ЭФФЕКТИВНОЕ УСТОЙЧИВОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ВРЕМЕНИ УРАВНЕНИЙ КАНА-ХИЛЛАРДА: ЯВНЫЕ, НЕЯВНЫЕ И ЯВНО-ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Предлагается новый алгоритм численного интегрирования по времени уравнения Кана—Хилларда, основанный на совместном применении метода расщепления Эйра и схемы локальных итераций (ЛИМ) для решения конечномерной задачи на каждом временном шаге. Предложенный метод является градиентно-устойчивым, допускает расчет с большими шагами по времени и имеет явный характер вычислений. Приведены результаты численных расчетов, демонстрирующие возможности предложенного метода и его сравнение с распространенными способами интегрирования по времени уравнения Кана—Хилларда. Библ. 65. Фиг 5. Табл. 10.

Об авторах

М. А Бочев

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Email: botchev@kiam.ru
Москва, Россия

И. А Фахурдинов

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН; НИЯУ МИФИ

Email: mv1451003@gmail.com
Москва, Россия

Е. Б Савенков

ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

Email: savenkov@keldysh.ru
Москва, Россия

Список литературы

  1. Cahn J.W., Hilliard J.E. Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy // J. Chemic. Phys. 1958. V 28. № 2. P 258-267. https://doi.Org/10.1063/1.1744102
  2. Gurtin M.E. Generalized Ginzburg-Landau and Cahn-Hilliard equations based on a microforce balance // Physica D: Nonlinear Phenomena.1996. V. 92. Iss. 3-4. P. 178-192. https://doi.org/10.1016/0167-2789(95)00173-5
  3. Provatas N., Elder K. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering. First published:7 October 2010 https://doi.org/10.1002/97835276315202010 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
  4. Steinbach I., Salama H. Lectures on Phase Field. Springer Cham, 2023. https://doi.org/10.1007/978-3-031-21171-3
  5. Скрипов В.П., Скрипов А.В. Спинодальный распад (Фазовый переход с участием неустойчивых состояний) // УФН. 1979. Т. 128. Вып. 2. С. 193-231. https://doi.org/10.3367/UFNr.0128.197906a.0193
  6. Hohenberg P.C., Halperin B.I. Theory of dynamic critical phenomena // Rev. Mod. Phys. 177. V. 49. Iss. 3. P. 435. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.49.435
  7. Penrose O., Fife P.C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetic of phase transitions // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1990. V. 43. Iss. 1. P. 44-62. https://doi.org/10.1016/0167-2789(90)90015-H
  8. Bray A.J. Theory of phase-ordering kinetics // Adv. Phys. 2002. V. 51. № 2. P. 481-587. https://doi.org/10.1080/00018730110117433
  9. Miranville A. The Cahn-Hilliard Equation: Recent Advances and Applications // Soc. Indust. Appl. Math. 2019. https://doi.org/10.1137/1.9781611975925
  10. Pego R.L. Front Migration in the Nonlinear Cahn-Hilliard Equation // Proceed. Royal Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci. 1989. V. 422. № 863. P. 261-278. www.jstor.org/stable/2398477
  11. Bates P.W., Fife P.C The Dynamics of Nucleation for the Cahn-Hilliard Equation // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. № 4. P. 990-1008. www.jstor.org/stable/2102259
  12. de Mello E.V.L., Otton Teixeira da Silveira Filho Numerical study of the Cahn-Hilliard equation in one, two and three dimensions // Physica A: Statistic. Mech. Appl. 2005. V. 347. P. 429-443. https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.08.076
  13. Vollmayr-Lee B.P., Rutenberg A.D. Fast and accurate coarsening simulation with an unconditionally stable time step // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. Iss. 6. P. 066703. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.68.066703
