Stability control of the supersonic boundary layer by laser pumping into a narrow local area. heat–insulated wall

Толық мәтін

1. Введение. Методы стабилизации и управления устойчивостью пограничных слоев составляют важный раздел современной аэродинамики, позволяя решать многочисленные практические задачи, такие как снижение сопротивления летательных аппаратов, увеличение дальности полета, исключение критических тепловых потоков и другие. Преимущество получили так называемые активные методы управления, в первую очередь, широко известные – отсос пограничного слоя и охлаждение обтекаемой поверхности [1]. В ряде случаев возможно использование вдува в пограничный слой, в частности, инородного газа [2]. Для подавления неустойчивости поперечного течения (cross-flow) на скользящем крыле, воздействие на которую затруднено, перспективным представляется использование плазменных актуаторов с сенсорной системой [3].

Возможным методом управляющего воздействия является подвод тепловой энергии в пограничный слой. В работе [4] был выполнен асимптотический анализ устойчивости пограничного слоя молекулярного газа с возбуждением колебательной моды постоянным источником. Было показано, что в зависимости от характеристик потока и источника возможно как повышение, так и понижение критического числа Рейнольдса. К сожалению, работа основывалась на нефизическом понятии знакопеременной второй вязкости, что делает этот результат, по крайней мере, дискуссионным. В [5] имеется краткое обсуждение недостатков использованной в [4] модели.

С помощью источникового слагаемого, добавленного в уравнение энергии, в [6] изучалось влияние пламени, локализованного вблизи поверхности, на устойчивость сверхзвукового пограничного слоя. Было отмечено повышение устойчивости потока на сильно нагретой стенке при наличии источника тепла по сравнению с режимом без источника.

Влияние локального подвода тепловой энергии на устойчивость поперечного течения на стреловидном крыле рассматривалось в работе [7]. Получено, что по мере удаления источника от обтекаемой поверхности, скорость роста возмущений убывает, а начиная с некоторого высоты над пограничным слоем, источник оказывает стабилизирующее влияние. Было предположено, что конкурируют два фактора нагрева. С одной стороны, увеличивается скорость течения, что снижает устойчивость, а с другой стороны, нагрев уменьшает плотность и увеличивает вязкость газа, понижая эффективное число Рейнольдса, что делает течение более устойчивым. Удаленное от поверхности положение источника приводит к прогреву большего объема слоя, в результате чего превалирует второй фактор.

Как отмечалось в [7], положительный эффект, полученный в модельной задаче, трудно реализуем на практике из-за технологической сложности создания источника для непосредственного подвода тепла в узкой области. Проблема может быть решена сфокусированной лазерной накачкой колебательных мод подогреваемого газа.

В данной работе проблема управления устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя исследуется на основе двухтемпературной модели колебательно возбужденного газа с локальным источником в уравнении колебательной энергии. Хотя в реальных условиях при лазерном нагреве часть энергии переходит непосредственно в поступательное и вращательное движение молекул, используемое упрощение является вполне приемлемым на начальном этапе.

2. Модель колебательно возбужденного газа. Рассматривается задача линейной устойчивости пограничного слоя на пластине при объемном подводе энергии в слой. Рассмотрение основывается на двухтемпературной системе уравнений одномодового колебательно возбужденного газа [8] с локализованным источником колебательной энергии I. Используемые в ней термогидродинамические переменные включают в себя вектор скорости потока $\mathbf{u}=\left(u,v\right)$, плотность газа ρ, статическое давление p, удельную внутреннюю энергию, связанную с квазиравновесными внутренними степенями свободы e_t, удельную колебательную энергию молекул e_v1, поступательную (статическую) температуру T, колебательную температуру T_v. Процессы переноса описываются с помощью коэффициентов сдвиговой вязкости η(T) и теплопроводности λ(T).

Удельная поступательно-вращательная энергия e_t определяется как

$e_t\left(T\right)=(c_V^{\text{tr}}+c_V^{\text{rot}})T=c_{V}T,$

где

$c_V^{\text{tr}}=\frac{3}{2}\frac{R}{M},c_V^{\text{rot}}=\frac{R}{M}$

теплоемкости при постоянном объеме, связанные, соответственно, с квазиравновесными поступательными и вращательными степенями свободы молекул газа, M – молярная масса газа и R – универсальная газовая постоянная. Все физические постоянные в статье берутся для воздуха, молярная масса которого принимается равной M = 0.029 кг/моль.

