Russian Universities Reports. MathematicsRussian Universities Reports. MathematicsВестник российских университетов. Математика2686-96672782-3342Tambov State University - G.R. Derzhavin29733110.20310/2686-9667-2019-24-128-450-456ArticlesСтатьиResearch ArticleSpectral synthesis on zero-dimensional locally compact Abelian groupsСпектральный синтез на нульмерных локально компактных абелевых группахPlatonovSergey S.ПлатоновСергей Сергеевич

Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Mathematical Analysis Department

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа

platonov@petrsu.ruPetrozavodsk State UniversityФГБОУ ВО «Петрозаводский государственный университет»1001202024128VOL 24, NO128 (2019)ТОМ 24, №128 (2019)45045620062025Copyright ©; 2025, Platonov S.S.Copyright ©; 2025, Платонов С.С.2025Platonov S.S.Платонов С.С.https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rcsi.science/2686-9667/article/view/297331

Let G be a zero-dimensional locally compact Abelian group whose elements are compact, C(G) the space of continuous complex-valued functions on the group G . A closed linear subspace H ⊆ C(G) is called invariant subspace, if it is invariant with respect to translations τ y : f(x) ↦ f(x + y) , y ∈ G . We prove that any invariant subspace H admits spectral synthesis, which means that H coincides with the closure of the linear span of all characters of the group G contained in H .

Пусть G - нульмерная локально компактная абелева группа, все элементы которой компактны, C( G) - пространство всех непрерывных комплекснозначных функций на группе G . Замкнутое линейное подпространство H ⊆ C( G) называется инвариантным подпространством, если оно инвариантно относительно сдвигов τ y : f( x) ↦ f( x + y) , y ∈ G . В работе доказывается, что любое инвариантное подпространство H допускает спектральный синтез, то есть H совпадает с замыканием линейной оболочки всех содержащихся в H характеров группы G .

zero-dimensional groupscharactersharmonic analysisspectral synthesisinvariant subspacesнульмерные группыхарактерыгармонический анализспектральный синтезинвариантные подпространстваL. Schwartz, “Th´eorie g´en´erale des fonctions moynne-p´eriodiques”, Ann. of Math., 48 (1947), 875-929.J.E. Gilbert, “On the ideal structure of some algebras of analytic functions”, Pacif. J. of Math., 35:3 (1078), 625-639.S.S. Platonov, “Spectral synthesis in some topological vector spaces of functions”, St.Petersburg Math. J., 22:5 (2011), 813-833.D.I. Gurevich, “Counterexamples to a problem of L. Schwartz”, Funct. Anal. Appl., 9:2 (1975), 116-120.L. Schwartz, “Analyse et synth´ese harmonique dans les espaces de distributions”, Can. J. Math., 3 (1951), 503-512.L. Sz´ekelyhidi, Discrete spectral synthesis and its applications, Springer, Berlin, 2006.L. Sz´ekelyhidi, “On discrete spectral synthesis”, Advances in Mathematics, Functional Equations - Results and Advances, eds. Z. Daro´czy, Zs. P´ales, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002, 263-274.A. Bereczky, L. Sz´ekelyhidi, “Spectral synthesis on torsion groups”, J. Math. Anal. Appl., 304 (2005), 607-613.M. Laczkovich, L. Sz´ekelyhidi, “Spectral synthesis on discrete Abelian groups”, Math. Proc. Cambr. Phil. Soc., 143 (2007), 103-120.С.С. Платонов, “Спектральный синтез в пространстве функций экспоненциального роста на конечно порожденной абелевой группе”, Алгебра и анализ, 24:4 (2012), 182-200.B. Golubov, A. Efimov, V. Skvortsov, Walsh series and transforms. Theory and applications, Kluwer Academic Publishers Group, Netherlands, 1991.E. Hewitt, K. A. Ross, “Abstract harmonic analysis”, Structure of topological groups, integration theory, group representations. V.I, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 1994.И. Рубистейн, Г.Н. Агаев, Н.Я. Виленкин, А.Г.М. Джафарли, Мультипликативная система функций и гармонический анализ на нульмерных группах, Элм, Баку, 1981.M. Lefranc, “Analyse spectrale sur Zn ”, C.R. Acad. Sci. Paris, 246 (1958), 1951-1953.