Non-Regular Precession of a Gyrostat in Three Uniform Fields

全文:

1. Введение. Классическая задача движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой имеет много обобщений для различных силовых полей. Наиболее исследован случай, когда поле одно или действуют несколько полей с общей осью симметрии. Получены [1] решения для тяжелого тела в магнитном поле, для гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил [2, 3].

Важным случаем движения является прецессия и случай симметричного тяжелого тела хорошо известен. Гриоли была найдены [4] условия регулярной прецессии несимметричного тела вокруг оси, отклоненной от вертикали. В наших работах [5–8] показано, что прецессия тела с полостью, заполненной жидкостью, также возможна при отсутствии динамической симметрии. Обзор прецессий твердого тела и гиростата под действием сил различной природы приведен в [9, 10].

Случай, когда направления полей заданы двумя или тремя векторами в инерциальном пространстве, изучен в значительно меньшей степени и исследования в этой области активно проводятся в настоящее время. Первые примеры регулярной прецессии несимметричного твердого тела и гиростата в двух [11] и трех [12] однородных полях были построены Х. Яхья. В этих решениях оси прецессии и собственного вращения ортогональны, а скорости прецессии и собственного вращения совпадают; эти решения можно считать аналогами прецессии Гриоли для двух и трех полей. В наших работах описаны возможные случаи прецессии твердого тела и гиростата в двух [13] и трех [14] однородных полях; найден новый случай [14], когда скорость прецессии вдвое больше скорости собственного вращения, угол между осями прецессии и собственного вращения задан равенством cosθ = 1/6.

Была рассмотрена [15] регулярная прецессия гиростата в трех полях, одно из которых – осесимметричное, и для частного случая, когда скорости прецессии и собственного вращения равны, поля ортогональны и ось прецессии совпадает с осью симметрии неоднородного поля, получены условия, связывающие параметры системы. В нашей работе [16] выполнено исследование всех возможных случаев регулярной прецессии в данной суперпозиции трех полей, найдены конфигурационные условия и центры приведения сил. Показано [16], что прецессия возможна при скорости прецессии равной, вдвое большей или вдвое меньшей скорости собственного вращения. Для известного случая [15] с равными скоростями прецессии и собственного вращения указаны новые решения с осью прецессии, отклоненной от оси симметрии неоднородного поля. Найдены [16] новые случаи регулярной прецессии, когда отношение скоростей прецессии и собственного вращения равно двум либо одной второй. Показано, что в частном случае гиростата, гиростатический момент которого направлен по оси собственного вращения и в случае твердого тела скорость прецессии может быть вдвое меньше скорости собственного вращения, только если угол нутации задан равенством sinθ = 4/5.

Г.В. Горром была рассмотрена задача о нерегулярной прецессии вокруг вертикали динамически симметричного тела в трех однородных ортогональных полях, при которой отношение скоростей прецессии и собственного вращения постоянно [17–19]. В нашей работе [20] проанализированы возможные случаи нерегулярной прецессии динамически симметричного тела в трех однородных полях с постоянным отношением скоростей при произвольных углах между силовыми линиями полей и с произвольным направлением оси прецессии в инерциальном пространстве. В частном случае сферической симметрии тела при скорости прецессии вдвое меньшей или вдвое большей скорости собственного вращения угол нутации определен равенством cosθ = 1/4, при равных скоростях cosθ = 1/2.

В настоящей статье приведено решение задачи об условиях нерегулярной прецессии гиростата в трех однородных полях, при которой отношение скоростей прецессии и собственного вращения постоянно. Условия получены для случая гиростата с осевой динамической симметрией, ось собственного вращения которого совпадает с осью симметрии гиростата. Показано, что нерегулярная прецессия возможна только при скорости прецессии вдвое большей скорости собственного вращения и гиростатическом моменте, отклоненном от оси симметрии. При угле отклонения ε, меньшем ε_*, движение периодическое, при ε ≥ ε_* скорость стремится к нулю и тело совершает не больше одного оборота вокруг оси собственного вращения; угол ε_* выражен через постоянный угол нутации θ. Решение найдено в элементарных функциях. Найдена связь между отношением осевого и экваториального моментов инерции гиростата и углом нутации, при сферической симметрии cosθ = 1/4. Указано множество допустимых положений центров приведения сил при произвольных заданных углах между силовыми линиями однородных полей и для частного случая ортогональных полей.

2. Постановка задачи. Для описания движения гиростата вокруг неподвижной точки под действием трех полей используем уравнения [12]

$I\dot{\omega }+\omega \times \left(I\omega +\sigma \right)=M={\alpha }_1\times u_1+{\alpha }_2\times u_2+{\alpha }_3\times u_3$ (2.1)

${\dot{\alpha }}_i+\omega \times {\alpha }_i=0; i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} 3$ (2.2)

Здесь ( )^• – производная по времени в системе отсчета, связанной с телом; векторы u_i постоянны в этой системе, u_i =  p_iOC_i, C_i – центры приведения сил, I – оператор инерции тела в неподвижной точке, ω – угловая скорость тела, единичные векторы α_i задают направления сил каждого из полей, σ – гиростатический момент, M – момент действующих на тело сил относительно неподвижной точки O.

Прецессия тела задается равенством

$\omega ={\omega }_{r}m+{\omega }_p\rho$ (2.3)

Единичные векторы m и ρ постоянны, соответственно, в подвижной и инерциальной системах. Скалярные функции ω_r (t) и ω_p (t) – это величины скоростей собственного вращения и прецессии. Прецессия называется регулярной, если обе скорости ω_r и ω_p постоянны, и нерегулярной, если хотя бы одна из скоростей непостоянна [10].

Рассмотрим прецессии гиростата, для которых, как и в работах [17–20] для твердого тела, отношение скоростей постоянно

${\omega }_p/{\omega }_r=\kappa =const$ (2.4)

Ниже решается следующая задача: при заданных в инерциальной системе отсчета направлениях полей α_i и оси прецессии ρ определить при каких ограничениях на оператор I, гиростатический момент σ, векторы u_i и отношение скоростей κ гиростат может совершать прецессию и найти зависимость скоростей прецессии и собственного вращения от времени.

