Russian Universities Reports. MathematicsRussian Universities Reports. MathematicsВестник российских университетов. Математика2686-96672782-3342Tambov State University - G.R. Derzhavin296410Original articlesНаучные статьиResearch ArticleMaximal linked systems on families of measurable rectanglesМаксимальные сцепленные системы на семействах измеримых прямоугольниковChentsovAleksandr G.ЧенцовАлександр Георгиевич
Russian Federation

Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Chief Researcher; Professor

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник; профессор

chentsov@imm.uran.ruN. N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of SciencesФГБУН «Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского» Уральского отделения Российской академии наукUral Federal University named after the first President of Russia B. N. YeltsinФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б. Н. Ельцина»0906202526133771040906202509062025Copyright ©; 2025, Chentsov A.G.Copyright ©; 2025, Ченцов А.Г.2025Chentsov A.G.Ченцов А.Г.https://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rcsi.science/2686-9667/article/view/296410

Linked and maximal linked systems (MLS) on π-systems of measurable (in the wide sense) rectangles are considered (π-system is a family of sets closed with respect to finite intersections). Structures in the form of measurable rectangles are used in measure theory and probability theory and usually lead to semi-algebra of subsets of cartesian product. In the present article, sets-factors are supposed to be equipped with π-systems with “zero” and “unit”. This, in particular, can correspond to a standard measurable structure in the form of semialgebra, algebra, or σ-algebra of sets. In the general case, the family of measurable rectangles itself forms a π-system of set-product (the measurability is identified with belonging to a π- system) which allows to consider MLS on a given π-system (of measurable rectangles). The following principal property is established: for all considered variants of π-system of measurable rectangles, MLS on a product are exhausted by products of MLS on sets-factors. In addition, in the case of infinity product, along with traditional, the “box” variant allowing a natural analogy with the base of box topology is considered. For the case of product of two widely understood measurable spaces, one homeomorphism property concerning equipments by the Stone type topologies is established.

Рассматриваются сцепленные и максимальные сцепленные системы (МСС) на π -системах измеримых (в широком смысле) прямоугольников (π-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Структуры в виде семейства измеримых прямоугольников используются в теории меры и теории вероятностей и приводят обычно к полуалгебре подмножеств декартова произведения. В настоящей работе пространства-сомножители предполагаются оснащенными π-системами с «нулем» и «единицей», что, в частности, может соответствовать стандартной измеримой структуре в виде полуалгебры, алгебры или σ-алгебры множеств. В общем случае семейство измеримых прямоугольников (измеримость отождествляется с принадлежностью к π-системе) само образует π-систему множества-произведения, что позволяет рассматривать МСС на данной π-системе (измеримых прямоугольников). Устанавливается следующее основное свойство: во всех рассматриваемых вариантах π-системы измеримых прямоугольников МСС на произведении исчерпываются произведениями МСС на пространствах-сомножителях. При этом в случае бесконечного произведения, наряду с традиционным, рассматривается «ящичный» вариант, допускающий естественную аналогию с базой ящичной топологии. Для случая произведения двух широко понимаемых измеримых пространств установлено одно свойство гомеоморфности, касающееся оснащений топологиями стоуновского типа.