Удельная колебательная энергия e_v рассчитывается в рамках модели гармонического осциллятора для двухатомных молекул [9]:

$e_v\left(T_v\right)=\frac{R{\mathrm{\theta }}_v}{M}{\left[\exp \left(\frac{{\mathrm{\theta }}_v}{T_v}\right)-1\right]}^{-1},$

где характеристическая температура θ_v = 3395 K.

Сдвиговая вязкость задается посредством закона Сазерленда [10]

$\mathrm{\eta }\left(T\right)={\mathrm{\eta }}_{\infty }\left[\frac{T_{\infty }+T_0}{T+T_0}\right]{\left(\frac{T}{T_{\infty }}\right)}^{3/2}$

Здесь эмпирическая постоянная Сазерленда T₀ = 111 K.

Коэффициент теплопроводности λ(T) и коэффициент переноса энергии колебательных квантов λ_v выражаются через коэффициент сдвиговой вязкости с помощью приближенных соотношений Эйкена [11]

$\lambda =\mathrm{\eta }\left(\frac{5}{2}{c}_V^{\mathrm{tr}}+\frac{6}{5}{c}_V^{\mathrm{rot}}\right),{\lambda }_v=\frac{6}{5}\mathrm{\eta }{c}_V^{\mathrm{vib}}$

Время колебательной релаксации τ_v = τ_v(p,T) вычисляется по формуле Милликена–Уайта [12]:

${\tau }_v(p,T)=C{p}^{-1}\exp \left(A{T}^{-1/3}\right),$

где C = 1.69 10^–6 Па·с, A = 220 K^{1/ 3}.

Для обезразмеривания системы выбраны: текущее расстояние вдоль пластины x = L, величины невозмущенного течения вне пограничного слоя: U_∞ – скорость, ρ_∞ – плотность, T_∞ – температура, η_∞ – сдвиговая вязкость, λ_∞ – теплопроводность, τ_∞ – время колебательной релаксации. Используются также комбинированные величины: L/U_∞ – время, ${\mathrm{\rho }}_{\infty }{U}_{\infty }^2$ – давление, T_∞R/M – энергия, p_∞U_∞/L – скорость подвода энергии. Введена декартова система координат (x,y), начало которой совпадает с носиком пластины, координата х ориентирована по направлению невозмущенного потока, координата у соответственно направлена в поток по нормали к пластине. В безразмерных переменных система уравнений плоского течения колебательно возбужденного газа имеет вид.

Уравнение неразрывности

$\frac{\partial \mathrm{\rho }}{\partial t}+u\frac{\partial \mathrm{\rho }}{\partial x}+v\frac{\partial \text{ρ}}{\partial y}+\mathrm{\rho }\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=0$ (2.1)

Уравнения импульсов

$\begin{array}{l}\mathrm{\rho }\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\mathrm{\eta }\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)+\mathrm{\eta }\left({\mathrm{\mu }}_b+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x\partial y}\right)+\right.\\ \left.+\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial x}\left(\left({\mathrm{\mu }}_b+\frac{4}{3}\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\left({\mathrm{\mu }}_b-\frac{2}{3}\right)\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)\right]\end{array}$ (2.2)

$\begin{array}{l}\mathrm{\rho }\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right)=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left[\mathrm{\eta }\left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}\right)+\mathrm{\eta }\left({\mathrm{\mu }}_b+\frac{1}{3}\right)\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}\right)+\right.\\ \left.+\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)+\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial y}\left(\left({\mathrm{\mu }}_b-\frac{2}{3}\right)\frac{\partial u}{\partial x}+\left({\mathrm{\mu }}_b+\frac{4}{3}\right)\frac{\partial v}{\partial y}\right)\right]\end{array}$ (2.3)

Уравнение для поступательно-вращательной энергии молекул

$\begin{array}{l}\mathrm{\rho }\left(\frac{\partial e_t}{\partial t}+u\frac{\partial e_t}{\partial x}+v\frac{\partial e_t}{\partial y}\right)+\gamma {\mathrm{M}}^{2}p\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\frac{7}{2\mathrm{PrRe}}\left[\frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial y}\right)\right]+\\ +\frac{\gamma {\mathrm{M}}^2\mathrm{\eta }}{\mathrm{Re}}\left[{\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)}^2+2{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+2{\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2+\left({\mathrm{\mu }}_b-\frac{2}{3}\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)}^2\right]-\\ -{\mathrm{Da}}_{VT}\mathrm{\rho }\left(\frac{e_v\left(T\right)-e_v\left(T_v\right)}{{\tau }_v}\right)\end{array}$ (2.4)

