${\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )=-(1/2)$$\left\{\exp \left[{\upsilon }_0^2(\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0})\right]{\Phi }^{\ast }(\frac{\xi -1}{2\sqrt{\tau }}-{\upsilon }_0\sqrt{\tau })\right\}+$

$+\exp \left[{\upsilon }_0^2(\tau +\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0})\right]{\Phi }^{\ast }(\frac{\xi -1}{2\sqrt{\tau }}+{\upsilon }_0\sqrt{\tau )}\left.\right\}+\eta (\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0})\exp \left[{\upsilon }_0^2(\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0})\right]$, (38)

где η(z) – функция Хевисайда. Переходя к вязкоупругой области ξ > 1, τ > 0, необходимо в изображении (37) заменить v и G на их изображения v(s) и G(s) по формулам (30)–(31). Вначале рассмотрим среду Максвелла (30).

Находим:

${\overline{\sigma }}_{\xi \xi }(\xi ,s)=\frac{s+{\omega }_1+{\omega }_2}{s^2-({\mathrm{v}}_0^2-{\omega }_1-{\omega }_2)s-{\mathrm{v}}_0^2{\omega }_1}\times$

$\times \left\{\exp \left[-\frac{(\xi -1)s}{{\mathrm{v}}_0}\sqrt{\frac{s+{\omega }_1+{\omega }_2}{s+{\omega }_1}}\right]-\exp \left[-(\xi -1)\sqrt{s}\right]\right\}$, (39)

где

${\omega }_1=\frac{1+v}{3(1-v){\vartheta }^{\ast }};{\omega }_2=\frac{2(1-2v)}{3(1-v){\vartheta }^{\ast }};{\mathrm{v}}_0^2=\frac{2G(1-v)}{\rho (1-2v)(a^2/l^2)}$. (40)

Нахождение оригинала изображения (39) связано с длительными преобразованиями. Остановимся лишь на принципиальных моментах.

Ключевым вопросом в (39) является нахождение оригинала ϕ(τ) по изображению

$\overline{\varphi }\left(p\right)=\exp \left[-\frac{\left(\xi -1\right)}{{\upsilon }_0}s\right]\sqrt{\frac{s+{\omega }_1+{\omega }_2}{s+{\omega }_1}}$ , (41)

что представляет самостоятельный интерес для теории операционного исчисления. Вначале найдем оригинал изображения $\overline{F}\left(p\right)=\left(1/p\right)\overline{\varphi }\left(p\right)$, применяя при вычислении интеграла Римана–Меллина $\left(1/2\pi i\right)\underset{\gamma -i\infty }{\overset{\gamma +i\infty }{\int }}\overline{F}\left(p\right)\exp \left(p\tau \right)dp$ контур, изображенный на рис. 1. Это приводит к результату

$F\left(\tau \right)=\eta \left(\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\right)\left\{1-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{{\omega }_2}{\int }}\frac{\exp \left[-\left(x+{\omega }_1\right)\tau \right]}{x+{\omega }_1}\sin \left[\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\left(x+{\omega }_1\right)\sqrt{\frac{{\omega }_2-x}{x}}\right]dx\right\}$. (42)

 

Рис. 1. Контур при нахождении оригинала изображения F(p).

 

Из (42) по правилу дифференцирования оригинала $\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\varphi \left(y\right)dy=F\left(\tau \right)$ находим искомый оригинал изображения (41):

$\begin{array}{l}\varphi \left(\tau \right)=\delta \left(\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\right)\left\{\left.1-\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{{\omega }_2}{\int }}\frac{\exp \left[-\left(x+{\omega }_1\right)\tau \right]}{x+{\omega }_1}\sin \left[\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\left(x+{\omega }_1\right)\sqrt{\frac{{\omega }_2-x}{x}}\right]dx\right\}+\right.\\ +\eta \left(\tau -\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\right)\left\{\left.\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{{\omega }_2}{\int }}\exp \left[-\left(x+{\omega }_1\right)\tau \right]\sin \left[\frac{\xi -1}{{\upsilon }_0}\left(x+{\omega }_1\right)\sqrt{\frac{{\omega }_2-x}{x}}\right]dx\right\},\right.\end{array}$  (43)

где δ(z) – дельта – функция Дирака. Предэкспоненциальный множитель в (39) разлагается на сумму дробей

