Об обращении преобразования Лапласа одной функции, содержащей гиперболический тангенс

В работе рассматривается обращение преобразования Лапласа одной функции, содержащей гиперболический тангенс. Указанная функция возникает при решении краевой задачи в ограниченной области с условиями второго и третьего рода для уравнения теплопроводности.

Цель исследования – обращение преобразования Лапласа функции, возникающей при решении краевой задачи с условиями второго и третьего рода для уравнения теплопроводности.

Результаты. Используя теорему о вычетах и методы теории функций комплексного переменного, получили обращение рассматриваемой функции в двух формах, пригодных для больших и малых значений времени. В первом случае обратное преобразование записывается в виде ряда из экспоненциальных функций с постоянными коэффициентами, во втором случае – в виде ряда из сверток Лапласа специальных функций.

Выводы и заключение. Полученные результаты могут быть использованы при построении решения краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области с условием второго рода на одной из границ и условием третьего рода – на другой в форме, пригодной для малых значений времени. В теории уравнений математической физики решение аналогичной задачи построено методом разделения переменных в форме, хорошо описывающей процессы теплопередачи для больших значений времени. Но такая форма оказывается неудобной в случае малых значений времени по причине плохой сходимости ряда Фурье по собственным функциям задачи.