Уравнение для колебательной энергии

$\begin{array}{l}\mathrm{\rho }\left(\frac{\partial e_v}{\partial t}+u\frac{\partial e_v}{\partial x}+v\frac{\partial e_v}{\partial y}\right)=\frac{6\mathrm{\eta }}{5\mathrm{Re}}\left(\frac{{\partial }^2{e}_v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{e}_v}{\partial y^2}\right)+\frac{6}{5\mathrm{Re}}\left(\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial x}\frac{\partial e_v}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial y}\frac{\partial e_v}{\partial y}\right)+\\ +{\mathrm{Da}}_{VT}\rho \left[\frac{e_v\left(T\right)-e_v\left(T_v\right)}{{\tau }_v}\right]+I\end{array}$ (2.5)

Уравнение состояния

$\gamma M^{2}p=\mathrm{\rho }T$ (2.6)

В систему уравнений (2.1)–(2.6) входят безразмерные параметры подобия – число Рейнольдса

$\mathrm{Re}=\frac{{\mathrm{\rho }}_{\infty }{U}_{\infty }L}{{\mathrm{\eta }}_{\infty }}$,

числа Прандтля Pr и Маха M

$\mathrm{Pr}=\frac{{\mathrm{\eta }}_{\infty }{c}_p}{{\lambda }_{\infty }},M=\frac{U_{\infty }}{\sqrt{\gamma R{T}_{\infty }/M}},\gamma =\frac{c_p}{c_V},$

число Дамкелера VT – энергообмена

${\text{Da}}_{VT}=\frac{L}{U_{\infty }{\tau }_{\infty }}$,

параметр ${\mathrm{\mu }}_b={\mathrm{\eta }}_{b\infty }/{\mathrm{\eta }}_{\infty }$ – коэффициент объемной вязкости.

3. Локально автомодельные уравнения пограничного слоя. В качестве стационарного решения в задаче устойчивости используется локально автомодельное решение [13] уравнений стационарного пограничного слоя в приближении Прандтля. Переход к ним от системы (2.1)–(2.6) осуществляется стандартным образом [14, 15]. Вводится «погранслойное» масштабирование поперечных координаты и скорости

$\tilde{y}=y\sqrt{\mathrm{Re}},\tilde{v}=v\sqrt{\mathrm{Re}}$

Используя разложение перенормированной системы по малому параметру Re ^–1/2

$\mathbf{f}={\mathbf{f}}^{\left(0\right)}+\frac{1}{\sqrt{\mathrm{Re}}}{\mathbf{f}}^{\left(1\right)}+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\mathbf{f}}^{\left(2\right)}+\dots ,$

где f – вектор текущих параметров газа, в нулевом приближении имеем классическую систему уравнений пограничного слоя Прандтля.

В локально автомодельном приближении система уравнений пограничного слоя имеет вид:

$({\mathrm{\rho \eta \phi }}^{\text{'}\text{'}}{)}^{\text{'}}+{\mathrm{\phi \phi }}^{\text{'}\text{'}}=0$ (3.1)

$(\mathrm{\rho \eta }{T}^{\text{'}}{)}^{\text{'}}+\mathrm{Pr\phi }{T}^{\text{'}}+\frac{{\mathrm{PrM}}^2}{10}\mathrm{\rho \eta }{{\mathrm{\phi }}^{\text{'}\text{'}}}^2-\frac{8}{7}{\mathrm{Da}}_{VT}\mathrm{Pr}\xi \frac{\left[e_v\left(T\right)-e_v\left(T_v\right)\right]}{{\tau }_v}=0$ (3.2)

$(\mathrm{\rho \eta }{e^{\text{'}}}_v{)}^{\text{'}}+\frac{5}{6}\mathrm{\phi }{e^{\text{'}}}_v+\frac{10}{3}{\mathrm{Da}}_{VT}\xi \frac{\left[e_v\left(T\right)-e_v\left(T_v\right)\right]}{{\tau }_v}+\frac{10}{3}\xi \frac{I}{\mathrm{\rho }}=0$ (3.3)