Векторная функция ρ (t) удовлетворяет уравнению (2.2), которое, при учете равенства (2.3), становится линейным

$\dot{\rho }+{\omega }_r\left(t\right)m\times \rho =0$ (2.5)

Пусть (l₁, l₂, l₃) – некоторый связанный с телом ортонормированный правый базис такой, что l₃ = m. Решение уравнения (2.5) имеет вид

$\rho =\sin \theta \left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\cos \theta l_3; d\tau =\Omega dt$ (2.6)

Здесь Ω = ω_r (t) – скорость собственного вращения, произвольный параметр θ – это постоянный угол между осями собственного вращения и прецессии (угол нутации), cosθ = (m, ρ). При Ω = const в рассматриваемом случае, когда отношение скоростей  постоянно, прецессия является регулярной.

Векторные функции ω (t), α_i (t), как и ранее [14, 16, 20], задаются в связанном с телом ортонормированном базисе (l₁, l₂, l₃) равенствами:

$\omega =\Omega \tilde{\omega }, \tilde{\omega }=\kappa \sin \theta \left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\left(1+\kappa \cos \theta \right)l_3$ (2.7)

${\alpha }_i=-R{s}_i; i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} \mathrm{3,} \rho =-R{l}_3$ (2.8)

Элементы матрицы оператора поворота R в базисе (l_i) следующие:

$$\begin{gathered} r_{11}=-{\cos }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa -1\right)\tau , r_{31}=-\sin \theta \sin \kappa \tau \\ {r}_{12}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa +1\right)\tau +{\sin }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa -1\right)\tau , r_{13}=-\sin \theta \sin \tau \\ {r}_{21}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\sin \left(\kappa -1\right)\tau , r_{32}=-\sin \theta \cos \kappa \tau \\ {r}_{22}={\cos }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa +1\right)\tau -{\sin }^2\frac{\theta }{2}\cos \left(\kappa -1\right)\tau , r_{23}=-\sin \theta \cos \tau , r_{33}=-\cos \theta \end{gathered}$$ (2.9)

Функции α_i (t), заданные равенствами (2.8), являются решениями линейных (при заданной формулой (2.7) функции ω (t)) уравнений (2.2) при произвольных постоянных (в связанной с телом системе отсчета) векторах s_i. При известных функциях α_i (t) момент внешних сил M задан в подвижной системе отсчета.

Задача, решаемая в работе, состоит в нахождении условий обращения в тождество равенства (2.1) при функциях ω, α_i (t), M, заданных равенствами (2.7)–(2.9). Из формул (2.7) получим

$\dot{\omega }=\dot{\Omega }\tilde{\omega }+{\Omega }^2\kappa \sin \theta \left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right)$ (2.10)

Уравнение (2.1) записывается в виде

$\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }f+{\Omega }^{2}g+\Omega h=M$ (2.11)

$f=I\tilde{\omega }, g=\tilde{\omega }\times I\tilde{\omega }+\kappa \sin \theta I\left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right), h=\tilde{\omega }\times \sigma$ (2.12)

Зависимость τ = τ (t) найдем из равенства

$t=\int \frac{d\tau }{\Omega \left(\tau \right)}$ (2.13)

В общем случае, когда поля не ортогональны, удобно, как ранее в наших работах [14, 16, 20] преобразовать формулу для момента сил следующим образом. Зададим векторы n_i и оператор G равенствами

$n_1=\frac{s_2\times s_3}{⟨s_1,s_2,s_3⟩}\left(1 2 3\right), u_i=G{n}_i; i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} 3$ (2.14)

Здесь ⟨a, b, c⟩ = (a, b × c), (1 2 3) – знак циклической перестановки.

Всюду в работе рассматриваем случай неприводимых полей и считаем векторы  некомпланарными, тогда, в силу равенств (2.8), ⟨s₁, s₂, s₃⟩ ≠ 0.

Имеем формулу [16] для суммы моментов внешних сил

$M=G{l}_1\times R{l}_1+G{l}_2\times R{l}_2+G{l}_3\times R{l}_3$ (2.15)

Ниже, в разд. 3, приведена система трех тождеств, выполнение которых необходимо и достаточно для существования искомого решения, описывающего прецессию гиростата с осевой динамической симметрией, для которой отношение скоростей прецессии и собственного вращения постоянно. В разд. 4 доказано, что для совместности названной системы тождеств в случае трех полей, неприводимых к двум или одному полю, необходимо, чтобы отношение скоростей было равно одному, двум или одной второй. Дальнейший анализ показывает, что случаи κ = 1 и κ = 1/2 возможны только при Ω = const, то есть при регулярной прецессии. Кроме того, показано, что вектор гиростатического момента должен быть отклонен от оси динамической симметрии гиростата. Разд. 5 и 6 содержат основные результаты статьи. В разд. 5 показано, что при κ = 2 система трех тождеств совместна и система уравнений (2.1), (2.2) имеет в случае трех неприводимых полей решение, описывающее нерегулярную прецессию с постоянным отношением скоростей. Получено необходимое условие, выражающее угол нутации через отношение осевого и экваториального моментов инерции гиростата. Дано описание допустимых положений центров приведения сил. Найдено выражение Ω (τ) через элементарные функции. В разд. 6 выполнен анализ возможных движений гиростата. Записана в элементарных функциях зависимость от времени компонент угловой скорости гиростата. Показано, что при угле ε отклонения гиростатического момента от оси симметрии гиростата, меньшем ε_*, движение периодическое, при ε ≥ ε_* скорость стремится к нулю и тело совершает не больше одного оборота вокруг оси собственного вращения; угол ε_* выражен через постоянный угол нутации θ.

