Дискретные бегущие волны в релейной системе дифференциально-разностных уравнений, моделирующей полносвязную сеть синаптически связанных нейронов

Цель. Рассмотреть систему дифференциальных уравнений с запаздыванием, которая моделирует полносвязную цепь из m + 1 нейрона с запаздывающей синаптической связью. Для этой полносвязной системы построить периодические решения в виде дискретных бегущих волн. Это означает, что все компоненты представлены одной и той же периодической функцией u(t) со сдвигом, кратным некоторому параметру Δ (который предстоит найти). Методы. Для поиска описанных решений в настоящей работе осуществляется переход от системы к уравнению относительно неизвестной функции u(t), содержащему m упорядоченных запаздываний, отличающихся с шагом Δ. В нем выполняется экспоненциальная замена (характерная для уравнений вольтерровского типа) для того, чтобы получить релейное уравнение специального вида. Результаты. Для полученного уравнения найдена область параметров, в которой удается построить периодическое решение с периодом T, зависящим от параметра Δ. Для найденной формулы периода T = T(Δ) удается доказать разрешимость уравнения периодов, то есть доказать существование ненулевых параметров — целого p и вещественного Δ — удовлетворяющих уравнению (m + 1)Δ = pT(Δ). Построенная функция u(t) обладает bursting-эффектом. Это означает, что u(t) имеет на периоде n высоких всплесков, после которых следует промежуток с малыми значениями. Заключение. Существование подходящего параметра Δ обеспечивает существование периодического решения в виде дискретной бегущей волны для исходной системы. За счет выбора перестановки обеспечивается сосуществование сразу (m + 1)! периодических решений.

дифференциально-разностные уравнения, полносвязная система, дискретные бегущие волны, bursting-эффект, периодические решения, моделирование нейронов