Локально автомодельные уравнения (2.1)–(2.3) замыкаются уравнением состояния

$\mathrm{\rho }T=\mathrm{1,}p=1/\left(\gamma {\mathrm{M}}^2\right)$ (3.4)

Здесь независимые переменные Дородницына – Хоуарда определены как

$\xi \left(x\right)=x,\zeta =\frac{1}{2\sqrt{\xi }}\underset{0}{\overset{y}{\int }}\mathrm{\rho }(x,z)dz,$ (3.5)

вспомогательная функция

$\mathrm{\phi }\left(\zeta \right)=2\underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}u\left(z\right)dz$

связана с функцией тока [14]. Штрих в уравнениях (3.1)–(3.3) обозначает дифференцирование по ζ.

На нижней и верхней границах пограничного слоя при ζ = 0 и при ζ → ∞ соответственно ставились граничные условия:

$\mathrm{\phi }\left(0\right)={\mathrm{\phi }}^{\text{'}}\left(0\right)=T^{\text{'}}\left(0\right)={T^{\text{'}}}_v\left(0\right)=\mathrm{0,}{\mathrm{\phi }}^{\text{'}}(\infty )=\mathrm{2,}T(\infty )=T_v(\infty )=1$

Обратный пересчет локально автомодельных профилей термогидродинамических переменных к исходной поперечной координате осуществляется по формуле

$y=2\sqrt{\xi }\underset{0}{\overset{\zeta }{\int }}\frac{dz}{\rho \left(z\right)}$ (3.6)

4. Линеаризованные уравнения для амплитуд возмущений. Для линеаризации системы уравнений (2.1)–(2.6) мгновенные значения гидродинамических переменных представлялись в виде

$u=U_s\left(y\right)+u^{\text{'}},v=v^{\text{'}},\mathrm{\rho }={\mathrm{\rho }}_s\left(y\right)+{\mathrm{\rho }}^{\text{'}}$

$T=T_s\left(y\right)+T^{\text{'}},T_v=T_{vs}\left(y\right)+{T^{\text{'}}}_v,p=p_s+p^{\text{'}},$

где индексом “s” обозначены значения гидродинамических переменных, относящиеся к стационарному решению уравнений пограничного слоя в локально автомодельном приближении, а штрих обозначает возмущения гидродинамических переменных. Возмущения сложных функций вычислялись как полные дифференциалы по возмущениям газодинамических переменных, в которых производные брались на стационарном решении. Например, возмущения коэффициентов переноса представляются как

$\mathrm{\eta }={\mathrm{\eta }}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{\eta }}^{\text{'}}={\mathrm{\eta }}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{\eta }}_{\mathit{T}\mathit{s}}{\mathrm{T}}^{\text{'}},\mathrm{\lambda }={\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{\lambda }}^{\text{'}}={\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{s}}+{\mathrm{\lambda }}_{\mathrm{Ts}}{\mathrm{T}}^{\text{'}},$

где

${\mathrm{\eta }}_{Ts}={\left.\frac{\partial \mathrm{\eta }}{\partial T}\right|}_{T=Ts},{\lambda }_{Ts}={\left.\frac{\partial \lambda }{\partial T}\right|}_{T=Ts}$

Возмущение источника колебательной энергии не рассматривалось.

На основе линеаризованной системы, записанной в переменных возмущений $q^{\text{'}}=(u^{\text{'}},v^{\text{'}},{\mathrm{\rho }}^{\text{'}},T^{\text{'}},{T^{\text{'}}}_v,p^{\text{'}})$, рассматривалась устойчивость двумерных возмущений типа бегущих плоских волн вида

$\mathbf{q}\mathit{\text{'}}(x,y,t)=\mathbf{q}\left(y\right)\exp \left[i\right(\alpha x-\mathrm{\omega }t\left)\right],\mathbf{q}\left(y\right)=(u,\alpha v,\mathrm{\rho },\mathrm{\theta },{\mathrm{\theta }}_v,p)$ (4.1)

В общем случае $\alpha ={\alpha }_r+i{\alpha }_i$ – комплексное волновое число вдоль переменной x и $\omega ={\omega }_r+i{\omega }_i$ – комплексная частота, i – мнимая единица.

