Candidate of Physics and Mathematics, Leading Researcher
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник
Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
We study the question of the existence of a solution to the Cauchy problem for a differential equation unsolved with respect to the derivative of the unknown function. Differential equations generated by twice continuously differentiable mappings are considered. We give an example showing that the assumption of regularity of the mapping at each point of the domain is not enough for the solvability of the Cauchy problem. The concept of uniform regularity for the considered mappings is introduced. It is shown that the assumption of uniform regularity is sufficient for the local solvability of the Cauchy problem for any initial point in the class of continuously differentiable functions. It is shown that if the mapping defining the differential equation is majorized by mappings of a special form, then the solution of the Cauchy problem under consideration can be extended to a given time interval. The case of the Lipschitz dependence of the mapping defining the equation on the phase variable is considered. For this case, estimates of non-extendable solutions of the Cauchy problem are found. The results are compared with known ones. It is shown that under the assumptions of the proved existence theorem, the uniqueness of a solution may fail to hold. We provide examples llustrating the importance of the assumption of uniform regularity.
Исследуется вопрос о существовании решения задачи Коши для дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной неизвестной функции. Рассматриваются дифференциальные уравнения, порожденные дважды непрерывно дифференцируемыми отображениями. Приведен пример, показывающий, что предположения регулярности отображения в каждой точке определения недостаточно для разрешимости задачи Коши. Введено понятие равномерной регулярности рассматриваемых отображений. Показано, что предположение равномерной регулярности является достаточным для локальной разрешимости задачи Коши при любых начальных данных в классе непрерывно дифференцируемых функций. Показано, что если отображение, определяющее дифференциальное уравнение, мажорируется отображениями специального вида, то решение рассматриваемой задачи Коши продолжаемо на заданный интервал времени. Рассмотрен случай липшицевой зависимости от фазовой переменной отображения, определяющего уравнение. Для этого случая найдены оценки непродолжаемых решений задачи Коши. Проведено сравнение полученных результатов с известными ранее. Показано, что в предположениях доказанной теоремы существования решения единственность решения для рассматриваемых задач не характерна. Приведен пример, иллюстрирующий существенность предположения равномерной невырожденности для утверждения о существовании локального решения и для утверждения о продолжении решения на заданный интервал времени.