Дифференциальные уравнения с запаздыванием как математические модели динамики популяций

Обложка
  • Авторы: Глаголев М.В.1,2,3,4,5, Сабреков А.Ф.2,3,4,5, Гончаров В.М.1
  • Учреждения:
    1. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"
    2. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Югорский государственный университет"
    3. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет"
    4. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт лесоведения" Российской академии наук
    5. Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт водных проблем Российской академии наук
  • Выпуск: Том 9, № 2 (2018)
  • Страницы: 40-63
  • Раздел: Теоретические работы
  • URL: https://journals.rcsi.science/EDGCC/article/view/10483
  • DOI: https://doi.org/10.17816/edgcc10483
  • ID: 10483

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Данная работа представляет собой адаптированную к формату журнальной статьи часть лекции курса «Математическое моделирование биологических процессов», читавшегося одним из авторов в Югорском государственном университете. В ней дается краткий обзор математических моделей, использующих аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наиболее подробно рассматриваются модели этого типа, описывающие популяционную динамику. Показано, что часто модели с запаздыванием приводят к решениям, лишенным биологического смысла.

Об авторах

Михаил В. Глаголев

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова" ; Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Югорский государственный университет" ; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет" ; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт лесоведения" Российской академии наук ; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт водных проблем Российской академии наук

Автор, ответственный за переписку.
Email: m_glagolev@mail.com
Россия, 119991, г. Москва, ул. Ленинские горы, д.1 ; 628012, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16 ; 634050, г.Томск, пр-т Ленина, 34а ; 143030, Московская обл., с. Успенское, ул. Советская, д.21 ; 143030, Московская обл., с. Успенское, ул. Советская, д.21 ; 119333, г. Москва, ул. Губкина, 3

Александр Фаритович Сабреков

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Югорский государственный университет" ; Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский Томский государственный университет" ; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт лесоведения" Российской академии наук ; Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт водных проблем Российской академии наук

Email: sabrekovaf@gmail.com
628012, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16 ; 634050, г.Томск, пр-т Ленина, 34а ; 143030, Московская обл., с. Успенское, ул. Советская, д.21 ; 143030, Московская обл., с. Успенское, ул. Советская, д.21 ; 119333, г. Москва, ул. Губкина, 3

Владимир Михайлович Гончаров

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова"