Подстановка (4.1) в линеаризованную систему дает систему уравнений для амплитуд возмущений:

$D\mathrm{\rho }+\alpha {\mathrm{\rho }}_s\mathrm{\sigma }+\alpha v\frac{d{\mathrm{\rho }}_s}{dy}=0$ (4.2)

$\frac{{\mathrm{\eta }}_s}{\mathrm{Re}}{\Delta }_{y}u-{\mathrm{\rho }}_{s}Du-\alpha v{\mathrm{\rho }}_s\frac{d{U}_s}{dy}-i\alpha \epsilon +\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{d{\mathrm{\eta }}_s}{dy}\left(\frac{du}{dy}+i{\alpha }^{2}v\right)+\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{d}{dy}\left(\mathrm{\eta }\frac{d{U}_s}{dy}\right)=0$ (4.3)

$\frac{\alpha {\mathrm{\eta }}_s}{\mathrm{Re}}{\Delta }_{y}v-\alpha {\mathrm{\rho }}_{s}Dv-\frac{d\epsilon }{dy}+\frac{\alpha }{\mathrm{Re}}\left(\frac{dv}{dy}-iu\right)\frac{d{\mathrm{\eta }}_s}{dy}+\frac{i\alpha \mathrm{\eta }}{\mathrm{Re}}\frac{d{U}_s}{dy}=0$ (4.4)

$\begin{array}{l}\frac{7{\lambda }_s}{2\mathrm{PrRe}}{\mathrm{\Delta }}_y\mathrm{\theta }-{\mathrm{\rho }}_{s}D{e}_t-\alpha v{\mathrm{\rho }}_s\frac{d{e}_{ts}}{dy}-\alpha \gamma {\mathrm{M}}^2{p}_s\mathrm{\sigma }+\\ +\frac{2\gamma {\mathrm{M}}^2{\mathrm{\eta }}_s}{\mathrm{Re}}\left(\frac{du}{dy}+i{\alpha }^{2}v\right)\frac{d{U}_s}{dy}+\frac{\gamma {\mathrm{M}}^2\mathrm{\eta }}{\mathrm{Re}}{\left(\frac{d{U}_s}{dy}\right)}^2+\frac{7}{2\mathrm{PrRe}}\left[\frac{d{\lambda }_s}{dy}\frac{d\mathrm{\theta }}{dy}+\frac{d}{dy}\left(\lambda \frac{d{T}_s}{dy}\right)\right]+\\ -{\mathrm{Da}}_{VT}{\mathrm{\rho }}_s\left(\frac{e_v\left(\mathrm{\theta }\right)-e_v\left({\mathrm{\theta }}_v\right)}{{\tau }_{vs}}\right)-{\mathrm{Da}}_{VT}\mathrm{\rho }\left(\frac{e_{vs}\left(T_s\right)-e_{vs}\left(T_{vs}\right)}{{\tau }_{vs}}\right)=0\end{array}$ (4.5)

$\begin{array}{l}\frac{6{\mathrm{\eta }}_s}{5\mathrm{Re}}{\Delta }_y{e}_v-{\mathrm{\rho }}_{s}D{e}_v-\alpha v{\mathrm{\rho }}_s\frac{d{e}_{vs}}{dy}+\frac{6}{5\mathrm{Re}}\frac{d{\mathrm{\eta }}_s}{dy}\frac{d{e}_v}{dy}+\frac{6}{5\mathrm{Re}}\frac{d}{dy}\left(\mathrm{\eta }\frac{d{e}_{vs}}{dy}\right)+\\ +{\mathrm{Da}}_{VT}{\mathrm{\rho }}_s\left[\frac{e_v\left(\mathrm{\theta }\right)-e_v\left({\mathrm{\theta }}_v\right)}{{\tau }_{vs}}\right]+{\mathrm{Da}}_{VT}\mathrm{\rho }\left[\frac{e_{vs}\left(T_s\right)-e_{vs}\left(T_{vs}\right)}{{\tau }_{vs}}\right]=0\end{array}$ (4.6)

$p=p_{\mathit{s}}\left[\frac{\mathrm{\rho }}{{\mathrm{\rho }}_s}+\frac{\mathrm{\theta }}{T_{\mathit{s}}}\right],p_{\mathit{s}}=\frac{{\mathrm{\rho }}_{\mathit{s}}{T}_{\mathit{s}}}{{\mathrm{\gamma M}}^2},$ (4.7)

