On Representations of Groups and Algebras in Spaces with Indefinite Metric

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper contains a survey of known results on the structure of J-symmetric operator algebras in Pontryagin and Krein spaces, as well as on representations of groups and *-algebras in these spaces.

About the authors

E. V. Kissin

London Metropolitan University

Author for correspondence.
Email: e.kissin@londonmet.ac.uk
London, UK

V. S. Shulman

Vologda State University

Email: victor.shulman80@gmail.com
Vologda, Russia

References

  1. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Понтрягина. Приложения индефинитной метрики. Специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «Форма», 2008.
  2. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Введение в теорию пространств Крейна. Приложения индефинитной метрики. Специальный курс лекций. - Симферополь: ООО «Форма», 2010.
  3. Азизов Т. Я., Копачевский Н. Д. Приложения индефинитной метрики. - Симферополь: ДИАЙПИ, 2014.
  4. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, I// Теор. мат. физ. - 1983. - 54, № 1. - С. 57-77.
  5. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, II// Теор. мат. физ. - 1985. - 2, № 1. - С. 30-44.
  6. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, III// Теор. мат. физ. - 1987. - 70, № 2. - С. 181-191.
  7. Дадашян К. Ю., Хоружий С. С. О полевых алгебрах в квантовой теории с индефинитной метрикой, IV// Теор. мат. физ. - 1987. - 72, № 3. - С. 340-351.
  8. Гельфанд И. М., Наймарк М. А. Унитарные представления классических групп// Тр. МИАН. - 1950. - 36. - С. 3-288.
  9. Желобенко Д. П. Описание одного класса представлений группы Лоренца// Докл. АН СССР. - 1958. - 121, № 4. - С. 586-590.
  10. Иохвидов И. С. Унитарные операторы в пространствах с индефинитной метрикой// Заметки НИИ мат. и мех. Харьков. ун-та. - 1949. - 21.- С. 79-86.
  11. Исмагилов Р. С. Описание унитарных представлений группы Лоренца в пространстве с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1964. - 158, № 2. - С. 268-270.
  12. Исмагилов Р. С. Кольца операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1966. - 171, № 2. - С. 269-271.
  13. Исмагилов Р. С. Унитарные представления группы Лоренца в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1966. - 30, № 3. - С. 497-522.
  14. Исмагилов Р. С. О задаче расширения представлений// Мат. заметки. - 1984. - 35, № 1. - С. 99-106.
  15. Исмагилов Р. С. О неприводимости представлений группы токов// Функц. анализ и его прилож. - 1994. - 28.- С. 21-30.
  16. Крейн М. Г. Об одном применении принципа неподвижной точки в теории линейных преобразований пространств с индефинитной метрикой// Усп. мат. наук. - 1950. - 5, № 2. - С. 180-190.
  17. Крейн М. Г. Об интегральном представлении непрерывной эрмитово-индефинитной функции с конечным числом отрицательных квадратов// Докл. АН СССР. - 1959. - 125, № 1. - С. 31-34.
  18. Либерзон В. И., Шульман В. С. Операторно-неприводимые алгебры операторов в пространстве Понтрягина Π1// Изв. АН СССР. - 1971. - 35, № 5. - С. 1159-1170.
  19. Либерзон В. И., Шульман В. С. Невырожденные операторные алгебры в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1973. - 37, № 3. - С. 533-538.
  20. Литвинов С. Н. Бициклические WJ*-алгебры в пространстве Понтрягина типа Π1// Функц. анализ и его прилож. - 1992. - 26, № 3. - С. 46-54.
  21. Логинов А. И. О коммутативных симметричных алгебрах операторов в пространствах Понтрягина// Изв. АН СССР. - 1969. - 33, № 3. - С. 559-569.
  22. Логинов А. И. Полные коммутативные симметричные операторные алгебры в пространстве Понтрягина Π1// Мат. сб.- 1971.- 84, № 4. - С. 575-582.
  23. Логинов А. И. Одно обобщение теоремы Маркова-Какутани о неподвижной точке// Функц. анализ и его прилож. - 1980. - 14, № 2. - С. 65-66.
  24. Логинов А. И., Шульман В. С. Неприводимые J -симметричные алгебры операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Докл. АН СССР. - 1978. - 240, № 1. - С. 21-23.
