К проблеме единственности решения задачи Коши для уравнения дробной диффузии с оператором Бесселя

  • Авторы: Хуштова Ф.Г.1
  • Учреждения:
    1. Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»
  • Выпуск: Том 22, № 4 (2018)
  • Страницы: 774-784
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://journals.rcsi.science/1991-8615/article/view/20616
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1639
  • ID: 20616

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Рассматривается уравнение дробной диффузии с сингулярным оператором Бесселя, действующим по пространственной переменной, и оператором дробного дифференцирования Римана-Лиувилля, действующим по временной переменной. Когда порядок дробной производной равен единице, а особенность у оператора Бесселя отсутствует, рассматриваемое уравнение совпадает с классическим уравнением теплопроводности. Ранее для уравнения дробной диффузии с оператором Бесселя было построено решение задачи Коши и доказана теорема единственности решения в классе функций экспоненциального роста. Построен пример, показывающий, что увеличение показателя степени в условии, гарантирующем единственность решения задачи Коши, влечет за собой неединственность решения. С помощью известных свойств функции Райта получены оценки для построенной функции. Показывается, что она, будучи не равной тождественно нулю, удовлетворяет однородному уравнению и однородному условию Коши.

Об авторах

Фатима Гидовна Хуштова

Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»

Email: khushtova@yandex.ru
научный сотрудник; отдел дробного исчисления Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а