где

${\Delta }_y=\frac{d^2}{d{y}^2}-{\alpha }^2,D=i\alpha \left(U_s-\frac{\mathrm{\omega }}{\alpha }\right),\mathrm{\sigma }=\frac{dv}{dy}+iu,\epsilon =p-\frac{\alpha {\mathrm{\eta }}_s}{\mathrm{Re}}\left({\mathrm{\mu }}_b+\frac{1}{3}\right)\mathrm{\sigma }$

$\mathrm{\eta }={\mathrm{\eta }}_{Ts}\mathrm{\theta },\mathrm{\lambda }={\mathrm{\lambda }}_{Ts}\mathrm{\theta },e_{\mathit{t}}=e_{\mathit{t}\mathit{,}\mathit{T}\mathit{s}}\mathrm{\theta },e_{\mathit{v}}\mathit{=}{e}_{\mathit{v}\mathit{,}\mathit{T}\mathit{s}}{\mathrm{\theta }}_{\mathit{v}}$

Принималось, что при y = 0 и y → ∞ все возмущения обращаются в нуль.

5. Результаты расчетов. Для оценки возможности управления устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя выбран режим полета в невозмущенной атмосфере на высоте H = 15 км при числе Маха набегающего потока M = U_∞/c_∞ = 4.5. Значения скорости звука c_∞, вязкости η_∞, температуры T_∞ и плотности ρ_∞ атмосферы на высоте H = 15 км взяты из [15, 16]: c_∞=295.07 м/c, η_∞=14.45 мкПа∙с, T_∞=216.65 K, ρ_∞=0.1948 кг/м³. Скорость потока U_∞=1327.82 м/с.

5.1. Расчеты стационарного течения. В локально автомодельных переменных (3.5), в которых рассчитывались профили параметров стационарного течения, функция источника задавалась с помощью распределения Гаусса

$I=I_0\exp \left[-\frac{{(\zeta -{\zeta }_0)}^2}{{\mathrm{\Delta }}^2}\right],$ (5.1)

где I₀ – амплитуда мощности источника, ζ₀ – координата центра источника энергии и Δ – его характерная ширина. Выбор параметров источника исходил из того, чтобы комплекс I₀Δ, характеризующий вкладываемую мощность, значительно превышал среднюю по слою объемную плотность колебательной энергии. Вместе с тем требовалась достаточная локализация подвода энергии по отношению к толщине слоя, так чтобы Δ $\ll$ δ. Сравнивалось два положения источника – вблизи верхней границы слоя ζ_0h и вблизи пластины ζ_0p. На основе оценок и предварительных расчетов были выбраны следующие параметры источника в форме (5.1) – ζ_0p = 1, I_0p = 0.5 и ζ_0h = 7, I_0h = 1. В обоих случаях было принято Δ = 0.2.

Краткое описание численного алгоритма для системы (3.1)–(3.4) дано в работе [18]. Там же было показано, что численные решения системы полных уравнений колебательно возбужденного сверхзвукового пограничного слоя для распространенных граничных условий на больших расстояниях от носика пластины выходят на локально автомодельные решения системы (3.1)–(3.4), чем обосновывается использование последних в задачах устойчивости.

Результаты расчетов профилей скорости и температур стационарного течения приведены на рис. 1. Здесь и на остальных рисунках в статье сплошными линиями показаны результаты для совершенного газа, штрихпунктирными – для колебательно возбужденного газа вблизи пластины при ζ_0p = 1, I_0p = 0.5 и штриховыми – для колебательно возбужденного газа с источником в верхней части пограничного слоя при ζ_0h = 7, I_0h = 1.

 

Рис. 1. Профили газодинамических переменных стационарного течения

 

Рис. 1 подтверждает ранее установленный факт, что даже сильная термическая [8] и химическая [15] неравновесности практически не влияют на профиль скорости на пластине. Из графиков на рис. 1 видно, что источник при ζ_0p = 1 сильно увеличивает колебательную T_vs и статическую T_s температуры у пластины, но слабо влияет на статическую температуру в средней и верхней частях слоя. В то же время источник при ζ_0h = 7 дает значительное повышение статической температуры в большей части объема слоя. Это согласуется с отмеченным в [7] эффектом прогрева большей части слоя при положении источника вблизи верхней границы.