  14. Eyre D.J. An unconditionally stable one-step scheme for gradient systems // Tech. Rep. Department of Mathematics, University of Utah. 1997. unpublished. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:117273508
  15. Eyre D.J. Unconditionally gradient stable time marching the Cahn-Hilliard equation // Comput. Math. Model. Microstructur. Evolut. Mater. Res. Soc. Symp. Proc. Ed. V. 529. Bullard J.W., Chen L.-Q., Kalia R.K., Stoneham A.M., 1998. P. 39-46.
  16. Tierra G., Guillen-Gonzalez F. Numerical methods for solving the Cahn-Hilliard equation and its applicability to related Energy-based models // Necas Center for Math. Model. Preprint № 2013-035.
  17. Cueto-Felgueroso L., Peiraire J. A time-adaptive finite volume method for the Cahn-Hilliard and Kuramoto-Sivashinsky equations // J. Comput. Phys. 2008. V. 227. Iss. 4. P. 9985-10017. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2008.07.024
  18. Li Y., Choi Y., Kim J. Computationally efficient adaptive time step method for the Cahn-Hilliard equation // Comput. Math. Appl. 2017. V. 73. Iss. 8. P. 1855-1864. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2017.02.021
  19. Zhang Z., Qiao Z. An Adaptive Time-Stepping Strategy for the Cahn-Hilliard Equation // Comm. Computat. Phys. 2012. V. 11. Iss.4. P. 1261-1278. https://doi.org/10.4208/cicp.300810.140411s
  20. Minkoff S.E., Kridler N.M. A comparison of adaptive time stepping methods for coupled flow and deformation modeling // Appl. Math. Model. 2006. V. 30. Iss. 9. P. 993-1009. https://doi.org/10.1016/j.apm.2005.08.002
  21. Luo F., Tang T., Xie H. Parameter-Free Time Adaptivity Based on Energy Evolution for the Cahn-Hilliard Equation // Comm. Computa. Phys. 2016. V 19. Iss. 5. P 1542—1563. https://doi.org/10.4208/cicp.scpde14.45s
  22. Guillen-Gonzalez F., Tierra G. Second order schemes and time-step adaptivity for Allen-Cahn and Cahn-Hilliard models // Computers and Mathematics with Applications. 2014. V 68. Iss. 8. P. 821—846. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2014.07.014
  23. Kassam A., Trefethen L., Fourth-order time-stepping for stiff PDEs // SIAM J. Sci. Comput. 2005. V. 26. Iss. 4. P. 1214-1233. https://doi.org/10.1137/S1064827502410633
  24. He Y., Liu Y., Tang T. On large time-stepping methods for the Cahn-Hilliard equation // Appl. Numeric. Math. 2007. V. 57. Iss. 5-7. P. 616-628. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2006.07.026
  25. Song H. Energy stable and large time-stepping methods for the Cahn-Hilliard equation // Inter. J. Comput. Math. 2015. V. 92. Iss. 10. P. 2091-2108. https://doi.org/10.1080/00207160.2014.964694
  26. LiD. Why large time-stepping methods for the Cahn-Hilliard equation is stable // Math. Comp. 2022. V. 91. № 238. P. 2501-2515. https://doi.org/10.1090/mcom/3768
  27. Chen W., Wang C., Wang X., Wise S.M. Positivity-preserving, energy stable numerical schemes for the Cahn-Hilliard equation with logarithmic potential // J. Comput. Phys.: X. 2009. V. 3. P. 100031. https://doi.org/10.1016/j.jcpx.2019.100031
  28. Chen W., Wang X., Yan Y., Zhang Z. A Second Order BDF Numerical Scheme with Variable Steps for the Cahn-Hilliard Equation // SIAM J. Numeric. Anal. 2019. V. 57. Iss. 1. P. 495-525. https://doi.org/10.1137/18M1206084
  29. Zhang J., Jiang M., Gong Y., Zhao J. Energy-stable predictor-corrector schemes for the Cahn-Hilliard equation // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 376. P. 112832. https://doi.org/10.1016/j.cam.2020.112832
  30. Zhou Q., Sun Y. Energy stability of exponential time differencing schemes for the nonlocal Cahn-Hilliard equation // Numer. Meth. Partial Differ. Eq. 2023. V. 39. Iss. 5. P. 4030-4058. https://doi.org/10.1002/num.23035