Список литературы

  1. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 271 с.
  2. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  3. Alexiades V. Generalized axially symmetric heat potentials and singular parabolic initial boundary value problems // Arch. Rational Mech. Anal., 1982. vol. 79, no. 4. pp. 325-350. doi: 10.1007/BF00250797.
  4. Calton D. Cauchy’s problem for a singular parabolic partial differential equation // J. Diff. Equations, 1970. vol. 8, no. 2. pp. 250-257. doi: 10.1016/0022-0396(70)90004-5.
  5. Kępiński S. Über die Differentialgleichung $frac{partial^2 z }{partial x^2}+frac{m+1}{x}frac{partial z }{partial x} -frac{n}{x}frac{partial z }{partial t}=0$ // Math. Ann., 1905. vol. 61, no. 3. pp. 397-405 (In German).
  6. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. М.: Наука, 1985. 105 с.
  7. Матiйчук M. I. Параболiчнi сингулярнi крайовi задачi. Київ: Iн-т математики НАН України, 1999. 176 с.
  8. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997. 208 с.
  9. Киприянов И. А., Катрахов В. В., Ляпин В. М. О краевых задачах в областях общего вида для сингулярных параболических систем уравнений // Докл. АН СССР, 1976. Т. 230, № 6. С. 1271-1274.
  10. Ситник С. М. Применение операторов преобразования Бушмана-Эрдейи и их обобщений в теории дифференциальных уравнений с особенностями в коэффициентах: Дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02. Воронеж, 2016. 307 с.
  11. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений / Сингулярные дифференциальные уравнения / СМФН, Т. 64. М.: Российский университет дружбы народов, 2018. С. 211-426. doi: 10.22363/2413-3639-2018-64-2-211-426.
  12. Кочубей А. Н. Диффузия дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1990. Т. 26, № 4. С. 660-670.
  13. Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Дифференц. уравнения, 1989. Т. 25, № 8. С. 1359-1368.
  14. Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка // Докл. РАН, 2004. Т. 394, № 2. С. 159-161.
  15. Kochubei A. N. Asymptotic Properties of Solutions of the Fractional Diffusion-Wave Equation // Fract. Calc. Appl. Anal., 2014. vol. 17, no. 3. pp. 881-896. doi: 10.2478/s13540-014-0203-3.
  16. Kochubei A. N. Cauchy problem for fractional diffusion-wave equations with variable coefficients // Applicable Analysis, 2014. vol. 93, no. 10. pp. 2211-2242. doi: 10.1080/00036811.2013.875162.
  17. Псху А. В. Фундаментальное решение диффузионно-волнового уравнения дробного порядка // Изв. РАН. Сер. матем., 2009. Т. 73, № 2. С. 141-182. doi: 10.4213/im2429.
  18. Псху А. В. Уравнение дробной диффузии с оператором дискретно распределенного дифференцирования // Сиб. электрон. матем. изв., 2016. Т. 13. С. 1078-1098. doi: 10.17377/semi.2016.13.086.
  19. Pskhu A. V. Multi-time fractional diffusion equation // Eur. Phys. J. Spec. Top., 2013. vol. 222, no. 8. pp. 1939-1950. doi: 10.1140/epjst/e2013-01975-y.
  20. Псху А. В. Первая краевая задача для дробного диффузионно-волнового уравнения в нецилиндрической области // Изв. РАН. Сер. матем., 2017. Т. 81, № 6. С. 158-179. doi: 10.4213/im8520.
  21. Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача типа Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Римана-Лиувилля // Докл. РАН, 2006. Т. 406, № 1. С. 12-16.
  22. Ворошилов А. А., Килбас А. А. Задача Коши для диффузионно-волнового уравнения с частной производной Капуто // Дифференц. уравнения, 2006. Т. 42, № 5. С. 599-609.
  23. Геккиева С. Х. Задача Коши для обобщенного уравнения переноса с дробной по времени производной // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2000. Т. 5, № 1. С. 16-19.
  24. Геккиева С. Х. Краевая задача для обобщенного уравнения переноса с дробной производной в полубесконечной области // Изв. КБНЦ РАН, 2002. № 1(8). С. 6-8.
  25. Mainardi F. The fundamental solutions for the fractional diffusion-wave equation // Appl. Math. Letters, 1996. vol. 6, no. 1. pp. 23-28. doi: 10.1016/0893-9659(96)00089-4.
  26. Mainardi F. The time fractional diffusion-wave equation // Radiophys. Quantum Electron., 1995. vol. 38, no. 1-2. pp. 13-24. doi: 10.1007/BF01051854.
  27. Mainardi F., Luchko Yu., Pagnini G. The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation // Fract. Calc. Appl. Anal., 2001. vol. 4, no. 2. pp. 153-192, arXiv: condmat/0702419 [cond-mat.stat-mech].
  28. Pagnini G. The M-Wright function as a generalization of the Gaussian density for fractional diffusion processes // Fract. Calc. Appl. Anal., 2013. vol. 16, no. 2. pp. 436-453. doi: 10.2478/s13540-013-0027-6.
  29. Pagnini G., Paradisi P. A stochastic solution with Gaussian stationary increments of the symmetric space-time fractional diffusion equation // Fract. Calc. Appl. Anal., 2016. vol. 19, no. 2. pp. 408-440. doi: 10.1515/fca-2016-0022.
  30. Podlubny I. Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications / Mathematics in Science and Engineering. vol. 198. San Diego, CA: Academic Press, 1999. xxiv+340 pp.
  31. Mathai A. M., Saxena R. K., Haubold H. J. The
  32. Хуштова Ф. Г. Задача Коши для уравнения параболического типа с оператором Бесселя и частной производной Римана-Лиувилля // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, № 1. С. 74-84. doi: 10.14498/vsgtu1455.
  33. Gorenflo R., Luchko Y., Mainardi F. Analytical properties and applications of the Wright function // Fract. Calc. Appl. Anal., 1999. vol. 2, no. 4. pp. 383-414, arXiv: mathph/0701069.
  34. Tychonoff A. Théorèmes d’unicité pour l’équation de la chaleur // Mat. Sb., 1935. vol. 42, no. 2. pp. 199-216 (In French).
  35. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности / Собрание научных трудов: в десяти томах, Т. II. Математика. Ч. 2. Вычислительная математика 1956-1979. Математическая физика 1933-1948. Ред.-сост. Т. А. Сушкевич, А. В. Гулин. М.: Наука, 2009. С. 371-382.
  36. Wright E. M. The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function // Proc. Lond. Math. Soc., II. Ser., 1940. vol. 46, no. 1. pp. 389-408. doi: 10.1112/plms/s2-46.1.389.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2018

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».