linked systemsmeasurable rectanglesπ -systemсцепленные системыизмеримые прямоугольникиπ -системаThe work is partially supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00371_а).Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 19-01-00371_а).A. G. Chentsov, "Bitopological spaces of ultrafilters and maximal linked systems", Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 305:suppl. 1 (2019), S24-S39.А. Г. Ченцов, “Битопологические пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, 2018, 257–272.A. G. Chentsov, "Ultrafilters and maximal linked systems", Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 27:3 (2017), 365-388 (In Russian).А. Г. Ченцов, “Ультрафильтры и максимальные сцепленные системы множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:3 (2017), 365–388.A. G. Chentsov, "Supercompact spaces of ultrafilters and maximal linked systems", Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, 25, 2019, 240-257 (In Russian).А. Г. Ченцов, “Суперкомпактные пространства ультрафильтров и максимальных сцепленных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, 2019, 240–257.J. de Groot, "Superextensions and supercompactness", Extension Theory of Topological Structures and its Applications, I International Symposium "Extension Theory of Topological Structures and its Applications" (Berlin, 1969), Proceedings of the Symposium, VEB Deutscher Verlag Wis., Berlin, 1969, 89-90.J. van Mill, "Supercompactness and Wallman spaces", Mathematical Centre Tracts. V. 85, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1977, 238 pp.M. Strok, A. Szymanski, "Compact metric spaces have binary subbases", Fund. Math, 89:1 (1975), 81-91.V. V. Fedorchuk, V. V. Filippov, General Topology. Basic Constructions, Fizmatlit Publ., Moscow, 2006 (In Russian), 336 pp.В. В. Федорчук, В. В. Филиппов, Общая топология. Основные конструкции, Физматлит, М., 2006, 336 с.A. V. Arkhangel'skii, "Compactness", General topology - 2, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Probl. Mat. Fund. Napr., 50, VINITI, Moscow, 1989, 5-128 (In Russian).А. В. Архангельский, “Компактность”, Общая топология – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 50, ВИНИТИ, М., 1989, 5–128.A. V. Bulinskiy, A. N. Shiryaev, Theory of Stochastic Processes, Fizmatlit, M., 2005 (In Russian), 402 pp.А. В. Булинский, А. Н. Ширяев, Теория случайных процессов, Физматлит, М., 2005, 402 с.A. G. Chentsov, "On the question of representation of ultrafilters and their application in extension constructions", Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 284:suppl. 1 (2014), 65-78.А. Г. Ченцов, “К вопросу о представлении ультрафильтров в произведении измеримых пространств”, Тр. ИММ УрО РАН, 19, 2013, 307–319.A. G. Chentsov, Elements of Finitely Additive Measure Theory, II, Ural State Technical University - UPI, Yekaterinburg, 2010 (In Russian), 541 pp.А. Г. Ченцов, Элементы конечно-аддитивной теории меры, II, Уральский государственный технический университет – УПИ, Екатеринбург, 2010, 541 с.K. Kuratovsky, A. Mostovsky, Set Theory, Mir Publ., Moscow, 1970 (In Russian), 416 pp.К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир, М., 1970, 416 с.J. Warga, Optimal Control of Differential and Functional Equations, Science, Moscow, 1977 (In Russian), 624 pp.Дж. Варга, Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями, Наука, М., 1977, 624 с.J. Neve, Mathematical Foundations of Probability Theory, Mir Publ., Moscow, 1969 (In Russian), 309 pp.Ж. Неве, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.A. G. Chentsov, "Filters and linked families of sets", Vestn. Udmurtsk. Univ. Mat. Mekh. Komp. Nauki, 30:3 (2020), 444-467 (In Russian).А. Г. Ченцов, “Фильтры и сцепленные семейства множеств”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 30:3 (2020), 444–467.A. G. Chentsov, "On the supercompactness of ultrafilter space with the topology of Wallman type", Izv. IMI UdGU, 54 (2019), 74-101 (In Russian).А. Г. Ченцов, “О суперкомпактности пространства ультрафильтров с топологией волмэновского типа”, Изв. ИМИ УдГУ, 54 (2019), 74–101.V. I. Bogachev, Weak Convergence of Measures, Institute for Computer Research, Moscow-Izhevsk, 2016 (In Russian), 396 pp.В. И. Богачев, Слабая сходимость мер, Институт компьютерных исследований, М.-Ижевск, 2016, 396 с.R. Engelking, General Topology, Mir Publ., Moscow, 1986 (In Russian), 751 pp.Р. Энгелькинг, Общая топология, Мир, М., 1986, 751 с.A. G. Chentsov, S. I. Morina, Extensions and Relaxations, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht–Boston–London, 2002, 408 с.N. Burbaki, General Topology. Basic Structures, Nauka Publ., Moscow, 1968 (In Russian), 272 pp.Н. Бурбаки, Общая топология. Основные структуры, Наука, М., 1968, 272 с.R. A. Alexandryan, E. A. Mirzakhanyan, General Topology, High School Publ., Moscow, 1979 (In Russian), 336 pp.Р. А. Александрян, Э. А. Мирзаханян, Общая топология, Высшая школа, М., 1979, 336 с.