  25. Логинов А. И., Шульман В. С. Векторнозначная двойственность для модулей над банаховыми алгебрами// Изв. АН СССР. - 1993. - 57, № 4. - С. 3-35.
  26. Ломоносов В. И. Об инвариантных подпространствах семейства операторов, коммутирующих с вполне непрерывным// Функц. анализ и его прилож. - 1973. - 7, № 3. - С. 55-56.
  27. Машарипова С. Ш., Чилин В. И. Функциональное исчисление в симметричных операторных алгебрах в пространстве Понтрягина Π1// Докл. АН Узбек. ССР. - 1994. - 14.- С. 10-12.
  28. Машарипова С. Ш., Чилин В. И. Теорема плотности Капланского для симметричных операторных алгебр в Π1// Узбек. мат. ж. - 1996. - 2.- С. 68-75.
  29. Наймарк М. А. О перестановочных унитарных операторах в пространстве Πk // Докл АН СССР. - 1963. - 149.- С. 1261-1263.
  30. Наймарк М. А. О коммутативных алгебрах операторов в пространстве Πk // Докл АН СССР. - 1965. - 161, № 4. - С. 767-770.
  31. Наймарк М. А. Об унитарных представлениях разрешимых групп в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1963. - 27. - С. 1181-1185.
  32. Наймарк М. А. О структуре унитарных представлений локально компактных групп в пространствах Понтрягина Π1// Изв. АН СССР. - 1965. - 29, № 4. - С. 689-770.
  33. Наймарк М. А. О структуре унитарных представлений локально компактных групп и симметричных представлений в пространствах Понтрягина Πk // Изв. АН СССР. - 1966. - 30, № 5. - С. 1111-1132.
  34. Наймарк М. А., Исмагилов Р. С. Представления групп и алгебр в пространствах с индефинитной метрикой// Итоги науки и техн. Сер. Мат. Мат. анализ. - 1969. - 1968.- С. 73-105.
  35. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой// Изв. АН СССР. - 1944. - 8. - С. 243-280.
  36. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью// Журн. прикл. мех. и техн. физ. - 1949. - № 1. - С. 55-60.
  37. Филлипс Р. С. Расширение дуальных подпространств, инвариантных относительно алгебры// Математика. - 1964. - 8, № 6. - С. 81-108.
  38. Филлипс Р. С. Диссипативные операторы и гиперболические системы операторов в частных производных// Математика. - 1962. - 6, № 4. - С. 11-70.
  39. Шкаликов А. А. О существовании инвариантных подпространств у диссипативных операторов в пространствах с индефинитной метрикой// Тр. МИАН. - 2005. - 248. - С. 294-303.
  40. Штраус В. А. Функциональное представление алгебры, порожденной самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина// Функц. анализ и его прилож. - 1986. - 20, № 1. - С. 91-92.
  41. Шульман В. С. Банаховы симметричные алгебры операторов в пространстве типа Π1// Мат. сб. - 1972. - 89, № 2. - С. 264-279.
  42. Шульман В. С. О представлениях C*-алгебр в пространствах с индефинитной метрикой// Мат. заметки. - 1977. - 22. - С. 583-592.
  43. Шульман В. С. Одна теорема о неподвижной точке// Функц. анализ и его прилож. - 1979. - 13, № 1. - С. 88-89.
  44. Шульман В. С. О неподвижных точках дробно-линейных отображений// Функц. анализ и его прилож. - 1980. - 14, № 2. - С. 93-94.
  45. Шульман В. С. О модулях над операторными алгебрами// Функц. анализ и его прилож. - 1983. - 17, № 2. - С. 94-95.
  46. Шульман В. С. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция представлений в пространствах Понтрягина// Функц. анализ и его прилож. - 1997. - 31, № 3. - С. 91-94.
  47. Benderskii O. Ya., Litvinov S. N., Chilin V. I. Description of commutative symmetric algebras of operators on Pontryagin space Π1// J. Operator Theory. - 1997. - 37. - С. 201-222.
  48. Blackadar B., Cuntz J. Differential Banach algebra norms and smooth subalgebras of C*-algebras// J. Operator Theory. - 1991. - 26. - С. 255-282.
  49. Bratteli O., Robinson D. Unbounded derivations of C*-algebras, I// Commun. Math. Phys. - 1975. - 42. - С. 253-268.
  50. Bratteli O., Robinson D. Unbounded derivations of C*-algebras, II// Commun. Math. Phys. - 1976. - 46. - С. 11-30.
