Том 28, № 3 (2020)

Существует множество систем массового обслуживания, которые принимают единичные требования, накапливают их и обслуживают только как группу. Примеры таких систем можно найти в различных областях человеческой жизни от трафика транспортных перевозок до обработки запросов в компьютерных сетях. Этим обуславливается актуальность нашего исследования. В этой статье изучается некоторый класс конечных марковских моделей массового обслуживания с одиночным прибытием и групповым обслуживанием. Рассмотрена прямая система Колмогорова для соответствующего класса цепей Маркова. Метод определения границ сходимости, основанный на понятии логарифмической нормы, здесь не применим. Такой подход даёт точные оценки для моделей, для которых матрица соответствующей системы существенно неотрицательна, но в нашем случае это не так. Здесь мы использовали новый метод «дифференциальных неравенств» для получение оценки скорости сходимости для этого класса конечных марковских моделей. Кроме того, мы получили оценки скорости сходимости и вычислили предельные характеристики и для соответствующей нестационарной модели. Заметим, что результаты могут быть успешно применены для моделирования сложных биологических систем, в которых возможны рождения новых особей только по одной и гибель групп.

Описание взаимодействия релятивистских частиц в рамках квазипотенциального подхода широко применяется в современной физике. Этот подход основан на так называемой ковариантной формулировке квантовой теории поля, в которой эта теория рассматривается на пространственно-подобной трёхмерной гиперповерхности в пространстве Минковского. Особое внимание в этом подходе уделяется методам построения различных квазипотенциалов, а также использованию квазипотенциального подхода для описания характеристик связанных состояний в кварковых моделях, таких как амплитуды адронного упругого рассеяния, масс-спектры и ширины распадов мезонов, сечения глубокого неупругого рассеяния лептонов на адронах.

В настоящей работе сформулированы задачи Штурма–Лиувилля с периодическими граничными условиями на отрезке и на положительной полупрямой для усечённого релятивистского конечно-разностного уравнения Шрёдингера (уравнение Логунова–Тавхелидзе–Кадышевского, LTKT-уравнение) с малым параметром при старшей производной.

Целью работы является построение асимптотических решений (собственных функций и собственных значений) в виде регулярных и погранслойных частей решений для этой сингулярно возмущённой задачи Штурма–Лиувилля. Основная задача исследования состоит в асимптотическом анализе поведенческих решений рассматриваемой задачи в случае ε→0 и m→∞. Нами был предложен метод построения асимптотических решений (собственных функций и собственных значений), который является обобщением асимптотических методов решения сингулярно возмущённых задач, представленных в работах А. Н. Тихонова, А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова. Основной результат данной работы — доказанные теоремы об асимптотической сходимости решений сингулярно возмущённой задачи к решениям вырожденной задач при ε→0 и сходимости решений усечённого LTKT-уравнения в случае m→∞. Кроме того, в статье нами рассматривается задача Штурма–Лиувилля на положительной полуоси для LTKT-уравнения 4-го порядка с периодическими граничными условиями для квантового гармонического осциллятора. Для этой задачи построены асимптотические приближения собственных функций и собственных значений и показана их сходимость к решению вырожденной задачи.