Отправить статью по E-mail Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVII. Привлечение теоремы взаимности Плюккера для описания овалов с внешней фиксированной точкой
- Авторы: Николаев П.П.1,2
-
Учреждения:
- Институт проблем передачи информации им А. А. Харкевича РАН
- ООО “Смарт Энджинс Сервис”
- Выпуск: Том 38, № 2 (2024)
- Страницы: 62-93
- Раздел: ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗРЕНИЕ
- URL: https://journals.rcsi.science/0235-0092/article/view/260786
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0235009224020059
- EDN: https://elibrary.ru/DDKZPO
- ID: 260786
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Аннотация
Рассмотрен подход к проективно инвариантному описанию семейства овалов (о) в сценах, где фигура о задана в композиции с фиксированной в ее плоскости внешней точкой P, причем в случаях, когда о обладает скрытыми симметриями (центральной либо осевой), позиция P не задается в виде дополнительного условия, комплектующего сцену, а может быть вычислена через параметры симметрии. Инвариантное описание, как общий универсальный метод численной обработки композиций вида “о + ext-P”, предлагается реализовать в виде вурф-отображений. Метод привлекает разработанный и описанный нами аппарат дуальных пар (ДП) и вурф-функций, представляющих собой продукт декомпозиции утверждений теоремы взаимности, предложенной Ю. Плюккером для описания свойств квадратичных кривых (коник). Модельные иллюстрированные примеры частных случаев композиции “о + ext-P” рассмотрены и обсуждены, фактически завершая тему исследования сцен вида “овал и линейный элемент плоскости”, классифицируемых по типам симметрии о.
Полный текст
Об авторах
П. П. Николаев
Институт проблем передачи информации им А. А. Харкевича РАН; ООО “Смарт Энджинс Сервис”
Автор, ответственный за переписку.
Email: nikol@iitp.ru
Россия, Москва; Москва
Список литературы
- Акимова Г.П., Богданов Д.С., Куратов П.А. Задача проективно инвариантного описания овалов с неявно выраженной центральной и осевой симметрией и принцип двойственности Плюккера. Труды ИСА РАН. 2014. Т. 64. № 1. С. 75–83.
- Балицкий А.М., Савчик А.В., Гафаров Р.Ф., Коноваленко И.А. О проективно инвариантных точках овала с выделенной внешней прямой. Проблемы передачи информации. 2017. Т. 53. № 3. С. 84–89. https://doi.org/10.1134/S0032946017030097
- Глаголев Н.А. Проективная геометрия. М. Высш. шк., 1963. 344 с.
- Депутатов В.Н. К вопросу о природе плоскостных вурфов. Математический сборник. 1926. Т. 33. № 1. С. 109–118.
- Картан Э. Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства. Сб. Современная математика. Кн. 2-я. М., Л.: Гос. технико-теор. изд-во, 1933. 72 с.
- Моденов П.С. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1969. 699 с.
- Николаев П.П. Метод проективно инвариантного описания овалов с осевой либо центральной симметрией. Информационные технологии и вычислительные системы. 2014. № 2. C. 46–59.
- Николаев П.П. О задаче проективно инвариантного описания овалов с симметриями трех родов. Вестник РФФИ. 2016. Т. 92. № 4. С. 38–54. doi: 10.22204/2410-4639-2016-092-04-38-54
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. II. Овал в композиции с дуальным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2011. Т. 25. № 3. С. 245–266.
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. VIII. О вычислении ансамбля ротационной корреспонденции овалов с симметрией вращения. Сенсорные системы. 2015. Т. 29. № 1. C. 28–55.
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. X. Методы поиска октета инвариантных точек контура овала – итог включения развитой теории в схемы его описания. Сенсорные системы. 2017. Т. 31. № 3. С. 202–226.
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XII. О новых методах проективно инвариантного описания овалов в композиции с линейным элементом плоскости. Сенсорные системы. 2019. Т. 33. № 1. С. 15–29. https://doi.org/10.1134/S0235009219030077
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XV. Методы поиска осей и центров овалов с симметриями, использующие сет дуальных пар либо триады чевиан. Сенсорные системы. 2021. Т. 35. № 1. С. 55–78. https://doi.org/10.31857/S0235009221010054
- Николаев П.П. Распознавание проективно преобразованных плоских фигур. XVI. Октет проективно стабильных вершин овала и новые методы эталонного его описания, использующие октет. Сенсорные системы. 2022. Т. 36. № 1. С. 61–89. https://doi.org/10.31857/S023500922201005X
- Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. М.: Гос. изд-во физико-матем. лит-ры, 1960. 293 с.
- Савчик А.В., Николаев П.П. Теорема о пересечении T- и H-поляр. Информационные процессы. 2016. Т. 16. № 4. C. 430–443.
