Об одном классе самоаффинных множеств на плоскости, заданных шестью гомотетиями

Настоящая работа посвящена классу самоаффинных множеств на плоскости, заданных шестью гомотетиями, центры которых находятся в вершинах правильного шестиугольника P, а коэффициенты гомотетий принадлежат интервалу (0, 1). Отметим, что равенство коэффициентов гомотетий не предполагается. Самоаффинное множество на плоскости представляет собой непустое компактное подмножество, инвариантное относительно рассматриваемого семейства гомотетий. Существование и единственность самоаффинного множества обеспечивает теорема Хатчинсона. Целью данной работы является исследование влияния коэффициентов гомотетий на свойства самоаффинного множества. Для описания самоаффинного множества введены барицентрические координаты на плоскости. Найдены условия, при которых самоаффинное множество является: a) шестиугольником P; b) канторовым множеством в шестиугольнике P. Вычислены размерности Минковского и Хаусдорфа указанных самоаффинных множеств. Получены условия, при выполнении которых мера Лебега самоаффинного множества равна нулю. Приведены примеры самоаффинных множеств из рассматриваемого класса.