3. Прецессия гиростата с осевой симметрией. Определяющие тождества. Рассмотрим прецессию гиростата, имеющего осевую динамическую симметрию, ось симметрии которого совпадает с осью собственного вращения. В этом случае I_ij = 0, i ≠ j, I₁ = I₂. Оси l₁, l₂ выберем так, что σ₂ = 0. Запишем заданные формулой (2.12) параметры f, g, h

$f=\kappa \sin \theta I_1\left(\sin \tau l_1+\cos \tau l_2\right)+\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3{l}_3$ (3.1)

$g={\lambda }_1\left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right), {\lambda }_1\stackrel{def}{=}\kappa \sin \theta \left(\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3-\kappa \cos \theta I_1\right)$ (3.2)

$h=\kappa \sin \theta {\sigma }_3\left(\cos \tau l_1-\sin \tau l_2\right)+\left(1+\kappa \cos \theta \right){\sigma }_1{l}_2-\kappa \sin \theta {\sigma }_1\cos \tau l_3$ (3.3)

Отметим следующее. Если гиростатический момент коллинеарен оси симметрии, то σ₁ = 0 и векторы g и h коллинеарны, что упрощает анализ уравнения (2.11). Проведенная проверка показала, что в этом случае искомое решение, описывающее прецессию с постоянным отношением скоростей осесимметричного гиростата в трех неприводимых однородных полях, существует, только если Ω = const. Прецессия является регулярной, все возможные случаи такой прецессии описаны в нашей работе [16]. Всюду ниже при построении условий нерегулярной прецессии с постоянным отношением скоростей (то есть при условии (2.4)) считаем σ₁ ≠ 0, гиростатический момент  при этом отклонен от оси симметрии.

Запишем уравнение (2.11) в проекциях на оси

$\kappa \sin \theta I_1\sin \tau \Omega \frac{d\Omega }{d\tau }+{\lambda }_1\cos \tau {\Omega }^2+\kappa \sin \theta {\sigma }_3\cos \tau \Omega =M_1$ (3.4)

$\kappa \sin \theta I_1\cos \tau \Omega \frac{d\Omega }{d\tau }-{\lambda }_1\sin \tau {\Omega }^2+\left(\left(1+\kappa \cos \theta \right){\sigma }_1-\kappa \sin \theta {\sigma }_3\sin \tau \right)\Omega =M_2$ (3.5)

$\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }-\kappa \sin \theta {\sigma }_1\cos \tau \Omega =M_3$ (3.6)

Уравнения (3.4), (3.5) эквивалентны системе

$\kappa \sin \theta I_1\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }+\left(1+\kappa \cos \theta \right){\sigma }_1\cos \tau \Omega =M_1\sin \tau +M_2\cos \tau \stackrel{def}{=}{\tilde{M}}_1$ (3.7)

${\lambda }_2={\left(\kappa \sin \theta \right)}^2{I}_1+{\left(1+\kappa \cos \theta \right)}^2{I}_3$ (3.8)

Из уравнений (3.6) и (3.7) находим

${\lambda }_2{\sigma }_1\cos \tau \Omega =\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3{\tilde{M}}_1-\kappa \sin \theta I_1{M}_3$ (3.9)

${\lambda }_2\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }=\kappa \sin \theta {\tilde{M}}_1+\left(1+\kappa \cos \theta \right)M_3$ (3.10)

Здесь

${\lambda }_2={\left(\kappa \sin \theta \right)}^2{I}_1+{\left(1+\kappa \cos \theta \right)}^2{I}_3$ (3.11)

Таким образом, исходное векторное уравнение (2.11) эквивалентно системе трех уравнений (3.8)–(3.10).

Из формул (2.9) и (2.15) получим компоненты M_i момента в базисе (l_i) и затем запишем величины ${\tilde{M}}_i$, заданные в формулах (3.7) и (3.8)

$$\begin{gathered} {\tilde{M}}_1=\cos \theta \left(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau \right)+G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau + \\ +\frac{\sin \theta }{2}\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \right)+ \\ +\left(\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \right) \end{gathered}$$ (3.12)

$$\begin{gathered} {\tilde{M}}_2=\cos \theta \left(G_{23}\cos \tau +G_{13}\sin \tau +G_{32}\cos \kappa \tau +G_{31}\sin \kappa \tau \right)- \\ -\frac{\sin \theta }{2}(2G_{33}+\left(G_{11}-G_{22}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau -\left(G_{12}+G_{21}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau - \\ -\left(G_{11}+G_{22}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{12}-G_{21}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau ) \end{gathered}$$ (3.13)

$$\begin{gathered} M_3=\sin \theta \left(-G_{13}\cos \tau +G_{23}\sin \tau \right)+ \\ +{\sin }^2\frac{\theta }{2}\left(\left(G_{21}-G_{12}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau -\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \right)+ \\ +{\cos }^2\frac{\theta }{2}\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \right) \end{gathered}$$ (3.14)

Правые части уравнений (3.9), (3.10) записываются в виде

$$\begin{gathered} \kappa \sin \theta {\tilde{M}}_1+\left(1+\kappa \cos \theta \right)M_3= \\ =\sin \theta \left(-G_{13}\cos \tau +G_{23}\sin \tau +\kappa \left(G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau \right)\right)+ \\ +\frac{1+\cos \theta }{2}\left(\kappa +1\right)\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \right)+ \\ +\frac{1-\cos \theta }{2}\left(\kappa -1\right)\left(\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \right) \end{gathered}$$ (3.15)

$$\begin{gathered} \left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3{\tilde{M}}_1-\kappa \sin \theta I_1{M}_3=\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3\left(G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau \right)+ \\ +{\lambda }_3\left(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau \right)+ \\ +\frac{1}{2}{\lambda }_4\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau \right)+ \\ +\frac{1}{2}{\lambda }_5\left(\left(G_{12}-G_{21}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau +\left(G_{11}+G_{22}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau \right) \end{gathered}$$ (3.16)

$$\begin{gathered} {\lambda }_3=\cos \theta \left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3+\kappa {\left(\sin \theta \right)}^2{I}_1 \\ {\lambda }_4=\sin \theta \left(\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3-\kappa \left(1+\cos \theta \right)I_1\right) \\ {\lambda }_5=\sin \theta \left(\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3+\kappa \left(1-\cos \theta \right)I_1\right) \end{gathered}$$ (3.17)

4. Предварительный анализ. Необходимо определить условия, при которых равенства (3.8)–(3.10) тождественно выполнены для некоторой функции Ω (τ) ≠ const и найти эту функцию. Из формулы (3.10) получим

$$\begin{gathered} \frac{{\lambda }_2}{2}{\Omega }^2=\sin \theta \left(-G_{13}\sin \tau -G_{23}\cos \tau -G_{31}\sin \kappa \tau -G_{32}\cos \kappa \tau \right)+ \\ +\frac{1+\cos \theta }{2}\left((G_{12}+G_{21}\right)\sin \left(\kappa +1\right)\tau -\left(G_{11}-G_{22}\right)\cos \left(\kappa +1\right)\tau )+ \\ +\frac{1-\cos \theta }{2}\left((G_{12}-G_{21}\right)\sin \left(\kappa -1\right)\tau -\left(G_{11}+G_{22}\right)\cos \left(\kappa -1\right)\tau )+C \end{gathered}$$ (4.1)