Email: m_glagolev@mail.com
119991, г. Москва, ул. Ленинские горы, д.1

Список литературы

  1. Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. 2017. Распространение волн в задаче Колмогорова-Петровского-Пискунова с запаздыванием // Доклады Академии наук. Т. 477. № 1. С. 16-21.
  2. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. 2005. MATLAB 7. СПб.: БХВ-Петербург. 1104 с.
  3. Бабский В.Г., Мышкис А.Д. 1983. Дополнение: Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия // Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. С. 383-394.
  4. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С., Буриев Т.И. 1980. Динамика системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции // Молчанов А.М., Базыкин А.Д. (ред.). Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦ био. исследований. С. 6-33.
  5. Башалханов И.А., Палкин Ю.Ф., Щербатюк А.С., Янькова Л.С., Русакова Л.В., Буряков Б.М. 1988. Модель развития агрокультуры в регулируемых условиях // Приложение математических моделей к анализу эколого-экономических систем / Под ред. И.А. Башалханова и В.А. Батурина. Новосибирск: Наука. С. 178-185.
  6. Братусь А.С., Новожилов А.С., Платонов А.П. 2010. Динамические системы и модели в биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ. 400 с.
  7. Бурд В.Ш. 1985. О математическом моделировании динамики численности сообщества хищник-жертва // «Математические и вычислительные методы в биологии»: Тезисы докладов Всесоюзного семинара (18-21 сентября 1985 г., Пущино) / Под ред. В.Н. Буравцева. Пущино: ОНТИ НЦ био. исследований АН СССР. С. 38-39.
  8. Буриев Т.И., Розет И.Г. 1985. Возникновение стохастических режимов в обобщенных моделях Лотка-Вольтерра // «Математические и вычислительные методы в биологии»: Тезисы докладов Всесоюзного семинара (18-21 сентября 1985 г., Пущино) / Под ред. В.Н. Буравцева. Пущино: ОНТИ НЦ био. исследований АН СССР. С. 25-26.
  9. Вольтерра В. 1976. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука. 288 с.
  10. Галкин Л.М., Москаленко А.И., Конторин В.В. (ред.). 1981. Динамика эколого-экономических систем. Новосибирск: Наука.
  11. Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Фаустова Е.В., Марфенина О.Е. 2016. Моделирование динамики концентрации грибного аэрозоля в приземном слое атмосферы: I. Основные процессы и уравнения // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 7. № 2 (14). С. 85-102.
  12. Глаголев М.В., Лапина Л.Э. 2012. Упрощение модели экосистемы на основе анализа характерных скоростей процессов // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 3. № 3. С. 3-30.
  13. Глаголев М.В., Фастовец И.А. 2012. Апология редукционизма (редукционизм – как мировоззренческая основа математического моделирования) // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 3. № 2 (6). С. 1-24.
  14. Горбенко Ю.А., Крышев И.И. 1985. Статистический анализ динамики морской экосистемы микроорганизмов. Киев: Наукова думка. 144 с.
  15. Дорофеев А.Г., Глаголев М.В., Бондаренко Т.Ф., Паников Н.С. 1992. Необычная кинетика роста Arthrobacter globiformis и ее объяснение // Микробиология. Т. 61. №1. С. 33-42.
  16. Дьяконов В.П. 2008. MATLAB 7.*/R2006/R2007. Самоучитель. М.: ДМК Пресс. 768 с.
  17. Жирмунский А.В., Кузьмин В.И. 1990. Критические уровни в развитии природных систем. Л.: Наука. 223 с.
  18. Заславский Б.Г., Полуэктов Р.А. 1988. Управление экологическими системами. М.: Наука. 296 с.
  19. Зинченко А.В. 2017. Модель гумификации и минерализции органических веществ в почве и ее использование для расчета составляющих углеродного баланса болотных экосистем // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. Т. 8. № 2. С. 3-17.
  20. Казакова Н.Л. 1993. Аналитические методы построения управлений, гарантирующих равновесное состояние системы // Моделирование природных систем и задачи оптимального управления / Петросян Л.А., Мазалов В.В. (ред.). Новосибирск: Наука. С. 74-78.
  21. Кащенко С.А. 2017. О Бифуркациях при малых возмущениях в логистическом уравнении с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. Т. 24. № 2. С. 168-185.
  22. Кащенко С.А. 2017а. Периодические решения нелинейных уравнений, обобщающие логистическое уравнений с запаздыванием // Математические заметки. Т. 102. № 2. С. 216-230.
  23. Колесов Ю.С., Швитра Д.И. 1979. Исследование двухчастотных колебаний в задаче «ХИЩНИК-ЖЕРТВА» // Дифференциальные уравнения и их применение. № 24. С. 49.
  24. Колесов Ю.С. 2001. Обоснование метода квазинормальных форм для уравнения Хатчинсона с малым коэффициентом диффузии // Известия Российской академии наук. Серия математическая. Т. 65. № 4. С. 111-132.
  25. Колесов Ю.С., Кубышкин Е.П. 1980. Численное исследование одной системы дифференциально-разностных уравнений, моделирующих задачу хищник-жертва // Молчанов А.М., Базыкин А.Д. (ред.). Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦ био. исследований. С. 54-62.
  26. Корзухин М.Д., Семевский Ф.Н. 1992. Синэкология леса. СПб.: Гидрометеоиздат. С. 118.
  27. Косолапова Л.Г., Ковров Б.Г. 1988. Эволюция популяций. Дискретное математическое моделирование. Новосибирск: Наука. 93 с.
  28. Кохановский В.П., Лешкевич Т.Г., Матяш Т.П., Фатхи Т.Б. 2007. Основы философии науки. Ростов н/Д.:Феникс. 608с.
  29. Кузнецов В.И., Козлов Н.И., Хомяков П.М. 2005. Математическое моделирование эволюции леса для целей управления лесным хозяйством. М.: ЛЕНАНД. 232 с.
