Russian Universities Reports. MathematicsRussian Universities Reports. MathematicsВестник российских университетов. Математика2686-96672782-3342Tambov State University - G.R. Derzhavin29809310.20310/2686-9667-2025-30-150-170-182MPYHEEOriginal articlesНаучные статьиResearch ArticleOn the asymptotic behavior of solutions of nonautonomous differential inclusions with a set of several Lyapunov functionsОб асимптотическом поведении решений неавтономных дифференциальных включений с набором нескольких функций Ляпуноваhttps://orcid.org/0000-0001-6821-3385FinogenkoIvan A.ФиногенкоИван Анатольевич
Russian Federation

Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Chief Researcher

доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

fin@icc.ruV.M. Matrosov Institute of System Dynamics and Control Theory SB RASФГБУН «Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН»26062025301501701822706202527062025Copyright ©; 2025, Finogenko I.A.Copyright ©; 2025, Финогенко И.А.2025Finogenko I.A.Финогенко И.А.https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rcsi.science/2686-9667/article/view/298093

or non-autonomous differential inclusions, the issues of attraction and asymptotic behavior of solutions are considered. The basis of the research is the development of the method of limit differential equations in combination with the direct Lyapunov method with several Lyapunov functions. This makes it possible to more accurately localize and determine the structure of \( ω \)-limit sets of solutions. The main problems of the research are the absence of properties of the invariance type of \( ω \)-limit sets of non-autonomous systems and the construction of limit differential relations. They are solved using limit differential inclusions constructed using shifts (translations) of the main differential inclusions. The results have the form of generalizations of the LaSalle invariance principle and provide preliminary information on the limit behavior of solutions. A set of additional Lyapunov functions allows one to refine this behavior and to single out those points from the set of zeros of the derivative of the main Lyapunov function that obviously do not belong to the \( ω \)-limit sets. The results are illustrated by the example of a linear oscillator with dry friction.

Для неавтономных дифференциальных включений рассматриваются вопросы притяжения и асимптотического поведения решений. Основой исследований служит развитие метода предельных дифференциальных уравнений в сочетании с прямым методом Ляпунова с несколькими функциями Ляпунова. Это дает возможность более точно проводить локализацию и определять структуру \( ω \)-предельных множеств решений. Основными проблемами исследований являются отсутствие свойств типа инвариантности \( ω \)-предельных множеств неавтономных систем и построение предельных дифференциальных соотношений. Они решаются с использованием предельных дифференциальных включений, построенных с использованием сдвигов (трансляций) исходных дифференциальных включений. Результаты имеют форму обобщений принципа инвариантности Ла-Салля и дают предварительную информацию о предельном поведении решений. Набор дополнительных функций Ляпунова позволяет уточнять это поведение и выделять те точки из множества нулей производной основной функции Ляпунова, которые заведомо \( ω \)-предельным множествам не принадлежат. Результаты иллюстрируются на примере линейного осциллятора с сухим трением.

limit differential inclusionLyapunov functioninvariance principleasymptotic behavior of solutionsattractionпредельное дифференциальное включениефункция Ляпуновапринцип инвариантностиасимптотическое поведение решенийпритяжениеThe work was carried out within the framework of the state assignment of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1210401300060-4).Работа выполнена в рамках госзадания Минобрнауки России (прект № 1210401300060-4).E.A. Barbashin, Lyapunov Functions, Nauka Publ., Moscow, 1975 (In Russian).Е.А. Барбашин, Функции Ляпунова, Наука, М., 1970.J.P. LaSalle, “Stability theory for ordinary differential equations”, Journal of Differential Equations, 4:1 (1968), 57–65.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. I. The basic theory”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 241–262.G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. II. Limiting equation”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 263–283.Z. Artstein, “Topological dynamics of an ordinary differential equation”, Journal of Differential Equations, 23:2 (1977), 216–223.I.A. Finogenko, “Limit differential inclusions and the principle of invariance of nonautonomous systems”, Siberian Mathematical Journal, 55:2 (2014), 372–386.И.А. Финогенко, “Предельные дифференциальные включения и принцип инвариантности неавтономных систем”, Сибирский математический журнал, 55:2 (2014), 454–471.I.A. Finogenko, “Invariance principle for non-autonomous differential equations with discontinuous right-hand sides”, Siberian Mathematical Journal, 57:4 (2016), 715–725.И.А. Финогенко, “Принцип инвариантности для неавтономных дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями”, Сибирский математический журнал, 57:4 (2016), 913–927.I.A. Finogenko, “Problems and methods of studying functional-differential equations with discontinuous right-hand side”, Reports of the Russian Academy of Sciences. Mathematics, Informatics, Control Processes, 522:2 (2025), In Russian (to appear).И.А. Финогенко, “Проблемы и методы исследования функционально-дифференциальных уравнений с разрывной правой частью”, Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления, 522:2 (2025) (в печати).V.M. Matrosov, Method of Vector Lyapunov Functions: Analysis of Dynamic Properties of Systems, Fizmatlit Publ., Moscow, 2001 (In Russian).В.М. Матросов, Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств систем, Физматлит, M., 2001.Yu. G. Borisovich, B.D. Gelman, A.D. Myshkis, V.V. Obukhovsky, Introduction to the Theory of Multivalued Mappings and Differential Inclusions, KomKniga Publ., Moscow, 2005 (In Russian).Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис, В.В. Обуховский, Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, КомКнига, М., 2005.A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side, Nauka Publ., Moscow, 1985 (In Russian).А.Ф. Филиппов, Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, Наука, M., 1985.T. Yoshizawa, “Liapunov’s function and boundedness of solutions”, Funkcialaj Ekvacioj, 2 (1959), 95–142.K.S. Lapin, Poisson boundedness of solutions of systems of differential equations, Mordovian State Pedagogical University named after M.E. Evseviev, Saransk, 2022 (In Russian), 165 pp.К.С. Лапин, Ограниченность по Пуассону решений систем дифференциальных уравнений, Мордовский государственный педагогический университет имени М.Е. Евсевьева, Саранск, 2022, 165 с.V.M. Marrosov, I.A. Finogenko, “The invariance principle and attracting sets for autonomous systems”, Dokl. Math., 41:7 (1996), 313–315.В.М. Матросов, И.А. Финогенко, “О принципе инвариантности и притягивающих множествах для автономных систем”, Доклады РАН, 349:1 (1996), 46–48.I.A. Finogenko, “On the asymptotic behavior of mechanical systems with friction”, Siberian Mathematical Journal, 63:5 (2022), 974–982.И.А. Финогенко, “Об асимптотическом поведении механических систем с трением”, Сибирский математический журнал, 63:5 (2022), 1158–1169.