Применение метода модуляционного Фурье-анализа для задачи восстановления производных

В работе получены формулы для нахождения высших производных функции, выраженные через ее коэффициенты Фурье (амплитуды гармоник). Указанные формулы найдены путем дифференцирования функции с гармонически модулированным аргументом и ее ряда Фурье. Приведенные выражения позволяют находить высшие производные функций численно с любой наперед заданной точностью, например, методом численного интегрирования формул Эйлера-Фурье для амплитуд гармоник или экспериментально при исследовании нелинейного физического процесса путем регистрации в цифровом формате амплитуд гармоник исследуемой зависимости при одновременном статическом и гармоническом воздействиях. Поставлена задача восстановления производных из коэффициентов Фурье и выполнен анализ ее корректности. Определены формулы для оценки ошибок восстановления и даны рекомендации для их уменьшения. Приведены примеры с разными свойствами гладкости аналитических и используемых для объяснения экспериментов функций: 1) аналитическая функция, используемая для объяснения магнитных свойств сверхпроводников, коэффициенты Фурье которой определяются численно с ошибкой вычислительного алгоритма программной среды Mathcad; 2) вольтамперная характеристика (ВАХ) двух встречно включенных полупроводниковых диодов, амплитуды гармоник которой определялись экспериментально с заданной ошибкой измерения прибора. Выполнено сравнение полученной производной ВАХ с производной, полученной с помощью формул численного дифференцирования; 3) аналитическая функция, производная которой имеет разрыв первого рода. Ошибки измерения коэффициентов Фурье добавлялись искусственно с помощью генератора случайных чисел.