  30. Марри Дж. 1983. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир. 400 с.
  31. Марчук Г.И. 1991. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука. 304 с.
  32. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. 1979. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа. 248 с.
  33. Мышкис А.Д. 1972. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 352 с.
  34. Мэрди Дж. 1979. Модели популяций // Эндрюс Дж., Мак-Лоун Г. (ред.). Математическое моделирование. М.: Мир. С. 109-127.
  35. Мюррей Д. 2009. Математическая биология. Том 1. Введение. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных исследований. 776 с.
  36. Мюррей Д. 2011. Математическая биология. Том 2. Пространственные модели и их приложения в биомедицине. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский ин-т компьютерных исследований. 1104 с.
  37. Никонов А.П. 2012. Формула бессмертия. На пути к неизбежному. М.: ЭНАС; СПб.: Питер. 720 с.
  38. Норкин С.Б. 1965. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 356 с.
  39. Орлов Д.С., Минько О.И., Аммосова Я.М., Каспаров С.В., Глаголев М.В. 1987. Методы исследования газовой функции почвы // Воронин А.Д., Орлов Д.С. (ред.). Современные физические и химические методы исследования почв. М.: Изд-во МГУ. C. 118-156.
  40. Пинни Э. 1961. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ.
  41. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. 1980. Динамические модели экологических систем. Л.: Гидрометеоиздат.
  42. Пэнтл Р. 1979. Методы системного анализа окружающей среды. М.: Мир.
  43. Ризниченко Г.Ю. 2016. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии. М.: Юрайт. 183 с.
  44. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. 1975. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука. 344 с.
  45. Романюха А.А. 2012. Математические модели в иммунологии и эпидемиологии инфекционных заболеваний. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 293 с.
  46. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. 1987. Кинетика биологических процессов. М.: Изд-во МГУ. 304 с.
  47. Свирежев Ю.М. 1987. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука. 368 с.
  48. Смит Дж.М. 1976. Модели в экологии. М.: Мир.
  49. Смит Дж. 2005. Математические идеи в биологии. М.: Мир. 176 с.
  50. Солодов А.В., Солодова Е.А. 1980. Системы с переменным запаздыванием. М.: Наука. 384 с.
  51. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. 1990. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир. 512 с.
  52. Хейл Дж. 1984. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир. 421 с.
  53. Хидиров Б.Н. 2014. Избранные работы по математическому моделированию регуляторики живых систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 304 с.
  54. Холл Дж., Уатт Дж. (ред.) 1979. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир.
  55. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. 1985. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. 280 с.
  56. Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. 2009. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB. СПб.: Лань. 304 с.
  57. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. 1971. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 296 с.
  58. Bazin M.J. 1981. Mixed Culture Kinetics // Bushell M.E., Slater J.H. (eds). Mixed Culture Fermetations. London etc.: Academic Press. P. 25-51.
  59. Bellen A., Zennaro M. 2013. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Oxford: Oxford University Press.
  60. Fall C.P., Marland E.S., Wagner J.M., Tyson J.J. 2002. Computational Cell Biology. New York etc.: Springer-Verlag.
  61. Goudriaan J., van Roermund H.J.W. 1993. Modelling of ageing, development, delays and dispersion // On systems analysis and simulation of ecological processes: with examples in CSMP and Fortran / Leffelaar P.A. (ed.). Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers. P. 89-126.
  62. Kolesov A., Mishchenko E., Kolesov Yu. 2010. A Modification of Hutchinson’s Equation // Computational Mathematics and Mathematical Physics. № 12. С. 1990.
  63. Leffelaar P.A. (ed.) 1993. On systems analysis and simulation of ecological processes: with examples in CSMP and Fortran. Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers.
  64. Panikov N.S., Blagodatsky S.A., Blagodatskaya J.V., Glagolev M.V. 1992. Determination of microbial mineralization activity in soil by modified Wright and Hobbie method // Biology and Fertility of Soils. V. 14. № 4. P. 280-287.
  65. Shoemaker C.A. 1977. Mathematical Construction of Ecological Models // Ecosystem Modeling in Theory and Practice: An Introduction with Case Histories / Hall C.A.S., Day J.W., Jr. (eds.). New York etc.: JOHN WILEY & SONS. P. 5-36.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Решение уравнения Goudriaan-Roermund с отловом. Значения коэффициентов в данном примере какого-то особого смысла не имеют, они приняты чисто условно – лишь для иллюстрации: b0=1, τ2=1, d0=0.1, с0=1.1; у0=1.

Скачать (15KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Типичная весовая функция w(t) для обобщенного эффекта запаздывания в модели (7) [Мюррей, 2009, с. 45].

Скачать (4KB)
Метаданные

© Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Гончаров В.М., 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NoDerivatives 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».