$\left.\begin{array}{l}\frac{s+{\omega }_1+{\omega }_2}{s^2-\left({\upsilon }_0^2-{\omega }_1-{\omega }_2\right)s-{\upsilon }_0^2{\omega }_1}=\sum _{i=1}^2{\overline{\varphi }}_i\left(s\right)=\sum _{i=1}^2\frac{A_i}{s-{\gamma }_i}\\ {\gamma }_i=\frac{1}{2}\left[{\upsilon }_0^2-{\omega }_1-{\omega }_2+{\left(-1\right)}^{i-1}\sqrt{{\left({\upsilon }_0^2-{\omega }_1-{\omega }_2\right)}^2-4{\upsilon }_0^2{\omega }_1}\right];A_i=\frac{{\gamma }_1+{\omega }_1+{\omega }_2}{{\left(-1\right)}^{i-1}\left({\gamma }_1-{\gamma }_2\right)}.\end{array}\right\}$ (44)

Таким образом, вся необходимая информация для записи оригинала выражения (39) получена. Находим:

${\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )={\sigma }_{\xi \xi }^{\left(1\right)}(\xi ,\tau )+\eta \left(\tau -\frac{\xi -1}{{\mathrm{v}}_0}\right){\sigma }_{\xi \xi }^{\left(2\right)}(\xi ,\tau )$, (45)

$\begin{array}{l}{\sigma }_{{}_{\xi \xi }}^{\left(1\right)}\left(\xi ,\tau \right)=-\left\{\left(1/2\right)A_1\right.\sum _{i=1}^2\exp \left[{\gamma }_1\tau +{\left(-1\right)}^i\left(\xi -1\right)\sqrt{{\gamma }_1}\right]{\Phi }^{*}\left(\frac{\xi -1}{2\sqrt{\tau }}+{\left(-1\right)}^i\sqrt{{\gamma }_1\tau }\right)-\\ \left.-\frac{A_2}{\sqrt{\pi \tau }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left[-\frac{{\left(x+\xi -1\right)}^2}{4\tau }\right]\cos \sqrt{{\gamma }_2}xdx\right\},\end{array}$ (46)

${\sigma }_{{}_{\xi \xi }}^{\left(2\right)}\left(\xi ,\tau \right)=\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\phi }_1\left(\tau -{\tau }^{\text{'}}\right)\phi \left({\tau }^{\text{'}}\right)d{\tau }^{\text{'}}+\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\phi }_2\left(\tau -{\tau }^{\text{'}}\right)\phi \left({\tau }^{\text{'}}\right)d{\tau }^{\text{'}}$, (47)

где  – функция Крампа.

Рассмотрим теперь среду Кельвина. Соотношения (31) дают для этого случая:

 $\overline{\mathrm{v}}\left(s\right)=({\mathrm{v}}_0^2/{\omega }_1)(s+{\omega }_1),{\omega }_1=\frac{3(1-v)}{2(1-2v){\vartheta }^{\ast }}$. (48)

Переходя к оригиналам в изображении (39) с учетом (48), находим:

 ${\sigma }_{\xi \xi }(\xi ,\tau )=$

$=\exp (-{\omega }_1\tau )\left\{\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\psi }_1\left({\tau }^{\text{'}}\right){\psi }_2(\tau -{\tau }^{\text{'}})d{\tau }^{\text{'}}-\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}{\psi }_3\left({\tau }^{\text{'}}\right){\psi }_2(\tau -{\tau }^{\text{'}})d{\tau }^{\text{'}}\right\}+{\psi }_4\left(\tau \right),$(49)

где

$\left.\begin{array}{l}{\psi }_1\left(\tau \right)=\frac{{\gamma }_3/{\gamma }_1}{\sqrt{\pi \tau }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left[-\frac{{\left(x+\alpha \right)}^2}{4\tau }\right]\cos \sqrt{{\gamma }_3}xdx;{\psi }_2\left(\tau \right)=\frac{1}{\sqrt{\pi \tau }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(-\frac{x^2}{4\tau }\right)I_0\left(2\sqrt{\alpha {\omega }_{1}x}\right)dx;\\ \\ {\psi }_3\left(\tau \right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\alpha /2{\gamma }_1}{\sqrt{\pi {\tau }^3}}\exp \left(-\frac{{\alpha }^2}{4\tau }\right),& \alpha >\mathrm{0,}\\ \left(1/{\gamma }_1\right)\delta \left(\tau \right),& \alpha =0;\end{array}\right.{\psi }_4\left(\tau \right)=\frac{1/{\gamma }_1}{\sqrt{\pi \tau }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\exp \left[-\frac{{\left(x+\xi -1\right)}^2}{4\tau }\right]\cos \sqrt{{\gamma }_2}xdx;\end{array}\right\}$