5.2. Характеристики устойчивости в зависимости от положения источника. Для оценки влияния локального подвода энергии на устойчивость пограничного слоя рассчитывались кривые нейтральной устойчивости и кривые инкрементов роста временных возмущений для двух положений источника, которые сравнивались с соответствующими данными для совершенного газа. Для получения кривых нейтральной устойчивости для системы (4.2)–(4.7) методом коллокаций решались спектральные задачи, в которых собственными значениями являлись вещественные значения частоты ω_r, а числа Рейнольдса Re_δ = Re^–1/2 и вещественные части волновых чисел α_r служили параметрами. Подробное описание алгоритма расчета представлено в [8]. Рассчитывались наиболее неустойчивые I и II моды Мэка [19]. Полученные нейтральные кривые даны на рис. 2. Видно, что источник вблизи пластины понижает устойчивость слоя, а в верхнем положении, наоборот, увеличивает устойчивость по сравнению со случаем отсутствия источника. Соответствующие значения критических чисел Рейнольдса Re_δ,cr и частот ω_r,cr приведены в табл. 1. Можно получить, что для наиболее неустойчивой моды II абсолютные относительные смещения Re_δ,cr составляют для нижнего и верхнего положений источника соответственно Δ_pRe_δ,cr = 11% и Δ_hRe_δ,cr = 35%.

 

Рис. 2. Кривые нейтральной устойчивости временных возмущений двумерных мод I и II

 

Таблица 1. Критические числа Рейнольдса Re_δ,cr и соответствующие частоты ω_r,cr

I0	Reδ,cr	ωr,cr∙104
Мода I
0	462	2.031
0.5	427	1.831
1	571	2.341
Мода II
0	221	6.253
0.5	196	6.109
1	299	6.528

 

На рис. 3 приведены кривые ω_i(α) инкрементов временных возмущений, полученные для областей неустойчивости мод I и II для чисел Рейнольдса Re_δ = 715 и 830 соответственно. Можно констатировать, что источник вблизи поверхности приводит к относительно небольшому возрастанию в пределах 20% максимальных значений инкрементов обеих мод. В то время как при верхнем положении источника максимумы инкрементов понижаются более, чем вдвое.

 

Рис. 3. Инкременты роста двумерных мод I и II

 

5.3. Влияние источника на зону ламинарно-турбулентного перехода. С практической точки зрения интерес представляет оценка смещения зоны ламинарно-турбулентного перехода (ЛТП) под действием источника колебательной энергии. В расчетах использовался известный e^N-метод [20], основанный на представлении об экспоненциальном нарастании пространственных возмущений до определенного уровня амплитуды начала ЛТП. Подробное изложение численного алгоритма дано в [13]. Диапазон частот пространственных возмущений принимался как разность предельных ординат областей неустойчивости временных возмущений на кривых рис. 2 для моды II. Затем для множества выбранных точек на прямых ω_r = const из решения спектральных задач относительно $\alpha ={\alpha }_r+i{\alpha }_i$ находились инкременты (декременты) $-{\alpha }_i$ пространственных возмущений. На полученном дискретном наборе рассчитывались кривые N-факторов

$N_{\mathrm{\omega }}\left({\mathrm{Re}}_{\mathrm{\delta }\left(x\right)}\right)=-2\underset{{\mathrm{Re}}_{\mathrm{\delta }\left(x0\right)}}{\overset{{\mathrm{Re}}_{\mathrm{\delta }\left(x\right)}}{\int }}{\alpha }_i^{*}d{\mathrm{Re}}_{\text{δ}\left(x\right)},{\alpha }_i^{*}={\alpha }_i\sqrt{\frac{x{\mathrm{\eta }}_{\infty }}{{\mathrm{\rho }}_{\infty }{U}_{\infty }}}$ (5.2)

по квадратурным формулам для интегралов вида (5.2), рассматриваемых как функция верхнего предела, который наращивался до тех пор, пока монотонное возрастание квадратуры не сменялось на убывание. Для подученного семейства кривых N-факторов на плоскости (Re_x, N) строилась огибающая, точка пересечения которой с заданным значением фактора перехода N = N_T определяла координату Re_xT начала зоны ЛТП.

Результаты расчетов кривых N-факторов приведены на рис. 4. Приведены огибающие семейств N-факторов в каждом из рассматриваемых случаев: для совершенного газа, для колебательно возбужденного газа с источником вблизи пластины при ζ_0p = 1, I_0p = 0.5, для колебательно возбужденного газа с источником в верхней части пограничного слоя при ζ_0h = 7, I_0h = 1.