- Brugalle E. Symmetric plane curves of degree 7: Pseudoholomorphic and algebraic classifications. Journal fur Die Reine und Angewandte Mathematic (Crelles Journal). 2007. V. 612. P. 1–38. https://doi.org/10.1515/CRELLE.2007.086
- Carlsson S. Projectively invariant decomposition and recognition of planar shapes. International Journal of Computer Vision. 1996. V. 17(2). P. 193–209. https://doi.org/10.1007/BF00058751
- Faugeras O. Cartan’s moving frame method and its application to the geometry and evolution of curves in the euclidean, affine and projective planes. Joint European-US Workshop on Applications of Invariance in Computer Vision. Berlin, Heidelberg. Springer, 1993. P. 9–46. https://doi.org/10.1007/3-540-58240-1_2
- Gardner M. Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York. Vintage Press, 1977. 240–254 p.
- Hann C.E., Hickman M.S. Projective curvature and integral invariants. Acta Applicandae Mathematica. 2002. V. 74(2). P. 177–193. https://doi.org/10.1023/A:1020617228313
- Hoff D., Olver P.J. Extensions of invariant signatures for object recognition. Journal of mathematical imaging and vision. 2013. V. 45. P. 176–185. https://doi.org/10.1007/s10851-012-0358-7
- Itenberg I.V., Itenberg V.S. Symmetric sextics in the real projective plane and auxiliary conics. Journal of Mathematical Sciences. 2004. V. 119(1). P. 78–85. https://doi.org/10.1023/B:JOTH.0000008743.36321.72
- Lebmeir P., Jurgen R.-G. Rotations, translations and symmetry detection for complexified curves. Computer Aided Geometric Design. 2008. V. 25. P. 707–719. https://doi.org/10.1016/j.cagd.2008.09.004
- Musso E., Nicolodi L. Invariant signature of closed planar curves. Journal of mathematical imaging and vision. 2009. V. 35(1). P. 68–85. https://doi.org/10.1007/s10851-009-0155-0
- Olver P.J. Geometric foundations of numerical algorithms and symmetry. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 2001. V. 11. P. 417–436. https://doi.org/10.1007/s002000000053
- Sanchez-Reyes J. Detecting symmetries in polynomial Bezier curves. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2015. V. 288. P. 274–283. https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.04.025
Дополнительные файлы
Доп. файлы
Действие
1.
JATS XML
2.
Рис. 1. Полюс-полярные отношения для семейства квадратичных кривых (коник) на примере эллипса, формула вычисления вурфа (через длины трех отрезков) и основные положения теоремы взаимности Ю. Плюккера. Остальные пояснения в тексте
Скачать (350KB)
3.
Рис. 2. Метод вычисления радиальной вурф-функции и типовой (двухфазный) ее вид на модельном численном примере о общего вида. Остальные пояснения в тексте
Скачать (202KB)
4.
Рис. 3. Способ оптимизации пары тангенциальных W-функций посредством операции извлечения квадратного корня для ординат функции W3(n) с существенно более сильным экстремумом – в сравнении с максимумом у W2(n). Остальные пояснения в тексте
Скачать (205KB)
5.
Рис. 4. Вид вурф-отображений W2(W1) и w3(W1) в функциональной зависимости рода “тангенциальные – от радиальной” (при единой для всех трех функций нумерации вершин аппроксимации о). На врезке: метод получения W-функций путем сканирования контура о лучом из полюса P (показана позиция совпадения тангенциальных функций для вершины i). Остальные пояснения в тексте
Скачать (221KB)
6.
Рис. 5. Постановка задачи для сцен вида “о + ext-P”, иллюстрирующая возможность получения триад ДП (в согласии с теоремой взаимности), вид гистограмм поиска ДП для полюсов P и D (на врезке справа) и использование триад P..D, P..E для вычисления дополнительных ДП M..S (синий цвет) и N..G на прямых PD и PE. Пояснения в тексте
Скачать (532KB)
7.
Рис. 6. Вид объединенной эталонной проекции двух найденных октетов ({B, K, I, T, A, J, R, Q} и {B, F, Z, H, A, U, L, W}) на контуре о общего вида, задающей проективно стабильное описание о с учетом позиций 14 вершин его контура в сцене с полюсом P и плюккеровой полярой AB (два квартета спроецированы на квадрат, два – на ромб, диагональ поляры – общая для черной и коричневой проекций). Остальные пояснения в тексте
Скачать (444KB)
8.
Рис. 7. Вид гистограммы поиска позиций ДП на HL по итогам работы программы, ведущей в последовательном переборе вершин аппроксимации на проекции суперэллипса отбор удовлетворяющих критерию “дуализма Плюккера”. Пояснения в тексте
Скачать (94KB)
9.
Рис. 8. Сводная картина свойств двухосевой скрытой симметрии проекции кривой Ламе, используемой для получения ее инвариантного описания в виде W-отображения для двух случаев выбора ext-P: в качестве рандомной позиции Z и в варианте точки пересечения V касательных, задающих карту двух ДП (D..P и G..N) на HL. На врезках – вид W-функций W-отображений, вычисленных для полюсов V и Z, и образ дескриптора (внизу слева) для циклической цепи октета {A, T, S, R, B, M, J, I}. Остальные пояснения в тексте
Скачать (563KB)
10.