Если κ ≠ 1, то необходимы условия

$G_{11}=G_{22}, G_{12}=-G_{21}$ (4.2)

Формулы (3.9) и (4.1) при условиях (4.2) записываются в виде

$$\begin{gathered} {\lambda }_2{\sigma }_1\cos \tau \Omega =\left(1+\kappa \cos \theta \right)I_3\left(G_{32}\sin \kappa \tau -G_{31}\cos \kappa \tau \right)+ \\ +{\lambda }_3\left(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau \right)+{\lambda }_5\left(G_{12}\cos \left(\kappa -1\right)\tau +G_{11}\sin \left(\kappa -1\right)\tau \right) \end{gathered}$$ (4.3)

$$\begin{gathered} \frac{{\lambda }_2}{2}{\Omega }^2=\sin \theta \left(-G_{13}\sin \tau -G_{23}\cos \tau -G_{31}\sin \kappa \tau -G_{32}\cos \kappa \tau \right)+ \\ +\left(1-\cos \theta \right)\left(G_{12}\sin \left(\kappa -1\right)\tau -G_{11}\cos \left(\kappa -1\right)\tau \right)+C \end{gathered}$$ (4.4)

Если функцию Ω (τ) из равенства (4.3) подставить в равенство (4.4), то получим тождество, одним из условий выполнения которого при κ ≠ 1, κ ≠ 2, κ ≠ 1/2 является G₁₁ = G₁₂ = 0. Учитывая условие (4.2), получим, что матрица  – вырожденная и имеем приводимый случай. Таким образом, искомое решение, описывающее нерегулярную прецессию гиростата в трех полях с постоянным отношением скорости прецессии к скорости собственного вращения, может существовать только в одном из указанных случаев. В нашей работе [20] показано, что нерегулярная прецессия твердого тела в трех однородных полях возможна, когда отношение скорости прецессии к скорости собственного вращения равно одному, двум или одной второй. Ниже показано, что аналогичное решение для гиростата существует, только если скорость прецессии вдвое больше скорости собственного вращения.

Рассмотрим случай κ = 1. Условия (3.9), (3.10) записываются в виде

$$\begin{gathered} {\lambda }_2{\sigma }_1\cos \tau \Omega =\left(1+\cos \theta \right)I_3\left(G_{32}\sin \tau -G_{31}\cos \tau \right)+{\lambda }_3\left(G_{13}\cos \tau -G_{23}\sin \tau \right)+ \\ +\frac{1}{2}{\lambda }_4\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos 2\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin 2\tau \right)+\frac{1}{2}{\lambda }_5\left(G_{12}-G_{21}\right) \end{gathered}$$ (4.5)

$$\begin{gathered} {\lambda }_2\dot{\Omega }={\lambda }_2\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }=\sin \theta \left(-\left(G_{13}+G_{31}\right)\cos \tau +\left(G_{23}+G_{32}\right)\sin \tau \right)+ \\ +\left(1+\cos \theta \right)\left(\left(G_{12}+G_{21}\right)\cos 2\tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin 2\tau \right) \end{gathered}$$ (4.6)

В соответствии с формулой (3.11) λ₂ ≠ 0 и, так как σ₁ ≠ 0, то правая часть в формуле (4.5) должна делиться на cosτ, для этого необходимо выполнение условий

$\left(1+\cos \theta \right)I_3{G}_{32}-{\lambda }_3{G}_{23}=\mathrm{0,} {\lambda }_4\left(G_{12}+G_{21}\right)={\lambda }_5\left(G_{12}-G_{21}\right)$ (4.7)

При выполнении этих условий формула (4.5) упрощается:

$\Omega =\frac{{\lambda }_4\left((G_{12}+G_{21}\right)\cos \tau +\left(G_{11}-G_{22}\right)\sin \tau )+{\lambda }_3{G}_{13}-\left(1+\cos \theta \right)I_3{G}_{31}}{{\lambda }_2{\sigma }_1}$ (4.8)

Если из формулы (4.8) подставить Ω в равенство (4.6) и сравнить коэффициенты при cos2τ, sin2τ, то получим необходимые условия

$2xy=y, x^2-y^2=x, x=\frac{G_{11}-G_{22}}{\nu }, y=\frac{G_{12}+G_{21}}{\nu }, \nu =\frac{2\left(1+\cos \theta \right){\lambda }_2{\sigma }_1^2}{{\lambda }_4^2}$ (4.9)

Если y ≠ 0, то x = 1/2 и второе уравнение (4.9) не имеет действительных решений. Если y = 0, то x = 0 или x = 1. В первом случае из формулы (4.8) следует Ω = const. Остается только случай y = 0, x = 1 и получаем условия

$G_{12}=-G_{21}, G_{11}-G_{22}=\nu$ (4.10)

Формула (4.8) и равенство (4.6) принимают вид

$\Omega =\frac{1}{{\lambda }_2{\sigma }_1}\left({\lambda }_4\nu \sin \tau +{\lambda }_3{G}_{13}-\left(1+\cos \theta \right)I_3{G}_{31}\right)$ (4.11)

${\lambda }_2\Omega \frac{d\Omega }{d\tau }=\sin \theta \left(\left(G_{23}+G_{32}\right)\sin \tau -\left(G_{13}+G_{31}\right)\cos \tau \right)+\left(1+\cos \theta \right)\nu \sin 2\tau$ (4.12)

Равенства (4.11) и (4.12) совместны при условиях

$G_{23}+G_{32}=\mathrm{0,} \frac{{\lambda }_4\nu }{{\lambda }_2{\sigma }_1^2}\left({\lambda }_3{G}_{13}-\left(1+\cos \theta \right)I_3{G}_{31}\right)=-\sin \theta \left(G_{13}+G_{31}\right)$ (4.13)

Так как ${\lambda }_3+\left(1+\cos \theta \right)I_3={(1+\cos \theta )}^2{I}_3+{\left(\sin \theta \right)}^2{I}_1\ne 0$, то из первых условий (4.7) и (4.13) следует G₂₃ = G₃₂ = 0.