  31. Lee S. Unconditionally strong energy stable scheme for Cahn-Hilliard equation with second-order temporal accuracy // Math. Meth. Appl. Sci. 2023. V. 46. Iss. 6. P. 6463-6469. https://doi.org/10.1002/mma.8917
  32. Boyer F., Minjeaud S. Numerical schemes for a three component Cahn-Hilliard model // ESAIM: Math. Model. Numeric. Anal. 2011. V. 45. No. 4. P. 697-738. https://doi.org/10.1051/m2an/2010072
  33. Brachet M., Chehab J.-P. Fast and Stable Schemes for Phase Fields Models // Comput. Math. Appl. 2020. V. 80. Iss. 6. P. 1683-1713. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2020.07.015
  34. Elliott C., French D.A. A nonconforming finite element method for the two-dimensional Cahn-Hilliard equation // SIAM J. Numer. Anal. 1989. V. 26. № 4. P. 884-903. www.jstor.org/stable/2157884
  35. Barrett J.B. An error bound for the finite element approximation of the Cahn-Hilliard equation with logarithmic free energy // Numer. Math. 1995. V. 72. P. 1-20. https://doi.org/10.1007/s002110050157
  36. Chen L.-Q., Shen J., Applications of semi-implicit fourier-spectral method to phase field equations // Comput. Phys. Commun. 1996. V. 108. Iss. 2-3. P. 147-158. https://doi.org/10.1016/S0010-4655(97)00115-X
  37. Furihata D. A stable and conservative finite difference scheme for the Cahn-Hilliard equation // Numer. Math. 2001. V. 87. Iss. 4. P. 675-699. https://doi.org/10.1007/PL00005429
  38. Feng X., Prohl A. Error analysis ofa mixed finite element method for the Cahn-Hilliard equation // Numer. Math. 2004. V. 99. Iss. 1. P. 47-84. https://doi.org/10.1007/s00211-004-0546-5
  39. Wells E., Kuhl K., Garikipati S. A discontinuous Galerkin method for the Cahn-Hilliard equation // J. Comput. Phys. 2006. V. 218. Iss. 2. P. 860-877. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2006.03.010
  40. Wise S.M., Wang C., Lowengrub J.S. An Energy-Stable and Convergent Finite-Difference Scheme for the Phase Field Crystal Equation // SIAM J. Numer. Anal. 2009. V. 47. Iss. 3. P. 2269-2288. https://doi.org/10.1137/0807381
  41. Du Q., Ju L., Tian L. Finite element approximation of the Cahn-Hilliard equation on surfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Engineer. 2011. V. 200. Iss. 29-32. P. 458-2470. https://doi.org/10.1016/j.cma.2011.04.018
  42. Xia Y., Xu Y., Shu C.-W. Local discontinuous Galerkin methods for the Cahn-Hilliard type equations //J. Comput. Phys. 2007. V 227. Iss. 1. P 472-491. https://doi.org/10.1016/jjcp.2007.08.001
  43. Brenner S.C., Diegel A.E. Sung L.-Y. A robust solver for a second order mixed finite element method for the Cahn-Hilliard equation // J. Comput. Appl. Math. 2020. V. 364. P. 112322. https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.06.038
  44. Gomez H., Calo V.M., Bazilevs Y., Hughes T.J.R Isogeometric analysis of the Cahn-Hilliard phasefield model // Comput. Meth. Appl. Mech. Engineer. 2008. V. 197. Iss. 49-50. P. 4333-4352. https://doi.org/10.1016/j.cma.2008.05.003
  45. Zhang R., Qian X. Triangulation-based isogeometric analysis of the Cahn-Hilliard phase-field model // Comput. Meth. Appl. Mech. Engineer. 2019. V. 357. P. 112569. https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.112569
  46. Kastner M., Metsch P., de Borst R. Isogeometric analysis of the Cahn-Hilliard equation -- a convergence study // J. Comput. Phys. 2016. V. 305. P. 360-371. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.10.047
  47. Goudenege L., Martin D., Vial G. High Order Finite Element Calculations for the Cahn-Hilliard Equation //J. Sci. Comput. 2012. V. 52. P. 294-321. https://doi.org/10.1007/s10915-011-9546-7