Рис. 9. Сводная картина по методам и результатам численной обработки овала скрытой осевой симметрии (оо). Две W-функции W1(n) и W2(n), вычисляемые для образа AB (как поляры Плюккера), нелинейно зависимы, поэтому требуется построить функцию W3(n), привлекающую в схему оценки дополнительную точку N. На врезке справа внизу даны формулы вычисления W-функций для плюккерова полюса S осевой симметрии (справа) и для рандомной позиции P (слева). На остальных врезках – структурные формулы и вид вурф-кривых для полюсов S и P. Остальные пояснения в тексте
Скачать (506KB)
11.
Рис. 10. Вид гистограммы, осуществляющей поиск (на HL) ДП и их кластеризацию по квартетам (синий и коричневый сеты с метками “квадрат”) для о неявной радиальной симметрии. Численная модель на 1 200 вершин аппроксимации. Комментарии в тексте
Скачать (117KB)
12.
Рис. 11. Сводная картина дислокации двух ДП на HL в окрестности о неявной радиальной симметрии, детерминирующих позиции полюсов H и V, относительно которых вычислены все требуемые (для получения инвариантных отображений) W-функции. Вурф-продукты для H и V показаны на врезках (выше – для H, ниже – для V). Все комментарии в тексте
Скачать (443KB)
13.
Рис. 12. Вид W-функций и W-отображений для рандомной позиции р, локализация которого относительно о и HL показана на рис. 11. Остальные пояснения в тексте
Скачать (378KB)
14.
Рис. 13. Вид гистограммы детекции 12 ДП на HL и их кластеризация на квартеты вершин (массив 1 800 дискретных позиций контура) для проекции о типа R3, обладающего тремя осями скрытой симметрии (размечены и объединены 48 вершин). Комментарии в тексте
Скачать (430KB)
15.
Рис. 14. Картина предварительного анализа сцены с HL в окрестности проекции о типа R3, с показом ДП M..N и T..P, детерминирующих позицию полюса V, а по нему – и S, относительно которой вычислены требуемые вурф-продукты; их вид показан на врезках слева. На врезках справа структурные формулы (вверху) и вид ортоформы с дислокацией одной из осей симметрии и поляры RL для полюса N (внизу). Пояснения в тексте
Скачать (310KB)
16.
Рис. 15. Картина симметричной проективной организации 12 узлов полной карты ДП для о типа R3, для его ортоформы проявляющаяся композицией трех параллельных пучков, объединяющих по пять прямых каждый, где прямые инцидентны регулярной структуре пар узлов (на врезке справа вверху показан пучок с проективным центром в D1, для которого d1 на HL образует ДП). На врезке слева вверху – вид трех W-функций и пары W-отображений, вычисленных для полюса d2 и поляры CD. Остальные пояснения в тексте
Скачать (438KB)
17.
Рис. 16. Вид гистограммы поиска ДП на HL у о типа R3, не имеющего трех скрытых осей симметрии, и их кластеризация на квартеты вершин для шести ДП. Пояснения в тексте
Скачать (145KB)
18.
Рис. 17. Картина попарной регулярной организации узлов ДП у ортоформы о типа R3, не имеющего трех скрытых осей симметрии, для которого в качестве плюккеровой поляры выбрана хорда AB, инцидентная узлам O1 и O2, относительно полюса P которой и вычислены необходимые W-функции и пара W-отображений (их вид показан на врезках слева), а уникальность выбора P основывается на тождественности вурф-продуктов, получаемых для поляр с парами узлов O3–O4 и O5–O6. Остальные пояснения в тексте
Скачать (420KB)
19.
Рис. 18. Более подробная карта связей шести ДП на HL с регулярной композицией узлов в поле проекции о типа R3 (не обладающего скрытой трехосевой симметрией) с показом на его контуре дислокации 24 стабильных вершин и демонстрацией (на врезке справа вверху) вида триад W-функции и W-отображений, вычисленных для поляры с парой узлов O3–O6. На нижней врезке (справа) дан вид графа 6 узлов с выбором пар для двух примеров вычисления вурф-продуктов по полярам с парами O1–O2 и O3–O6. Комментарии в тексте
Скачать (499KB)
20.
Рис. 19. Сводная карта выбора позиции ext-P для вычисления необходимых инвариантных отображений для неосевого о типа R3, не использующего аппарата ДП на HL, но задающего уникальные кординаты ext-P путем оценки дислокации эллиптических точек (теорема 1) с выбором одной из пяти (именно E2) согласно некому проективнму критерию. На врезках показан вид W-продуктов согласно единой схеме. Все пояснения в тексте
Скачать (485KB)
21.
Рис. 20. Итоги вычисления требуемых инвариантных описаний для неосевого о типа R3 в случае, когда в сцене “о + ext-P” позиция P задается рандомно (без опоры на анализ скрытых симметрий). “Стартовая” позиция P (как и в рассмотренном случае о общего вида, см. рис. 5) обеспечивает триаду ДП: P..D и P..d, создавая возможность вычисления W-отображений не только для полюса P, но и относительно дополнительного дуального D, что и показано на врезках (справа – для P, слева – для D). Остальные пояснения в тексте
Скачать (397KB)