Осталось рассмотреть возможность выполнения тождества (3.8), которое при полученных условиях записывается в виде

$$\begin{gathered} \left(\left(1+\cos \theta \right){\sigma }_1\sin \tau -\sin \theta {\sigma }_3\right)\Omega -{\lambda }_1{\Omega }^2= \\ =-\frac{\sin \theta }{2}\left(\nu \cos 2\tau +2G_{33}-G_{11}-G_{22}\right)+\cos \theta \left(G_{13}+G_{31}\right)\sin \tau \end{gathered}$$

Сравнение здесь слагаемых с cos2τ приводит либо к условию ν = 0, но тогда Ω = const, либо к условию $\left(1+\cos \theta \right)\left(2{\lambda }_1-{\lambda }_4\right)+\sin \theta {\lambda }_2=0$. Данное условие приводится к виду ${(1+\cos \theta )}^2{I}_3+{\left(\sin \theta \right)}^2{I}_1=0$ и не может быть выполнено. Таким образом, при κ = 1 искомого решения нет.

Покажем, что этот случай при κ = 1/2 также невозможен. Из формулы (3.9) при учете условия (4.2) получим

${\lambda }_2{\sigma }_1\cos \tau \Omega =a\cos \tau +b\sin \tau +c\cos \frac{\tau }{2}+d\sin \frac{\tau }{2}$ (4.14)

Здесь $a={\lambda }_3{G}_{13}, b=-{\lambda }_3{G}_{23}, c={\lambda }_5{G}_{12}-\left(1+\frac{\cos \theta }{2}\right)I_3{G}_{31}, d=\left(1+\frac{\cos \theta }{2}\right)I_3{G}_{32}-{\lambda }_5{G}_{11}$.

Для делимости правой части в формуле (4.14) на cosτ необходимо b = c = d = 0. Формула принимает вид λ₂σ₁Ω = const. Заданный формулой (3.11) параметр λ₂ больше нуля, следовательно σ₁Ω = const. При σ₁ ≠ 0 отсюда следует Ω = const и прецессия будет регулярной. В разд. 3 показано, что рассмотрение случая σ₁ = 0 также приводит к условию Ω = const. Таким образом, при κ = 1/2 искомая нерегулярная прецессия невозможна.

5. Построение условий прецессии в случае κ = 2. Формулы (4.3), (4.4) при условиях (4.2) дают

$$\begin{gathered} {\lambda }_2{\sigma }_1\cos \tau \Omega =\left(1+2\cos \theta \right)I_3\left(G_{32}\sin 2\tau -G_{31}\cos 2\tau \right)+ \\ +\left({\lambda }_3{G}_{13}+{\lambda }_5{G}_{12}\right)\cos \tau +\left({\lambda }_5{G}_{11}-{\lambda }_3{G}_{23}\right)\sin \tau \end{gathered}$$ (5.1)

$$\begin{gathered} \frac{{\lambda }_2}{2}{\Omega }^2=-\sin \theta \left(G_{31}\sin 2\tau +G_{32}\cos 2\tau \right)-\left(\sin \theta G_{23}+\left(1-\cos \theta \right)G_{11}\right)\cos \tau + \\ +\left(-\sin \theta G_{13}+\left(1-\cos \theta \right)G_{12}\right)\sin \tau +C \end{gathered}$$ (5.2)

Для делимости на cosτ в формуле (5.1) необходимы условия

$G_{31}=\mathrm{0,} {\lambda }_5{G}_{11}-{\lambda }_3{G}_{23}=0$ (5.3)

При этом

${\lambda }_2{\sigma }_1\Omega =2\left(1+2\cos \theta \right)I_3{G}_{32}\sin \tau +{\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}$ (5.4)

Отсюда следует G₃₂ ≠ 0, иначе Ω = const, и получаем

$$\begin{gathered} {\Omega }^2=\frac{1}{{\left({\lambda }_2{\sigma }_1\right)}^2}({\left(\left(1+2\cos \theta \right)I_3{G}_{32}\right)}^{2}2\left(1-\cos 2\tau \right)+ \\ +4\left(1+2\cos \theta \right)I_3{G}_{32}\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)\sin \tau +{\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)}^2) \end{gathered}$$ (5.5)

Сравнение с формулой (5.2) приводит к условию

$\sin \theta G_{23}+\left(1-\cos \theta \right)G_{11}=0$ (5.6)

Формула (5.2) при условиях (5.3), (5.6) дает

${\Omega }^2=\frac{2}{{\lambda }_2}\left(-\sin \theta G_{32}\cos 2\tau +\left(-\sin \theta G_{13}+\left(1-\cos \theta \right)G_{12}\right)\sin \tau +C\right)$ (5.7)

Сравнивая формулы (5.5) и (5.7), приходим к условиям

$$\begin{gathered} \frac{1}{{\left({\lambda }_2{\sigma }_1\right)}^2}{\left((1+2\cos \theta )I_3{G}_{32}\right)}^2=\frac{1}{{\lambda }_2}\sin \theta G_{32} \\ \frac{2}{{\left({\lambda }_2{\sigma }_1\right)}^2}\left(1+2\cos \theta \right)I_3{G}_{32}\left({\lambda }_1{G}_{12}+{\lambda }_2{G}_{13}\right)=\frac{1}{{\lambda }_2}\left(-\sin \theta G_{13}+\left(1-\cos \theta \right)G_{12}\right) \end{gathered}$$

Из первого условия находим

$G_{32}=\frac{\sin \theta {\lambda }_2{\left({\sigma }_1\right)}^2}{{\left(\left(1+2\cos \theta \right)I_3\right)}^2}$ (5.8)

Из второго условия при учете формулы (5.8) следует связь

$-\sin \theta G_{13}+\left(1-\cos \theta \right)G_{12}=\frac{2\sin \theta }{\left(1+2\cos \theta \right)I_3}\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)$ (5.9)

По формуле (3.13) получим

$$\begin{gathered} {\tilde{M}}_2=\cos \theta G_{32}\cos 2\tau +\left(\sin \theta G_{11}+\cos \theta G_{23}\right)\cos \tau + \\ +\left(\cos \theta G_{13}-\sin \theta G_{12}\right)\sin \tau -\sin \theta G_{33} \end{gathered}$$ (5.10)

В левой части равенства (3.8) при учете формулы (5.4) нет слагаемых с cosτ, поэтому в ${\tilde{M}}_2$ такие члены должны отсутствовать и из формулы (5.10) получаем условие

$\sin \theta G_{11}+\cos \theta G_{23}=0$ (5.11)

Определитель системы (5.6), (5.11) не равен нулю, следовательно

$G_{11}=G_{22}=G_{23}=0$ (5.12)

Формула (5.10) принимает вид

${\tilde{M}}_2=\cos \theta G_{32}\cos 2\tau +\left(\cos \theta G_{13}-\sin \theta G_{12}\right)\sin \tau -\sin \theta G_{33}$ (5.13)

Добьемся теперь выполнения равенства (3.8), используя формулы (5.4) и (5.13). Сравнивая коэффициенты при cos2τ, получим связь

$\frac{2{\lambda }_1}{{\left({\lambda }_2{\sigma }_1\right)}^2}{\left(\left(1+2\cos \theta \right)I_3\right)}^2{G}_{32}^2-\frac{1}{{\lambda }_2{\sigma }_1}{\left(1+2\cos \theta \right)}^2{I}_3{G}_{32}{\sigma }_1=\cos \theta G_{32}$

Подставив сюда G₃₂ из формулы (5.8), приходим к условию

$2{\lambda }_1\sin \theta -{\left(1+2\cos \theta \right)}^2{I}_3=\mu \cos \theta$

Данное условие при использовании формул (3.2), (3.11) для λ₁, λ₂ приводится к виду

$4\cos \theta \left(1-\cos \theta \right)I_1=\left(1-4{\cos }^2\theta \right)I_3$ (5.14)

Отметим, что в случае сферической симметрии I₁ = I₂ = I₃ из условия (5.14) получаем

$\cos \theta =\frac{1}{4}$ (5.15)

Такое же значение отмечено в работах [17] и [20] для частного случая твердого тела со сферической симметрией.

При имеющемся ограничении I₃ < 2I₁ допустимые значения угла нутации определяются условием

$0<\cos \theta <\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-1\right)$ (5.16)

Сравнивая в тождестве (3.8) коэффициенты при sinτ и свободные члены, получим связи

$\left(1-\frac{4{\lambda }_1}{{\lambda }_2{\left({\sigma }_1\right)}^2}{I}_3{G}_{32}\right)\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)+{\lambda }_2\frac{\sin \theta G_{12}-\cos \theta G_{13}}{1+2\cos \theta }=4\frac{{\sigma }_3}{{\sigma }_1}\sin \theta I_3{G}_{32}$ (5.17)

$$\begin{gathered} G_{33}=\frac{2{\sigma }_3\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)}{{\lambda }_2{\sigma }_1}+\frac{{\lambda }_1\left(2\left(1+2\cos \theta \right)I_3{)}^2{G}_{32}^2+{\left({\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}\right)}^2\right)}{\sin \theta {\left({\lambda }_2{\sigma }_1\right)}^2}- \\ -\frac{{\left(1+2\cos \theta \right)}^2{I}_3{G}_{32}}{{\lambda }_2\sin \theta } \end{gathered}$$ (5.18)

Равенства (5.9) и (5.17) позволяют найти величины G₁₂ и G₁₃, из равенства (5.18) затем найдем .

Заданные формулами (3.17) параметры λ₃ и λ₅ при связи (5.14) записываются в виде

${\lambda }_5=\frac{\sin \theta \left(1+2\cos \theta \right)}{2\cos \theta }{I}_3, {\lambda }_3=\frac{\left(1-\cos \theta \right)\left(1+2\cos \theta \right)}{2\cos \theta }{I}_3$ (5.19)

Условие (5.9) при учете формул (5.19) преобразуется к виду

$\left(1-\cos \theta \right)G_{12}+\sin \theta G_{13}=0$ (5.20)

Полученная связь позволяет записать G₁₂, G₁₃ в виде

$G_{12}=-\sin \theta g, G_{13}=\left(1-\cos \theta \right)g$ (5.21)

С учетом формул (5.19), (5.20) получим

${\lambda }_5{G}_{12}+{\lambda }_3{G}_{13}=\left(\sin \theta G_{12}-\cos \theta G_{13}\right)I_3=-\left(1-\cos \theta \right)\left(1+2\cos \theta \right)I_{3}g$ (5.22)

Параметр g определим из равенства (5.17)

$g=-\frac{4{\sigma }_3\cos \theta }{{\sigma }_1\sin \theta \left(1-2\cos \theta \right)}{G}_{32}$

Подставляя сюда G₃₂ из формулы (5.8), получим

$g=-\frac{4{\sigma }_1{\sigma }_3}{\left(1-4{\cos }^2\theta \right)I_3}$ (5.23)

Формулы (5.21) принимают вид

$G_{12}=\frac{4{\sigma }_1{\sigma }_3\sin \theta }{\left(1-4{\cos }^2\theta \right)I_3}, G_{13}=-\frac{4{\sigma }_1{\sigma }_3\left(1-\cos \theta \right)}{\left(1-4{\cos }^2\theta \right)I_3}$ (5.24)

Из формулы (5.18) при учете формул (5.21) и (5.23) находим

$G_{33}=\frac{{\sigma }_1^2}{I_3\left(1+2\cos \theta \right)}+\frac{2{\sigma }_3^2}{I_1\left(1-2\cos \theta \right)}$ (5.25)

Соберем вместе полученные результаты. Для того, чтобы гиростат с осевой динамической симметрией совершал в суперпозиции трех неприводимых однородных полей нерегулярную прецессию, при которой ось прецессии совпадает с осью симметрии гиростата, а отношение скоростей прецессии и собственного вращения было постоянно, необходимо, чтобы скорость прецессии была вдвое больше скорости собственного вращения, отношение осевого и экваториального моментов инерции выражалось через постоянный угол нутации по формуле

$\frac{I_3}{I_1}=\frac{4\cos \theta \left(1-\cos \theta \right)}{1-4{\cos }^2\theta }$ (5.26)

