Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Director of the Research Institute of Mathematics, Physics and Informatics
доктор физико-математических наук, профессор, директор научно-исследовательского института математики, физики и информатики.
Deputy Deen for Postgraduate Studies
заместитель декана по последипломному образованию
The conditions of continuity of the implicit set-valued map and the inverse setvalued map acting in topological spaces are proposed. For given mappings f : T ×X → Y , y : T → Y , where T,X,Y are topological spaces, the space Y is Hausdorff, the equation f(t,x) = y(t) with the parameter t ∈ T relative to the unknown x ∈ X is considered. It is assumed that for some multi-valued map U : T ⇉ X for all t ∈ T the inclusion f(t,U(t)) ∋ y(t) is satisfied. An implicit mapping R U : T ⇉ X , which associates with each value of the parameter t ∈ T the set of solutions x(t) ∈ U(t) of this equation. It is proved that R U is upper semicontinuous at the point t 0 ∈ T , if the following conditions are satisfied: for any x ∈ X the map f is continuous at ( t 0 ,x) , the map y is continuous at t 0 , a multi-valued map U is upper semicontinuous at the point t 0 and the set U( t 0 ) ⊂ X is compact. If, in addition, with the value of the parameter t 0 , the solution to the equation is unique, then the map R U is continuous at t 0 and any section of this map is also continuous at t 0 . The listed results are applied to the study of a multi-valued inverse mapping. Namely, for a given map g : X → T we consider the equation g(x) = y with respect to the unknown x ∈ X . We obtain conditions for upper semicontinuity and continuity of the map V U : T ⇉ X , V U (t) = {x ∈ U(t) : g(x) = t} , t ∈ T .
Предлагаются условия непрерывности действующих в топологических пространствах неявного многозначного отображения и обратного многозначного отображения. Для заданных отображений f : T × X → Y , y : T → Y , где T, X, Y - топологические пространства, пространство Y хаусдорфово, рассматривается уравнение f( t, x) = y( t) с параметром t ∈ T относительно неизвестного x ∈ X . Предполагается, что для некоторого многозначного отображения U : T ⇉ X при всех t ∈ T выполнено включение f( t, U( t)) ∋ y( t) . Определяется неявное отображение R U : T ⇉ X , которое сопоставляет каждому значению параметра t ∈ T множество решений x( t) ∈ U( t) данного уравнения. Доказано, что R U полунепрерывно сверху в точке t 0 ∈ T , если выполнены следующие условия: при любом x ∈ X отображение f непрерывно в точке ( t 0 , x) , отображение y непрерывно в точке t 0 , многозначное отображение U полунепрерывно сверху в точке t 0 и множество U( t 0 ) ⊂ X компактно. Если дополнительно, при значении параметра t 0 решение уравнения единственно, то отображение R U непрерывно в точке t 0 и любое сечение этого отображения также непрерывно в точке t 0 . Перечисленные результаты применены к исследованию многозначного обратного отображения. Именно, для заданного отображения g : X → T рассмотрено уравнение g( x) = y относительно неизвестного x ∈ X . Получены условия полунепрерыности сверху и непрерывности отображения V U : T ⇉ X , V U ( t) = { x ∈ U( t) : g( x) = t} , t ∈ T .