Candidate of Physics and Mathematics, Senior Researcher of Laboratory 45
физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории 45
The paper considers nonlinear autonomous first-orderdifference systems in real finite-dimensional spaces. For these systems, we studythe asymptotic stability of equilibria. The classical sufficient conditions for asymptotic stability of an equilibrium for difference equation generated by a smooth mapping $f$are as follows. If the spectral radius of the first derivative of the mapping $f$ at the given equilibrium point is strictly less than one, then this equilibrium point is asymptotically stable. In the present paper, new sufficient conditions for asymptotic stability of the equilibrium are given. The obtained conditions are also applicable to some mappings for which the spectral radius mentioned above is equal to one. These conditions are as follows. There exists a punctured neighborhood of the given equilibrium point such that the mapping defining the difference equation is locally contractive around each point of this neighborhood.We present an example in which the spectral radius mentioned above equals one,however, all the assumptions of the obtained stability theorem are fulfilled.It is shown that the known stability sufficient conditions follow from the obtained results.An important feature of our stability sufficient conditions is that they are applicable to difference equations generated by continuous non-smooth mappings.
В работе рассматриваются нелинейные разностные автономные системы первого порядка в вещественных конечномерных пространствах. Исследуется вопрос об устойчивостиположений равновесия для таких систем. Для разностного уравнения, порожденного гладким отображением $f,$ классические достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия состоят в следующем. Если спектральный радиус первой производной отображения $f$ в точке равновесия строго меньше единицы, то рассматриваемое положение равновесия является асимптотически устойчивым. В настоящей работе приводятся новые достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия, применимые и к широкому классу отображений, у которых указанный спектральный радиус может быть равен единице. Новые достаточные условия состоят в том, что существует выколотая окрестность заданного положения равновесия такая, что отображение, определяющее разностное уравнение, является локально сжимающим в каждой точке этой окрестности.Приведен пример, в котором указанный спектральный радиус равен единице,однако выполняются все предположения полученной теоремы об устойчивости. Показано, что известные достаточные условия устойчивости вытекают из результатов настоящей статьи. Важной особенностью предлагаемых результатов является то, что они применимы и к разностным уравнениям, порожденным непрерывными негладкими отображениями.