Эндоморфизмы и антиэндоморфизмы некоторых конечных группоидов

В настоящей работе изучаются антиэндоморфизмы некоторых конечных группоидов. Ранее были введены специальные группоиды S(k,q)  с порождающим множеством из k элементов и порядком k(k+1). Ранее исследовались вопросы поэлементного описания моноида всех эндоморфизмов данного группоида (в частности, автоморфизмов). Было показано, что всякий конечный моноид изоморфно вложим в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида S(k,q). В данной статье приводится поэлементное описание множества всех антиэндоморфизмов группоида S(k,q). Установлено, что в зависимости от группоида  S(k,q) множество всех его антиэндоморфизмов может быть замкнутым или не замкнутым относительно композиции отображений. Для поэлементного описания антиэндоморфизмов изучается действие произвольного антиэндоморфизма на порождающих элементах группоида. При данном подходе антиэндоморфизм попадает в один из трех классов. Антиэндоморфизмы из двух полученных классов будут являться эндоморфизмами данного группоида. Оставшийся класс антиэндоморфизмов в зависимости от конкретного группоида  S(k,q) может состоять или не состоять из эндоморфизмов. В данной работе исследуются эндоморфизмы некоторых конечных группоидов G с порядком, удовлетворяющим некоторому неравенству. Построены некоторые эндоморфизмы таких группоидов и показано, что всякий конечный моноид изоморфно вкладывается в моноид всех эндоморфизмов подходящего группоида G. Для доказательства данного результата существенно используется обобщение теоремы Кэли на случай моноидов (полугрупп с единицей).