 

Рис. 4. Кривые N-факторов и положение ЛТП двумерной моды II

 

Выбрано значение N_T = 8, которое используется для течений с низким уровнем внешних возмущений. На рис. 4 прямая N = 8 нанесена пунктиром. Точки a, b и с определяют начало зоны ЛТП и показывают значения чисел Re_xT для совершенного газа и двух положений источника. Соответствующие числовые значения Re_xT приведены в табл. 2. Как следует из данных табл. 2, абсолютные отклонения по отношению к эталонному случаю совершенного газа составляют для нижнего положения источника Δ_pRe_xT = 11.1%, а для верхнего – Δ_hRe_xT = 35.3%. Полученные значения практически совпадают с соответствующими величинами для критических чисел Рейнольдса на нейтральных кривых рис. 2. Это позволяет заключить, что локальный ввод колебательной энергии может служить действенным способом управления устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя.

 

Таблица 2. Параметры начала зоны ЛТП

I0	RexT∙10–7	ωrT∙104
0	2.381	6.125
0.5	2.115 (11.1%)	6.488
1	3.223 (35.3%)	5.523

 

Характер поведения графиков статической температуры на рис. 1 позволяет дать качественное объяснение влияния положения источника на устойчивость пограничного слоя по аналогии с данной в [1] трактовкой связи устойчивости с нагревом обтекаемой поверхности. Полученное для нижнего положения источника повышение температуры у пластины дает дополнительный нагрев, приводящий к уменьшению устойчивости. В то же время значительный прогрев основного объема слоя при верхнем положении источника увеличивает вязкость и уменьшает плотность в потоке, уменьшая эффективное число Рейнольдса, а также создает эффект относительного «понижения» температуры стенки. В связи с этим устойчивость пограничного слоя возрастает. Этот результат определяется мощностью и геометрией источника, его положением относительно пластины, температурой стенки и другими факторами, роль которых предстоит выяснить при дальнейшем исследовании.

Заключение. В рамках двухтемпературной модели одномодового колебательно возбужденного газа исследовано влияние локального подвода колебательной энергии на устойчивость сверхзвукового пограничного слоя на пластине. Рассматривались условия полета в невозмущенной атмосфере на высоте H = 15 км с числом Маха M = 4.5. Показано, что источник с гауссовым профилем мощности малой дисперсии, расположенный вблизи пластины, повышает температуру на пластине. При локализации источника у верхней границы пограничного слоя происходит прогрев значительной области потока. Для двух положений локального источника рассчитаны нейтральные кривые двумерных временных возмущений для I и II мод Мэка, а также их инкременты нарастания. Данные по критическим числам Рейнольдса Re_δ,cr и амплитудам инкрементов сравнивались с аналогичными данными для совершенного газа в отсутствие источника. Получено, что источник вблизи пластины понижает устойчивость слоя, а в верхнем положении, наоборот, увеличивает устойчивость по сравнению с эталонным случаем. В частности, для наиболее неустойчивой моды II абсолютные относительные смещения Re_δ,cr составили для нижнего и верхнего положений источника соответственно Δ_pRe_δ,cr = 11% и Δ_hRe_δ,cr = 35%.

С использованием e^N-метода выполнена оценка смещения зоны ламинарно–турбулентного перехода под действием источника колебательной энергии. Полученные абсолютные отклонения чисел Рейнольдса перехода по отношению к эталонному случаю отсутствия источника практически совпали с соответствующими отклонениями критических чисел Рейнольдса Re_δ,cr.

В качестве объяснения механизма воздействия источника предположено, что понижение устойчивости при подводе энергии вблизи пластины вызвано повышением ее температуры. При верхнем положении источника значительный прогрев основного объема слоя увеличивает вязкость и уменьшает плотность в потоке, уменьшая эффективное число Рейнольдса, что приводит к повышению устойчивости пограничного слоя.

Результаты расчетов позволяют заключить, что локальный ввод колебательной энергии может стать действенным методом управления устойчивостью сверхзвукового пограничного слоя.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-11-00027, https://rscf.ru/project/23-11-00027/.

Авторлар туралы

Yu. Grigoryev

Federal Research Center for Information and Computational Technologies

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: grigor@ict.nsc.ru
Ресей, Novosibirsk

I. Ershov

Federal Research Center for Information and Computational Technologies; Novosibirsk State Agrarian University

Email: ivershov1969@gmail.com
Ресей, Novosibirsk; Novosibirsk

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар