Об устойчивом вычислении нормали к поверхности, заданной приближённо

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе предлагается устойчивый метод построения нормали к поверхности, заданной приближённо. Нормаль вычисляется как градиент функции в уравнении поверхности. Как известно, задача вычисления производной является некорректно поставленной. В работе принят подход к решению этой задачи как к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Для построения её устойчивого решения используется принцип минимума сглаживающего функционала в формулировке Морозова. Нормаль получена в виде ряда Фурье в разложении по собственным функциям оператора Лапласа в прямоугольнике с краевыми условиями второго рода. В стабилизаторе функционала используется лапласиан, что позволяет получить нормаль в виде ряда Фурье, равномерно сходящегося к точному вектору нормали при стремлении к нулю погрешности в задании поверхности. Полученный приближенный вектор нормали может использоваться при решении различных задач математической физики, использующих поверхностные интегралы, нормальные производные, потенциалы простого и двойного слоя.

Об авторах

Е. Б. Ланеев

Российский университет дружбы народов

Email: elaneev@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4255-9393

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor of Mathematical Department

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Обаида Бааж

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: 1042175025@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-4813-7981

Post-Graduate Student of Mathematical Department

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Список литературы

  1. A. N. Tikhonov and V. J. Arsenin, Methods for solving ill-posed problems [Metody resheniya nekorrektnyh zadach]. Moscow: Nauka, 1979, in Russian.
  2. T. F. Dolgopolova and V. K. Ivanov, “On numerical differentiation,” USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 6, no. 3, pp. 223-232, 1966. doi: 10.1016/0041-5553(66)90145-5.
  3. V. V. Vasin, “The stable evaluation of a derivative in space C(-∞,∞),” USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 13, no. 6, pp. 16-24, 1973, english. doi: 10.1016/0041-5553(73)90002-5.
  4. R. S. Anderssen and P. Bloomfield, “Numerical differentiation procedures for non-exact data,” Numerische Mathematik, vol. 22, pp. 157-182, 1974. doi: 10.1007/BF01436965.
  5. C. W. Groetsch, “Optimal order of accuracy in Vasin’s method for differentiation of noisy functions,” Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 74, pp. 373-378, 1992. doi: 10.1007/BF00940901.
  6. M. Hanke and O. Scherzer, “Inverse problems light: Numerical differentiation,” American Mathematical Monthly, vol. 108, no. 6, pp. 512-521, 2001, english. doi: 10.1080/00029890.2001.11919778.
  7. S. Ahn, U. J. Choi, and A. G. Ramm, “A scheme for stable numerical differentiation,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 186, no. 6, pp. 325-334, 2006, english. doi: 10.1016/j.cam.2005. 02.002.
  8. Z. Meng, Z. Zhao, D. Mei, and Y. Zhou, “Numerical differentiation for two-dimensional functions by a Fourier extension method,” Inverse Problems in Science and Engineering, vol. 28, no. 1, pp. 126-143, 2020, english. doi: 10.1080/17415977.2019.1661410.
  9. E. V. Semenova, S. G. Solodky, and S. A. Stasyuk, “Application of Fourier truncation method to numerical differentiation for bivariate functions,” Computational Methods in Applied Mathematics, vol. 22, no. 2, pp. 477-491, 2022, english. doi: 10.1515/cmam-2020-0138.
  10. V. A. Morozov, “On a stable method for computing the values of unbounded operators [Ob odnom ustoychivom metode vychisleniya znacheniy neogranichennykh operatorov],” Dokladi AN SSSR, vol. 185, no. 2, pp. 267-270, 1969, in Russian.
  11. E. B. Laneev and M. N. Muratov, “On the stable solution of a mixed boundary value problem for the Laplace equation with an approximately given boundary [Ob ustoychivom reshenii smeshannoy krayevoy zadachi dlya uravneniya Laplasa s priblizhenno zadannoy granitsey],” Vestnik RUDN. Matematika, vol. 9, no. 1, pp. 102-111, 2002, in Russian.
  12. E. B. Laneev, N. Y. Chernikova, and O. Baaj, “Application of the minimum principle of a Tikhonov smoothing functional in the problem of processing thermographic data,” Advances in Systems Science and Applications, no. 1, pp. 139-149, 2021. doi: 10.25728/assa.2021.21. 1.1055.
  13. O. Baaj, N. Y. Chernikova, and E. B. Laneev, “Correction of thermographic images based on the minimization method of Tikhonov functional,” Yugoslav Journal of Operations Research, vol. 32, no. 3, pp. 407-424, 2022. doi: 10.2298/YJOR211015026B.
  14. E. B. Laneev and E. Y. Ponomarenko, “On a linear inverse potential problem with approximate data on the potential field on an approximately given surface,” Eurasian mathematical journal, vol. 14, no. 1, pp. 57-70, 2023. doi: 10.32523/2077-9879-2023-14-1-55-70.
  15. R. W. Hamming, Numerical methods for scientists and engineers. New York: McGraw-Hill Book Company, 1962.
  16. E. B. Laneev and O. Baaj, “On a modification of the Hamming method for summing discrete Fourier series and its application to solve the problem of correction of thermographic images,” Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, vol. 30, no. 4, pp. 342-356, 2022. doi: 10.22363/2658-4670-2022-30-4-342-356.
  17. E. B. Laneev, M. N. Mouratov, and E. P. Zhidkov, “Discretization and its proof for numerical solution of a Cauchy problem for Laplace equation with inaccurately given Cauchy conditions on an inaccurately defined arbitrary surface,” Physics of Particles and Nuclei Letters, vol. 5, no. 3, pp. 164-167, 2002. doi: 10.1134/S1547477108030059.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».