  48. Чжао-дин Ю. Об устойчивости разностных схем для решения дифференциальных уравнений параболического типа // Докл. АН. 1957. Т. 117. № 4. С. 578-581. www.mathnet.ru/rus/dan22546
  49. Чжао-дин Ю. Некоторые разностные схемы численного решения дифференциального уравнения параболического типа // Матем. сб. 1960. Т. 50(92). № 4. С. 391-422. www.mathnet.ru/rus/sm4800
  50. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. В кн.: Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз. 1962. 340 С.
  51. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика. 2002. 848 С.
  52. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1984. № 99. 30 С. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=1984-99
  53. Жуков В.Т. Численные эксперименты по решению уравнения теплопроводности методом локальных итераций // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1984. № 97. 22 C. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=1984-97
  54. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. О численном решении краевых задач для уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291./ № 3. С. 540-544. www.mathnet.ru/rus/dan47741
  55. Жуков В.Т. Разностные схемы локальных итераций для параболических уравнений // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша, 1986. № 173. 31 С. https://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=1986-173
  56. Жуков В.Т. Явно-итерационные схемы для параболических уравнений // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Матем. моделирование физ. процессов, 1993. № 4. С. 40-46.
  57. Shvedov A.S., Zhukov V.T. Explicit iterative difference schemes for parabolic equations // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. V. 13.№ 2.P. 133-148.
  58. Жуков В.Т. О явных методах численного интегрирования для параболических уравнений // Матем. моделирование. 2010. Т. 22. № 10. С. 127-158; Math. Models Comput. Simul. 2011. V. 3. №3. P. 311-332.
  59. Жуков В.Т., Новикова Н.Д., Феодоритова О.Б. О применении многосеточного и явно-итерационного методов к решению параболических уравнений с анизотропными разрывными коэффициентами // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2014. № 085. 24С.
  60. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б., Дубень А.П., Новикова Н.Д. Явное интегрирование по времени уравнений Навье-Стокса с помощью метода локальных итераций // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2019. № 012. 32 С.
  61. Жуков В.Т., Феодоритова О.Б. О развитии параллельных алгоритмов решения параболических и эллиптических уравнений // Матем. анализ, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 155, ВИНИТИ РАН, М., 2018, 20-37; J. Math. Sci. (N.Y.), 254:5 (2021), 606-624.
  62. Жуков В.Т., Зайцев Н.А., Лысов В.Г., Рыков Ю.Г., Феодоритова О.Б. Численный анализ модели процессов кристаллизации металлов, двумерный случай // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 1. С. 109-128; Math. Models Comput. Simul. 2012. V. 4. № 4. P. 440-453.
  63. Lee D., Huh J.-Y., Jeong D., Shin J., Yun A., Kim J. Physical, mathematical, and numerical derivations of the Cahn-Hilliard equation // Comput. Materials Sci. 2014. V. 81. P. 216-225. https://doi.org/10.1016/j.commatsci.2013.08.027
  64. Lee S., Lee C., Lee H., Kim J. Comparison of different numerical schemes for the Cahn-Hilliard equation // Journal of the Korea Society for Industrial and Applied Mathematics. 2013. V. 17. Iss. 3. P. 197-207. https://doi.org/10.12941/jksiam.2013.17.197
  65. Botchev M.A., Zhukov V.T. Adaptive iterative explicit time integration for nonlinear heat conduction problems // Lobachevskii J. Math. 2024. V. 44. (To appear.)

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).