и элементы матрицы G, определяющей положения центров приведения, задавались формулами

$$\begin{gathered} G_{12}=-G_{21}=\frac{4{\sigma }_1{\sigma }_3\sin \theta }{I_3\left(1-4{\cos }^2\theta \right)}, G_{13}=-\frac{4{\sigma }_1{\sigma }_3\left(1-\cos \theta \right)}{I_3\left(1-4{\cos }^2\theta \right) }, G_{32}=\frac{{\sigma }_1^2}{I_3}\frac{\sin \theta }{\cos \theta \left(1+2\cos \theta \right)} \\ {G}_{33}=\frac{{\sigma }_1^2}{I_3\left(1+2\cos \theta \right)}+\frac{2{\sigma }_3^2}{I_1\left(1-2\cos \theta \right)}, G_{11}=G_{22}=G_{23}=G_{31}=0 \end{gathered}$$ (5.27)

Здесь σ₁ и σ₂ – проекции гиростатического момента на экваториальную плоскость и на ось симметрии эллипсоида инерции.

Из формулы (5.4) получаем выражение для скорости собственного вращения

$\Omega =2\frac{{\sigma }_1}{I_3}\frac{\sin \theta }{1+2\cos \theta }\sin \tau +\frac{{\sigma }_3}{I_1}$ (5.28)

Допустимые положения центров приведения сил определяются при заданной матрице G из формул (2.14).

В случае ортогональных полей единичные векторы α₁, α₂, α₃ образуют правую ортогональную тройку, тогда, в соответствии с формулами (2.8), единичные векторы s₁, s₂, s₃ образуют левую ортогональную тройку. Из формул (2.14) получим n_i = s_i, i = 1, 2, 3. Если ось прецессии совпадает с осью симметрии неоднородного поля, то ρ = α₃ и, в соответствии с формулой (2.8), s₃ = l₃.

6. Анализ движения гиростата. Получим явную зависимость переменной τ от времени и зависимость от времени компонент угловой скорости гиростата. Запишем формулу (5.28) в виде

$\Omega =a+b\sin \tau , a=\frac{{\sigma }_3}{I_1}, b=2\frac{{\sigma }_1}{I_3}\frac{\sin \theta }{1+2\cos \theta }$ (6.1)

Интеграл (2.13) выражается через элементарные функции. При a² > b² движение – периодическое, при b² ≥ a² скорость вращения стремится к нулю.

Из формул (5.26), (6.1) получим

$\frac{a^2}{b^2}=ct{g}^2\epsilon \frac{4\left(1-\cos \theta \right){\cos }^2\theta }{\left(1+\cos \theta \right){\left(1-2\cos \theta \right)}^2}, \left|\frac{a}{b}\right|=\left|ctg\epsilon \right|\left|tg\frac{\theta }{2}\right|\frac{2\cos \theta }{1-2\cos \theta }$ (6.2)

Здесь ε – угол между вектором гиростатического момента σ и осью симметрии l₃, σ₁ = σsinε, σ₃ = σcosε. Движение периодическое при |ε| < ε_*, иначе – затухающее

$t{g}^2{\epsilon }_{*}=\frac{4\left(1-\cos \theta \right){\cos }^2\theta }{\left(1+\cos \theta \right){\left(1-2\cos \theta \right)}^2}, \left|tg{\epsilon }_{*}\right|=\frac{2\cos \theta }{1-2\cos \theta }\left|tg\frac{\theta }{2}\right|$ (6.3)

В случае сферической динамической симметрии гиростата cosθ = 1/4,

$t{g}^2{\epsilon }_{*}=\frac{3}{5} ; {\epsilon }_{*}\approx {37}^{\circ }{46}^{\text{'}}$

Случай 1: a = ±b

$$\begin{gathered} t+C=\frac{1}{a}tg\left(\frac{\tau }{2}\mp \frac{\pi }{4}\right), \sin \tau =\pm \frac{1-a^2{(t+C)}^2}{1+a^2{(t+C)}^2}, \cos \tau =\mp \frac{2a\left(t+C\right)}{1+a^2{(t+C)}^2} \\ {\omega }_r=\frac{1}{2}{\omega }_p=\Omega =\frac{2a}{1+a^2{(t+C)}^2} \end{gathered}$$

Носитель гиростата приближается к состоянию покоя, Ω > 0 при t > ∞.

Случай 2: a² > b²

$tg\frac{1}{2}\left(\tau -\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a-b}tg\frac{\tilde{t}}{2}; \tilde{t}=\sqrt{\left|a^2-b^2\right|}\left(t+const\right)$

Отсюда находим

$\cos \left(\tau -\frac{\pi }{2}\right)=\frac{a\cos \tilde{t}-b}{a-b\cos \tilde{t}}, \sin \left(\tau -\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{a^2-b^2}\sin \tilde{t}}{a-b\cos \tilde{t}}$, (6.4)

${\omega }_r=\frac{1}{2}{\omega }_p=\Omega =\frac{a^2-b^2}{a-b\cos \tilde{t}}$ (6.5)

Скорость собственного вращения Ω и вдвое большая скорость прецессии являются периодическими функциями времени с периодом $T=2\pi /\sqrt{a^2-b^2}$.

Знак Ω совпадает со знаком параметра a и, в силу формулы (6.1), со знаком σ₃. Учитывая связь (2.6) переменных τ и t, получим, что при увеличении времени t переменная τ монотонно возрастает, если σ₃ > 0 (гиростатический момент образует острый угол с осью собственного вращения) и монотонно убывает, если σ₃ < 0.