$\alpha =\frac{\left(\xi -1\right)\sqrt{{\omega }_1}}{{\upsilon }_0};{\gamma }_1=\frac{{\upsilon }_0^2-{\omega }_1}{{\omega }_1};{\gamma }_2=\frac{{\upsilon }_0^2{\omega }_1}{{\upsilon }_0^2-{\omega }_1};{\gamma }_3=\frac{{\omega }_1^2}{{\upsilon }_0^2-{\omega }_1}.$(50)

На рис. 2 представлено изменение напряжения в сечении ξ = 2 со временем для вязкоупругой среды Кельвина (49) и упругой (38). В первом случае заметно влияние вязкости среды η в параметре ω₁ ∼ G/η согласно (10) и (48). По мере уменьшения вязкости, то есть увеличения ω₁, поведение кривых (38) и (49) качественно становится близким. Отличие в том, что для упругой среды вначале возникает составляющая напряжения сжатия за счет первого слагаемого в (38), затем в момент времени τ = (ξ – 1)/v₀ к сечению ξ = const > 1 приходит волна напряжения за счет второго слагаемого в (38), напряжение скачкообразно возрастает, переходит в область положительных и затем быстро убывает до нуля, достигая квазистатических значений. Для вязкоупругой области (при температурном нагреве) напряжение плавно без скачка изменяется непрерывно, оставаясь вначале сжимающим и далее, по мере увеличения параметра ω₁, переходит в область растягивающих, и далее также уменьшается до квазистатических значений. Различие в поведении обеих сред Максвелла и Кельвина отчетливо обнаруживается на поверхности области ξ = 1 для компонент σ_xx(ξ, τ) = σ_yy(ξ, τ) = σ_ξξ(ξ, τ) в условиях резкого охлаждения от температуры T₀ до температуры T_c (T_{0 >} T_c ). При этом $W\left(\xi ,\tau \right)=\left[T\left(z,t\right)-T_0\right]/\left(T_c-T_0\right)$ и W(ξ, 0) = 0, ξ ≥ 1, W(1, τ) = –1, τ > 0. На рис. 3 приведены графики изменения σ_ξξ(1, τ) для трех сред: упругой и вязкоупругих Максвелла и Кельвина. Для среды Гука и для среды Максвелла напряжения при мгновенном охлаждении скачкообразно изменяются на величину (1 – 2v)/(1 – v). В идеально упругом материале эти напряжения остаются неизменными, в среде Максвелла начинается вязкое течение, вследствие которого напряжение непрерывно убывает, асимптотически приближаясь к нулевому значению. В среде Кельвина, напротив, скачок напряжения при мгновенном охлаждении превышает соответствующее упругое значение, к которому это напряжение в последующем приближается. Таким образом, в среде Максвелла тело реагирует на быстрое охлаждение как вполне упругое и затем разгружается с течением времени, тогда как в среде Кельвина имеет место явление запаздывания по сравнению с упругим телом, вызванное внутренним сопротивлением. В то же время кривые на рис. 2 и 3 наглядно показывают качественное отличие результатов модельных представлений теплового удара вязкоупругих тел в рамках динамической и квазистатической моделей.

 

Рис. 2. Изменение напряжений в сечении ξ = 2; (υ₀² = 3; v = 0.25) Вязкоупругое тело: 1 – ω₁ = 0.5; 2 – ω₁ = 1.5; 3 – ω₁ = 2.5; 4 – упругое тело: нагрев.

 

Рис. 3. Изменение напряжения на поверхности области (υ₀² = 3; v = 0.25) 1 – ω₁ = 1; 2 – ω₁ = 2.

 

Заключение

Развиты модельные представления для динамической и квазистатической термовязкоупругости для различных случаев теплового нагружения вязкоупругих сред (температурный нагрев, тепловой нагрев, нагрев средой; тепловые нагрузки импульсные, пульсирующие, периодические, непереодические, постоянные, переменные и т.д.) в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приведенные соотношения позволяют аналитически изучить многочисленные практические случаи термической реакции вязкоупругой области (тел канонической формы) в рамках линейных реологических моделей в терминах классической феноменологии Фурье о распространении теплоты в твердых телах. Дальнейшее развитие указанной проблемы состоит, вероятно, в переходе к локально-неравновесным процессам теплообмена [9] с использованием развитого для этих целей аналитического аппарата [4; 9; 10].

About the authors

E. M. Kartashov

MIREA – Russian Technological University; Federal State Budgetary Educational Institution Moscow Aviation Institute (National Research University)

Author for correspondence.
Email: professor.kartashov@gmail.com
Russian Federation, Moscow; Moscow

S. S. Krylov

Federal State Budgetary Educational Institution Moscow Aviation Institute (National Research University)

Email: professor.kartashov@gmail.com
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files