Асимптотика спектра вариационных задач, возникающих в теории колебаний жидкости

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Работа представляет собой обзор результатов по асимптотике спектра вариационных задач, возникающих в теории малых колебаний жидкости в сосуде вблизи положения равновесия. Задачи были поставлены Н. Д. Копачевским в конце 1970-х годов и охватывают различные модели жидкости. Постановки даются как в виде краевых задач на собственные значения в области Ω⊂R3, которую занимает жидкость в положении равновесия, так и в виде вариационных задач о спектре отношения квадратичных форм. Общими чертами всех рассматриваемых задач является наличие «эллиптической» связи (уравнение Лапласа для идеальной жидкости или однородная система Стокса для вязкой жидкости), а также вхождение спектрального параметра в граничное условие на свободной (равновесной) поверхности Γ. Спектр в рассматриваемых задачах дискретен; функции распределения спектра имеют степенную асимптотику.

Об авторах

Т. А. Суслина

Санкт-Петербургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: t.suslina@spbu.ru
Университетская наб., дом 7/9, СанктПетербург, 199034

Список литературы

  1. Агранович М. С. Смешанные задачи в липшицевой области для сильно эллиптических систем 2-го порядка// Функц. анализ и его прилож. - 2011. - 45, № 2. - С. 1-22.
  2. Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.: МЦНМО, 2013.
  3. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика невесомости. - М.: Наука, 1976.
  4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965.
  5. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975.
  6. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. I// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1972. - № 27. - С. 3-52.
  7. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории// В сб.: «Десятая мат. школа». - Киев, 1974. - С. 5-189.
  8. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами. I// Вестн. Ленингр. ун-та. - 1977. - № 13. - С. 13-21.
  9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Мат. анализ. - 1977. - 14. - С. 5-58.
  10. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами. II// Вестн. Ленингр. ун-та. - 1979. - № 13. - С. 5-10.
  11. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических уравнений// Сиб. мат. ж. - 1979. - 20, № 1. - С. 3-22.
  12. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических систем// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1982. - 115.- С. 23-39.
  13. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1983. - 126.- С. 21-30.
  14. Вулис И. Л., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика вырождающейся задачи Стеклова// Вестн. Ленингр. ун-та - 1973. - № 19. - С. 262-265.
  15. Каразеева Н. А., Соломяк М. З. Асимптотика спектра контактной задачи для эллиптических уравнений второго порядка// Пробл. мат. анализа. - 1981. - № 8. - С. 36-48.
  16. Кожевников А. Н. Об асимптотике собственных значений и полноте корневых векторов оператора, порожденного краевой задачей с параметром в краевом условии// Докл. АН СССР. - 1971. - 200, № 6. - С. 1273-1276.
  17. Кожевников А. Н. Спектральные задачи для псевдодифференциальных систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу// Мат. сб. - 1973. - 92, № 1. - С. 60-88.
  18. Копачевский Н. Д. Нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей// Докл. АН УССР. Сер. А. - 1978. - № 7. - С. 586-590.
  19. Копачевский Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, Препринт 33-77. - 1978.
  20. Копачевский Н. Д. Теория малых колебаний жидкостей с учетом сил поверхностного натяжения и вращения// Дисс. доктора физ.-мат. наук. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1979.
  21. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. - М.: Наука, 1989.
  22. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.
  23. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1998. - 250. - С. 203-218.
  24. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. - М.: Гостехиздат, 1952.
  25. Розенблюм Г. В. Асимптотика собственных значений некоторых двумерных спектральных задач// Пробл. мат. анализа. - 1979. - 7. - С. 188-203.
  26. Розенблюм Г. В. Частное сообщение. - 2021.
  27. Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Пространства Соболева// В сб.: «Избранные главы анализа и высшей алгебры». - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.
  28. Суслина Т. А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях однородного эллиптического уравнения при наличии связей на части границы// Пробл. мат. анализа. - 1984. - № 9. - С. 84-97.
  29. Суслина Т. А. Асимптотика спектра некоторых задач, связанных с колебаниями жидкостей// Деп. в ВИНИТИ. - 1985. - № 8058-B.
  30. Суслина Т. А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптического уравнения в области с кусочно-гладкой границей// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1985. - 147. - С. 179-183.
  31. Суслина Т. А. Об асимптотике спектра некоторых задач, связанных с колебаниями жидкостей// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1986. - 152. - С. 158-164.
  32. Суслина Т. А. Асимптотика спектра двух модельных задач теории колебаний жидкостей// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1996. - 4. - С. 287-322.
  33. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.
  34. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2. - М.: Мир, 1984.
  35. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudodifferential operators// Acta Math. - 1971. - 126.- С. 11-51.
  36. Galkowski J., Toth J. A. Poinwise bounds for Steklov eigenfunctions// J. Geom. Anal. - 2019. - 29.- С. 142-193.
  37. Girouard A., Polterovich I. Spectral geometry of the Steklov problem// J. Spectr. Theory - 2017. - 7, № 2. - С. 321-359.
  38. Grubb G. Functional calculus of pseudodifferential boundary problems. - Boston: Birkha¨user, 1996.
  39. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.
  40. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint problems for an ideal fluid. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2001.
  41. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Non-selfadjoint problems for viscous fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.
  42. Maz’ya V. G., Plamenevskii B. A. The first boundary value problem for the classical equations of mathematical physics. I// Z. Anal. Anwend. - 1983. - 2, № 1. - С. 335-359.
  43. Metivier G. Valeurs propres d’operateurs definis par la restriction de systemes variationnels a des sousespaces// J. Math. Pures Appl. - 1978. - 57, № 2. - С. 133-156.
  44. Sandgren L. A vibration problem// Medd. Lunds Univ. Mat. Semin. - 1955. - 13.
  45. Suslina T. A. Spectral asymptotics of variational problems with elliptic constraints in domains with piecewise smooth boundary// Russ. J. Math. Phys. - 1999. - 6, № 2. - С. 214-234.
  46. Zhu J. Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions// Calc. Var. Part. Differ. Equ. - 2020. - 59, № 5. - Paper No. 150.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».