Наибольшее и наименьшее значения Ω задаются равенствами

$\max \left|\Omega \right|=\left|a\right|+\left|b\right|, \min \left|\Omega \right|=\left|a\right|-\left|b\right|$

Обозначим

$f\left(\tilde{t},\chi \right)=\frac{\sqrt{1-{\chi }^2 }\sin \tilde{t} }{1-\chi \cos \tilde{t} }; \chi =\frac{b}{a}$

При |χ| ≈ 1 вращение тела происходит очень неравномерно, так как, в соответствии с формулой (6.5) почти при всех $\tilde{t}$ скорость Ω близка к нулю и только в малой окрестности ${\tilde{t}}_{\max }$ скорость возрастает до величины, близкой к 2a. На интервале (0, 2π) функция $f\left(\tilde{t}, \chi \right)$ имеет максимум (f = 1) и минимум (f = –1) в точках ${\tilde{t}}_{\mathrm{1,2}}$, заданных равенством $\cos {\tilde{t}}_{\mathrm{1,2}}=\chi$. При |χ| ≈ 1 величина $f\left(\tilde{t}, \chi \right)$ почти всюду близка к нулю, кроме малых окрестностей точек ${\tilde{t}}_1\approx 0$, ${\tilde{t}}_2\approx 2\pi$. Обозначив δ = (1 − χ²)^1/4, при малых δ получим оценку

$\left|f\left(\tilde{t},\chi \right)\right|<\delta \left(1+O\left({\delta }^2\right)\right) при \tilde{t}\in \left(2\delta \mathrm{,2}\pi -2\delta \right)$ (6.6)

Пусть a, b > 0. Из формул (6.4), (6.6) следует, что на большей части периода параметр τ находится вблизи значения τ = π / 2. При прохождении почти полного периода, соответствующему изменению $\tilde{t}$ на величину 2π – 4δ, происходит поворот вокруг оси собственного вращения на малый угол Δτ ≈ 2δ (и поворот вокруг оси прецессии на угол, вдвое больший). Затем, за малую часть периода $\Delta \tilde{t}=4\delta$ происходит поворот на угол Δτ ≈ 2π – 2δ. Отметим, что аналогичное исследование неравномерности вращения тела с полостью, наполненной жидкостью, выполнено в нашей работе [8].

Случай 3: b² > a². После интегрирования получаем

$\tilde{t}=\ln \left|\Phi \right|; \Phi =\frac{atg\frac{\tau }{2}+b-\sqrt{b^2-a^2}}{atg\frac{\tau }{2}+b+\sqrt{b^2-a^2}}$ (6.7)

Отсюда следует $\tilde{t}\to \mp \infty$ при τ → τ_{1, 2}, где

$$\begin{gathered} tg\frac{{\tau }_1}{2}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}-b}{a}, tg\frac{{\tau }_2}{2}=-\frac{\sqrt{b^2-a^2}+b}{a} \\ \cos {\tau }_{\mathrm{1,2}}=\pm \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a}, \sin {\tau }_{\mathrm{1,2}}=-\frac{a}{b} \end{gathered}$$ (6.8)

Пусть τ₁, τ₂ ∈ (−π, π). В зависимости от знаков величин a и b скорость Ω, заданная равенством (6.1), может быть положительна либо отрицательна в любой момент времени. Обозначим

$\Delta \tau ={\tau }_2-{\tau }_1, \gamma =\arcsin \frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}$

Рассмотрим возможные случаи, используя формулы (6.8)

$$\begin{gathered} a>\mathrm{0,} b>0: {\tau }_1=-\gamma , {\tau }_2=\gamma -\pi , \Delta \tau =2\gamma -\pi <\mathrm{0,} \Omega <\mathrm{0,} \Phi <0 \\ a<\mathrm{0,} b>0: {\tau }_1=\gamma , {\tau }_2=\pi -\gamma , \Delta \tau =\pi -2\gamma >\mathrm{0,} \Omega >\mathrm{0,} \Phi <0 \\ a>\mathrm{0,} b<0: {\tau }_1=\pi -\gamma , {\tau }_2=\gamma , \Delta \tau =2\gamma -\pi <\mathrm{0,} \Omega <\mathrm{0,} \Phi <0 \\ a<\mathrm{0,} b<0: {\tau }_1=\gamma -\pi , {\tau }_2=-\gamma , \Delta \tau =\pi -2\gamma >0, \Omega >\mathrm{0,} \Phi <0 \end{gathered}$$

Так как 0 < γ < π / 2, то во всех случаях максимально возможный поворот вокруг собственной оси равен |Δτ| = π − 2γ < π.

Учитывая, что во всех случаях Φ < 0, из формулы (6.7) получим

$$\begin{gathered} tg\frac{\tau }{2}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}-b-\left(\sqrt{b^2-a^2}+b\right)\exp \tilde{t}}{a\left(\exp \tilde{t}+1\right)} \\ \cos \tau =-\frac{\sqrt{b^2-a^2}\left(\sqrt{b^2-a^2}ch\tilde{t}+bsh\tilde{t}\right)}{b^{2}ch\tilde{t}+b\sqrt{b^2-a^2}sh\tilde{t}+a^2}, \sin \tau =-a\frac{ bch\tilde{t}+\sqrt{b^2-a^2}sh\tilde{t}+b}{b^{2}ch\tilde{t}+b\sqrt{b^2-a^2}sh\tilde{t}+a^2} \\ {\omega }_r=\frac{1}{2}{\omega }_p=\Omega =\frac{a\left(a^2-b^2\right)}{b^{2}ch\tilde{t}+b\sqrt{b^2-a^2}sh\tilde{t}+a^2} \end{gathered}$$

При t > ±∞ получим

$\cos \tau >-\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}, \sin \tau >-\frac{a}{b}$

Носитель гиростата приближается к состоянию покоя, Ω → 0. Угол собственного вращения изменяется на величину, меньшую π, угол прецессии – меньше, чем на 2π. При χ → 1 получаем |τ₂ − τ₁| = π. Ось собственного вращения не может совершить вокруг оси прецессии больше одного оборота.

Заключение. Известные точные решения задачи о вращении твердого тела в суперпозиции трех однородных полей описывают регулярную прецессию [12, 14], либо нерегулярную прецессию с постоянным отношением скоростей прецессии и собственного вращения [17–20]. Для гиростата в трех однородных полях также получены [12, 18] условия регулярной прецессии. В настоящей работе получены условия нерегулярной прецессии с постоянным отношением скоростей гиростата с осевой симметрией в трех неприводимых однородных полях. Показано, что возможен только случай, когда скорость прецессии вдвое больше скорости собственного вращения и гиростатический момент отклонен от оси собственного вращения. Приведено выражение каждой из скоростей через элементарные функции времени. Выделены случаи периодического и затухающего движений.

作者简介

V. Olshansky

编辑信件的主要联系方式.
Email: olshanskiy_vlad@mail.ru
俄罗斯联邦, Saratov

参考

补充文件