  51. Chilin V. I., Masharipova S. Sh. Functional calculus for the algebra of operators generated by a self-adjoint operator in Pontryagin’s space Π1// Proc. 8th Int. Conf. «Topological Algebras and Their Applications», 2014. - Berlin-Boston: Walter de Gruyter, 2018. - С. 55-72.
  52. Chilin V. I., Masharipova S. Sh. Functional calculus for the algebra of operators generated by a selfadjoint operator in Pontryagin’s space Π1. II. Exceptional case in the model of type 1// Indian J. Math. - 2016. - 58.- С. 18-37.
  53. Cuntz J. Locally C*-equivalent algebras// J. Funct. Anal. - 1976. - 23.- С. 95-106.
  54. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Indefinite linear algebra and applications. - Basel: Birkha¨user, 2005.
  55. Guichardet A. Sur la cohomologie des groupes topologiques// Bull. Sci. Math. - 1971. - 95. - С. 161-176.
  56. Helton J. W. Unitary operators on a space with an indefinite inner product// J. Funct. Anal. - 1970. - 6. - С. 412-440.
  57. Helton J. W. Operators unitary in an indefinite metric and linear fractional transformations// Acta Sci. Math. - 1971. - 32. - С. 261-266.
  58. Jorgensen P. E. T., Muhly P. S. Selfadjoint extensions satisfying the Weyl operator commutation relations// J. D’Anal. Math. - 1980. - 37. - С. 46-99.
  59. Kissin E. Symmetric operator extensions of unbounded derivations of C*-algebras// J. Funct. Anal. - 1988. - 81. - С. 38-53.
  60. Kissin E. Dissipative implementations of *-derivationa of C*-algebras and representations in indefinite metric spaces// J. London. Math. Soc. (2). - 1991. - 43. - С. 451-464.
  61. Kissin E. Representational indices of derivations of C*-algebras and representations of *-algebras on Krein spaces// J. Reine Angew Math. - 1993. - 439. - С. 71-92.
  62. Kissin E. Semigroups of representational indices of derivations of C*-algebras// J. Funct. Anal. - 1994. - 126. - С. 139-168.
  63. Kissin E. Derivations of C*-algebras which contain all compact operators and representations of Qsubalgebras of these algebras on Πk -spaces// J. London. Math. Soc. (2). - 1995. - 51. - С. 161-174.
  64. Kissin E. Derivations of C*-algebras and representations on deficiency spaces of skew-symmetric operators// Proc. London Math. Soc. (3). - 1998. - 76, № 2. - С. 476-496.
  65. Kissin E., Loginov A. I., Shulman V. S. Derivations of C*-algebras and almost Hermitian representations on Πk -spaces// Pacific J. Math. - 1996. - 174. - С. 411-430.
  66. Kissin E., Shulman V. S. Differential properties of some dense subalgebras of C*-algebras// Proc. Edinb. Math. Soc.- 1994.- 37. - С. 399-422.
  67. Kissin E., Shulman V. S. Representations on Krein spaces and derivations of C*-algebras. - Harlow: Longman, 1997.
  68. Kissin E., Shulman V. S. Non-unitary representations of nilpotent groups, I: Cohomologies, extensions and neutral cocycles// J. Funct. Anal. - 2015. - 269. - С. 2564-2610.
  69. Kissin E., Shulman V. S. Representations of nilpotent groups on spaces with indefinite metric// Integral Equ. Operator Theory.- 2017.- 87. - С. 81-116.
  70. Kissin E., Shulman V. S., Turovskii V. S. Pontryagin-Krein theorem: Lomonosov’s proof and relared results// В сб.: «The Mathematical legacy of Victor Lomonosov. Operator theory». - Berlin: De Gruyter, 2020. - С. 231-250.
  71. Lomonosov V. I. On stability of non-negative invariant subspaces// В сб.: «New Results in Operator Theory and Its Applications: the Israel M. Glazman Memorial Volume». - Basel: Birkha¨user, 1997. - С. 186-189.
  72. Naimark M. A. Kommutative algebren von operatoren im raume Π1// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. - 1964. - 9, № 6. - С. 499-528.
  73. Nakazato H. Indefinite inner product spaces and derivations// Math. Japonica. - 1990. - 35. - С. 1119- 1124.
  74. Ostrovskii M., Shulman V. S., Turowska L. Unitarizable representations and fixed points of groups of holomorphic transformations of operator balls// J. Funct. Anal. - 2009. - 257. - С. 2476-2496.
  75. Ostrovskii M., Shulman V. S., Turowska L. Fixed points of holomorphic transformations of operator balls// Q. J. Math. - 2011. - 62. - С. 173-187.
  76. Ota S. Certain operator algebras induced by *-derivations in C*-algebras on an indefinite product space// J. Funct. Anal. - 1978. - 30. - С. 238-244.
  77. Pisier G. Similarity problems and completely bounded maps. Includes the solution to «The Halmos Problem». - Berlin: Springer, 2001.
  78. Sakai K. On J -unitary representations of amenable groups// Rep. Fac. Sci. Kagoshima Univ. - 1977. - 26. - С. 33-41.
  79. Sakai K. On indecomposable unitary representations of Locally compact abelian groups in Πn-spaces// Rep. Fac. Sci. Kagoshima Univ. - 1978. - 27.- С. 1-20.
  80. Sakai K. On quasi-positive definite functions and unitary representations of groups in Pontryagin spaces// J. Math. Kyoto Univ. - 1979. - 19.- С. 71-90.
  81. Sakai K. Some remarks on unitary representations of the Euclidean motion group in Πn-spaces// Sci. Rep. Kagoshima Univ. - 1980. - 29.- С. 13-26.
  82. Sakai K. On indecomposable unitary representations of the 2-dimensional Euclidean motion group in fnite-dimensional indefinite inner product spaces// Sci. Rep. Kagoshima Univ. - 1980. - 29. - С. 27-51.
  83. Samei E., Wiersma M. Quasi-Hermitian locally compact groups are amenable// Adv. Math. - 2020. - 359. - 106897.
  84. Sasvari Z. On bounded functions with a finite number of negative squares// Monatsh. Math. - 1985. - 99. - С. 223-234.
  85. Schwartz J. T. Subdiagonalization of operators in Hilbert space with compact imaginary part// Commun. Pure Appl. Math. - 1962. - 15. - С. 159-172.
  86. Shafrir I. Operators in hyperbolic spaces// PhD Thesis. - Haifa: Technion - Israel Institute of Technology, 1990.
  87. Shulman V. S. Quasivectors and Tomita-Takesaki theory for operator algebras on P1-spaces// Rev. Math. Phys.- 1997.- 9, № 6. - С. 749-783.
  88. Strauss V. On the weakly closed algebra generated by a unitary operator in a Pontryagin space// Oper. Matrices. - 2018. - 12, № 3. - С. 837-853.
  89. Strauss V. On a functional calculus for unitary operators in Pontryagin spaces// Oper. Matrices. - 2020. - 14, № 3. - С. 971-999.
  90. Takahashi W. A convexity in metric spaces and non-expansive mappings. I// Kodai Math. Sem. Rep. - 1970. - 22. - С. 142-149.
  91. Tong Y. Commutative J -von Neumann algebras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 1993. - 14. - С. 429-436.
  92. Tong Y. Two density theorems for sets of operators on Pontryagin spaces// Acta Math. Sinica. - 1994. - 37, № 1. - С. 1-11.
  93. Tong Y. Uniformly closed symmetric operator algebras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 1994. - 15. - С. 603-611.
  94. Tong Y. A density theorem on the operator algebras in Pontryagin spaces// J. Math. Anal. Appl. - 2002. - 268. - С. 143-156.
  95. Van Daele A. A framework to study commutational problems// Bull. Soc. Math. France. - 1978. - 106.- С. 289-309.
  96. Yang H. On the symmetry of ideal in operator algebras on Pontryagin spaces// Acta Math. Sinica. - 2004. - 47. - С. 915-920.
  97. Yang H. Structure of ideals of operator algbras on Pontryagin spaces// Chinese Ann. Math. Ser. A. - 2007. - 28, № 1. - С. 103-110.
  98. Yang H. The operator algebras of class I on the Pontryagin spaces// J. Systems Sci. Math. Sci. - 2013. - 33, № 2. - С. 993-1006.
  99. Yang H. Classification and general forms of operator algebras on Pontryagin space// Acta Math. Sinica. - 2015. - 58, № 3. - С. 401-408.
  100. Yang H., Fang Y., Liu S. General form of operator algebras on Pontryagin spaces with neutral invariant subspaces// Linear Algebra Appl.- 2007.- 425.- С. 184-209.
  101. Yang H., Fang Y., Liu S. Invariant subspaces of JC*-algebras on Π1-spaces// J. Systems Sci. Math. Sci. - 2008. - 28, № 10. - С. 1268-1274.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».